裴礼文数学分析中的典型问题与方法百度云_数学分析的典型问题

裴礼文数学分析中的典型问题与方法百度云_数学分析的典型问题裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》第2天31~60第1章一元函数极限3.求极限值的若干方法利用等价代换和初等变形求极限。 等价代换。 先求出可以求出来的值。 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。 等价无穷小代换。 注意只有在x出现的时候才可以用,如果是常数不能用等价无穷小代换,比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数,所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想,然后进行等价无穷小代换。 等价代换原理,源于分

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裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》

第2天31~60

第1章 一元函数极限

3.求极限值的若干方法

  1. 利用等价代换和初等变形求极限。
    1. 等价代换。
      1. 先求出可以求出来的值。
      2. 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。
      3. 等价无穷小代换。
      4. 注意只有在x出现的时候才可以用,如果是常数不能用等价无穷小代换,比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数,所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想,然后进行等价无穷小代换。
      5. 等价代换原理,源于分数的约分,单项不可做等价代换。
    2. 利用初等变形求极限。
      1. 把xn化简之后的形式写出来,你先写你不写一定观察不出来,写出来才观察的出来。
      2. i三次方求和等于i求和的平方。
  2. 利用已知极限。
    1. 利用两个重要极限。
    2. 例1.3.3(1)难(2)同1的方法。
    3. 1.3.4, 第2问用了第1问的结论。用了约分法的逆运算
    4. 利用欧拉常数计算极限。欧拉常数的极限但是的左端是1/n求和。所以遇到n/1求和的时候,可以用欧拉常数的极限结果进行计算。当然是能消掉欧拉常数的时候是最好的。
    5. stIrlIng公式。拆开求积项
  3. 利用变量替换求极限。
    1. 把每一个已知的变量求极限,用积分的形式求出来,然后代入需要求的体现式子中,通过有界,组合,变为0消去。
  4. 两边夹法则。
    1. 1.3.9想不到。
    2. 1.3.10难想不到
  5. 两边夹法则的推广形式。可能会考,只保留最重要的n次就可以了。Important
  6. 求极限其他常用方法。
    1. 洛必达法则。
      1. 无穷比无穷的分子可以是任意的。
      2. 洛比达法则使用过程中也会用到等价关系。
      3. 但有的时候不能够直接带话,比如说例1.3.12第2问。
    2. 利用泰勒公式求极限。
      1. 分子分母展开到同一次方项Important
      2. 常见泰勒公式的记忆法。『来自知乎』记住一个,拆成两个,去首项,去阶乘,正负交错,二项公式拿来用记住一个e^x可以拆成sin和cos,cos为e^x的奇数项,其中正负交错,sin为偶数项,也是正负交错。ln等于e^x去首项,去阶乘,正负交错,(1+x)^m用二项公式。
      3. 当然还有一个泰勒公式1/(1-x)=∑x^i
      4. 关于泰勒公式中二项式展开中分数组函数的计算。C_{1/2}^2=[1/2×(1/2-1)]/2!=-1/8等同于公式C_n^m=n·(n-1)……(n-m+1)/m!
    3. 利用积分定义求极限。利用积分的定义同时可以用两边夹法则。
    4. 利用级数求解极限问题。利用极限通向趋于0。
    5. 利用收敛级数余项趋于0。级数收敛的必要条件就是通项趋于0,余项也趋于0。
    6. 利用级数∑|xn-xn-1|的收敛性。
    7. 利用连续性求极限。例1.3.19具有特殊性。
    8. 综合性例题
      1. 例1.3.20
        1. 方法一:设各种元素,然后带入。
        2. 方法二:两边夹法则。
      2. 例1.3.21
        1. 利用e^x的求导特性。积分求得fx的表达式,然后洛必达法则。
      3. 例1.3.22
        1. 同样利用e^-x的求导特性,通过积分求得fx的表达式。
      4. 例1.3.23
        1. 把极限写成导数定义中的形式思想很重要
      5. 例1.3.24
        1. 高阶无穷大量
    9. 练习1.3
      1. 1.3.1把加减变成乘积进行约分
      1. 1.3.2vieta公式的证明
      2. 1.3.3洛比达法则。
      3. 1.3.4换元,洛比达法则。
      4. 1.3.5换底公式,洛必达法则。
      5. 1.3.6两边夹法则。
      6. 1.3.7两边夹法则。
      7. 1.3.8等价无穷小代换。a^x-1~xlna,(1+x)^a-1~ax
      8. 1.3.9(1)凑(2)利用第1问的结论。
      9. 1.3.10两边夹法则。大于单个最大值,小于整个最大值。
      10. 1.3.11洛比达法则。分情况讨论sinx
      11. 1.3.12洛比达法则,变限积分求导(原函数存在定理)。
      12. 1.3.13把乘除改为加减,用洛必达法则。
      13. 1.3.14基础。
      14. 1.3.15提出x的6次方,然后泰勒展开。
      15. 1.3.16方法很多提出n的k次方,用等价无穷小代换。
      16. 1.3.17用1的无穷次方。然后将tanx用分数的形式替换。运用洛必达法则。注意有的是常数,可以提出来。
      17. 1.3.18洛必达法则。
      18. 1.3.19提出x的1/4次方,然后用泰勒展开(二项展开式)
      19. 1.3.20微分中值公式,注意函数是sinx。所以自变量是根号x。
      20. 1.3.21微分中值公式。
      21. 1.3.22洛必达法则直接得出结论。
      22. 1.3.23难。
      23. 1.3.24一的无穷次方。
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