大学微积分函数的极限_微积分基本公式求极限

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LaTeX语法参考：http://www.mohu.org/info/lshort-cn.pdf

第一讲：函数

1. 实数与数轴，实数集（区间、邻域）。
2. 有界集与确界。
3. 函数及常用函数（函数三要素、数列(整标函数)、基本初等函数、初等函数）。

   【分段函数是否一定非初等；$y=\left|x\right|$是初等还是非初等；复合函数举例；】

4. 坐标系（直角坐标系、极坐标系）。

第二讲：数列极限的概念

1. 曲边三角形求面积。
2. $\epsilon -N$语言（$\mathring{U}(x_0,\epsilon )$内有无穷多个函数值且$\epsilon$可任意小）。
3. 极限定义：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A⟺\forall \epsilon >0,\exists N,s.t当n>N时,有\left|x_n-A\right|<\epsilon .$$只能用来判断A是否是极限，而不能用来求极限。
   【例题1】：证明$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0.$$
   【例题2】：证明$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1.(a>1)$$
   【思考1】：取N的值的时候，取整函数后面不加1行不行？（用极限定义证明极限就是要找到合题的N,找到即可,不要求找到的N为可能的最小值）。
   【例题3】：证明（不易求解关于n的不等式的情况）$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1.$$【例题4】：证明$$\forall \epsilon \in (0,1),\exists N,使当n\ge N时,恒有\left|x_n-A\right|\le \epsilon .$$是$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A.$$的充要条件。

第三讲：数列极限的性质与运算

1. 数列极限具有唯一性（反证法）、保序性、有界性（奇偶数子列极限不同推不收敛）。
2. 数列极限的四则运算（公式变形、分子有理化、）。

第三讲：数列极限的收敛准则

4. 数列极限的收敛准则：夹挤准则（放缩极限过程中不起作用的部分；丢弃部分和；放缩部分因式；$\left|x_n\right|\to 0\iff x_n\to 0$）、单调有界准则。
   【例题1】单调有界准则求（证明）极限。

第五讲：函数极限的概念、性质与运算

1. 函数极限定义的6中趋向。
2. 函数极限的性质（唯一性、局部有界性、保序性）。
3. 函数极限的运算（四则运算、复合运算）。
   【思考1】：函数极限复合运算中$u̸=u_0$的必要性。
4. 函数极限的定式：
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),其中f(x)为基本初等函数或初等函数。$$
   【思考1】：$$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^x是否存在？$$

第六讲：两个重要极限

1. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1,其中x可广义化.$$
2. $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e,其中x可广义化.$$
3. 【结论1】：幂指函数可直接带入求极限。

第七讲：无穷小

1. 无穷大量与无界量的区别。
2. 无穷小的性质：有限加和仍为无穷小；乘以有界量仍为无穷小；$$\begin{gathered} \lim f(x)=\lim g(x)⟺f(x)=g(x)+\alpha , \\ 其中\alpha 为极限过程中的无穷小. \end{gathered}$$
   【例题1】：已知函数极限求其参数
   $$设\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{1+e^x}{1-e^x}-ax-b)=0,求a,b.$$
3. 无穷小的比较：阶数、高阶、低阶、等价。
4. 【定理】：等价无穷小代换。
   【例题1】：算极限过程中cosx不熟悉换元变成sinx。

第八讲：连续

1. 连续函数的性质：四则运算、复合运算、单调连续函数的反函数及初等函数的连续性。
   【疑问1】：感觉不对的题。
2. 闭区间连续函数的性质：有界性、最值原理、零点定理、介值定理。