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先说结论
假设x为signed int，也就是说它的补码表示中第一位表示符号(1:负；0：正)，那么~x=-(x+1)
证明
计算机内部使用补码表示，则问题相当于求证：当x为signed int时，(~x)补=[-(x+1)]补 (0)
证明：
因为补码有个规律：(x+y)补=(x)补+(y)补，所以：
[-(x+1)]补
= [(-x)+(-1)]补
= (-x)补 + (-1)补
要证(~x)补=[-(x+1)]补，只需要证(~x)补-(-x)补=(-1)补 (1)
考虑到：
(~x)补-(-x)补
=(~x)补+(-(-x)补) (2)
而
(-x)补+(-(-x))补
= [(-x) + (-(-x))]补
= [(-x) + x ]补
= 0
也就是说-(-x)补=(-(-x))补 (3)
把(3)带入(2)，得到：
(~x)补-(-x)补
= (~x)补+(-(-x))补
= [(~x) + x ]补
= [1111…11]补 (所有位都为1)
= [1111…10]反 (最后一位为0，其它位都为1)
= [1000…01]原 (第一位和最后一位为1，其它位都为0)
= (-1)补
也即(1)得证，因而(0)成立。证毕。
原文：https://www.cnblogs.com/zjutzz/p/10646760.html
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