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由于公式太多,汇总成一篇容易打不开,所以分三篇。整篇链接:https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576
章节 | 链接 |
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基础回顾篇 | https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929920 |
高等数学篇 | https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929988 |
线性代数篇 | https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119930063 |
基础回顾
面(体)积公式
球 表 面 积 公 式 : S = 4 π R 2 球 体 积 公 式 : V = 4 3 π R 3 圆 锥 体 积 公 式 : V = 1 3 s h ( s 为 圆 锥 底 面 积 , h 为 圆 锥 的 高 ) 椭 圆 面 积 公 式 : S = π a b 扇 形 面 积 公 式 : S = 1 2 l r = 1 2 r 2 θ ( 其 中 l 为 弧 长 , r 为 半 径 , θ 为 夹 角 ( 用 π 表 示 ) ) \begin{aligned} & \\ & 球表面积公式:S= 4\pi R^2 \\ \\ & 球体积公式:V = \frac{4}{3}\pi R^3 \\ \\ & 圆锥体积公式:V=\frac{1}{3} sh ~~~~~(s为圆锥底面积,h为圆锥的高) \\\\ & 椭圆面积公式: S=\pi ab \\ \\ & 扇形面积公式: S= \frac{1}{2}l r = \frac{1}{2}r^2\theta ~~~~~(其中l为弧长,r为半径,\theta为夹角(用\pi表示)) \end{aligned} 球表面积公式:S=4πR2球体积公式:V=34πR3圆锥体积公式:V=31sh (s为圆锥底面积,h为圆锥的高)椭圆面积公式:S=πab扇形面积公式:S=21lr=21r2θ (其中l为弧长,r为半径,θ为夹角(用π表示))
一元二次方程基础
一 元 二 次 方 程 : a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) 根 的 公 式 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a 韦 达 定 理 : x 1 + x 2 = − b a x 1 x 2 = c a 判 别 式 : Δ = b 2 − 4 a c ⟹ { Δ > 0 , 两 个 不 等 实 根 Δ = 0 , 两 个 相 等 实 根 Δ < 0 , 两 个 共 轭 的 复 根 ( 无 实 根 ) 抛 物 线 y = a x 2 + b x + c 的 顶 点 : ( − b 2 a , c − b 2 4 a ) \begin{aligned} & \\ & 一元二次方程:ax^2 + bx + c =0 ~~~~~(a \ne 0) \\ \\ & 根的公式 ~~~~ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \\ & 韦达定理: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ~~~~~~~ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \\ \\ & 判别式: \Delta=b^2 – 4ac \implies \begin{cases} \Delta >0,两个不等实根 \\ \Delta =0,两个相等实根 \\ \Delta <0,两个共轭的复根(无实根) \\ \end{cases} \\\\ & 抛物线~ y=ax^2 + bx + c 的顶点:(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a}) \end{aligned} 一元二次方程:ax2+bx+c=0 (a=0)根的公式 x1,2=2a−b±b2−4ac韦达定理:x1+x2=−ab x1x2=ac判别式:Δ=b2−4ac⟹⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0,两个不等实根Δ=0,两个相等实根Δ<0,两个共轭的复根(无实根)抛物线 y=ax2+bx+c的顶点:(−2ab,c−4ab2)
极坐标方程与直角坐标转换
直 角 坐 标 化 极 坐 标 { x = ρ cos θ y = ρ sin θ ⟹ x 2 + y 2 = ρ 2 极 坐 标 化 直 角 坐 标 : ρ 2 = x 2 + y 2 ⟹ tan θ = y x \begin{aligned} &直角坐标化极坐标 \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{cases} \implies x^2+y^2=\rho ^2 \\\\ &极坐标化直角坐标 :\rho ^2 = x^2+y^2 \implies \tan \theta = \frac{y}{x} \\\\ \end{aligned} 直角坐标化极坐标{
x=ρcosθy=ρsinθ⟹x2+y2=ρ2极坐标化直角坐标:ρ2=x2+y2⟹tanθ=xy
切线与法线方程
切 线 方 程 : y − y 0 x − x 0 = f ′ ( x 0 ) , 即 y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 法 线 方 程 : y − y 0 x − x 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) , 即 y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) \begin{aligned} & 切线方程: \frac{y – y_0}{x – x_0} = f'(x_0) ~~~~,即 y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0) \\ \\ & 法线方程: \frac{y – y_0}{x – x_0} = -\frac{1}{f'(x_0)}~~~~~,即y-y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) \end{aligned} 切线方程:x−x0y−y0=f′(x0) ,即y−y0=f′(x0)(x−x0)法线方程:x−x0y−y0=−f′(x0)1 ,即y−y0=−f′(x0)1(x−x0)
因式分解公式
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a k b n − k = a n + n a n − 1 b + n ( n − 1 ) 2 ! a n − 1 b 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! a n − k b k + ⋯ + n a b n − 1 + b n \begin{aligned} & \\ & (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2 \\ \\ & (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \\ \\ & (a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 + 2ab+2ac+2bc \\\\ & (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ \\ & (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b+3ab^2-b^3 \\ \\ & (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \\ \\ & a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 -ab + b^2) \\ \\ & a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\ \\ & a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \\ \\ & (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k} = a^n + na^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-1}b^2 + \cdots + \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k + \cdots + nab^{n-1} + b^n \end{aligned} (a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a+b)(a−b)=a2−b2a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)(a+b)n=k=0∑nCnkakbn−k=an+nan−1b+2!n(n−1)an−1b2+⋯+k!n(n−1)⋯(n−k+1)an−kbk+⋯+nabn−1+bn
阶乘与双阶乘
n ! = 1 × 2 × 3 × . . . × n ( 规 定 0 ! = 1 ) ( 2 n ) ! ! = 2 × 4 × 6 × . . . × ( 2 n ) = 2 n ⋅ n ! ( 2 n − 1 ) ! ! = 1 × 3 × 5… × ( 2 n − 1 ) \begin{aligned} & n! = 1\times2\times3\times … \times n ~~~~~(规定0!=1) \\ \\ & (2n)!! = 2\times4\times6\times … \times (2n) = 2^n \cdot n! \\ \\ & (2n-1)!! = 1\times3\times5…\times(2n-1) \end{aligned} n!=1×2×3×...×n (规定0!=1)(2n)!!=2×4×6×...×(2n)=2n⋅n!(2n−1)!!=1×3×5...×(2n−1)
函数的奇偶性
定 义 在 [ − a , a ] 上 的 任 一 函 数 , 可 以 表 示 为 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 : f ( x ) = 1 2 [ f ( x ) − f ( − x ) ] + 1 2 [ f ( x ) + f ( − x ) ] \begin{aligned} & 定义在[-a,a]上的任一函数,可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和: \\ \\ & f(x) = \frac{1}{2}[f(x)-f(-x)] + \frac{1}{2}[f(x) + f(-x)] \end{aligned} 定义在[−a,a]上的任一函数,可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和:f(x)=21[f(x)−f(−x)]+21[f(x)+f(−x)]
排列组合
A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! C n m = A n m m ! = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) m ! = n ! m ! ( n − m ) ! \begin{aligned} A_n^m & = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m +1) \\\\ & = \frac{n!}{(n-m)!} \\\\ \\ C_n^m & = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-m + 1)}{m!} \\\\ & = \frac{n!}{m!(n-m)!} \end{aligned} AnmCnm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=(n−m)!n!=m!Anm=m!n(n−1)⋯(n−m+1)=m!(n−m)!n!
等差数列
a n = a 1 + ( n − 1 ) d S n = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d n ∈ N ∗ S n = n ( a 1 + a n ) 2 \begin{aligned} & a_n = a_1 + (n-1)d \\ \\ & S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d ~~~~~~~~ n \in N^* \\ \\ & S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ \\ \end{aligned} an=a1+(n−1)dSn=na1+2n(n−1)d n∈N∗Sn=2n(a1+an)
等比数列
a n = a 1 ⋅ q n − 1 S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q ( q ≠ 1 ) \begin{aligned} & a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \\ \\ & S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} ~~~~~~(q\neq 1) \end{aligned} an=a1⋅qn−1Sn=1−qa1(1−qn) (q=1)
常用数列前n项和
∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = n 2 ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) = n n + 1 \begin{aligned} & \\ & \sum_{k=1}^n k = 1 + 2+3+\cdots + n=\frac{n(n+1)}{2} \\ \\ & \sum_{k=1}^n (2k-1) = 1+ 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 \\ \\ & \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \\ & \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 +3^3 +\cdots + n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = (\sum_{k=1}^n k)^2 \\ \\ & \sum_{k=1}^n k(k+1) = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \\\\ & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \end{aligned} k=1∑nk=1+2+3+⋯+n=2n(n+1)k=1∑n(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1)=n2k=1∑nk2=12+22+32+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)k=1∑nk3=13+23+33+⋯+n3=[2n(n+1)]2=(k=1∑nk)2k=1∑nk(k+1)=1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)k=1∑nk(k+1)1=1×21+2×31+3×41+⋯+n(n+1)1=n+1n
不等式
2 ∣ a b ∣ ≤ a 2 + b 2 ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ∣ ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ≤ ∣ a − b ∣ ∣ a 1 ± a 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ± a n ∣ ≤ ∣ a 1 ∣ + ∣ a 2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣ a n ∣ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ( a < b ) a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 ( a , b > 0 ) a b c 3 ≤ a + b + c 3 ≤ a 2 + b 2 + c 2 3 ( a , b , c > 0 ) a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n n ≤ a 1 + a 2 + . . . + a n n ≤ a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 n ( a 1 , a 2 , . . . a n > 0 , 等 号 当 且 仅 当 a 1 = a 2 = . . . = a n 时 成 立 ) x y ≤ x p p + x q q ( x , y , p , q > 0 , 1 p + 1 q = 1 ) ( a c + b d ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 ≤ ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) [ ∫ a b f ( x ) ⋅ g ( x ) d x ] 2 ≤ ∫ a b f 2 ( x ) d x ⋅ ∫ a b g 2 ( x ) d x sin x < x < tan x ( 0 < x < π 2 ) arctan x ≤ x ≤ arcsin x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) x + 1 ≤ e x ln x ≤ x − 1 1 1 + x < ln ( 1 + 1 x ) < 1 x ( x > 0 ) \begin{aligned} & \\ & 2 |ab| \le a ^ 2 + b^2 \\ \\ & |a \pm b| \le |a| + |b| \\ \\ & | |a| – |b| | \le |a-b| \\ \\ & |a_1 \pm a_2 \pm \cdot\cdot\cdot\cdot \pm a_n| \le |a_1| + |a_2| + \cdot\cdot\cdot + |a_n| \\ \\ & |\int_a^b f(x) dx| \le \int_a^b |f(x)| dx ~~~~~(a<b) \\ \\ & \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} ~~~~~(a,b>0) \\ \\ & \sqrt[3]{abc} \le \frac{a+b+c}{3} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} ~~~~~(a,b,c>0) \\ \\ & \sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdot a_n} \le \frac{a_1+a_2+…+a_n}{n} \le \sqrt{\frac{
{a_1}^2+{a_2}^2 + … + {a_n}^2}{n}} ~~~~(a_1,a_2,…a_n > 0,等号当且仅当 a_1 = a_2 = … = a_n时成立) \\ \\ & xy \le \frac{x^p}{p} + \frac{x^q}{q} ~~~~~(x,y,p,q>0, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1) \\ \\ & (ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\ \\ & (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 \le ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \\ \\ & [\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx]^2 \le \int_a^bf^2(x)dx \cdot\int_a^bg^2(x)dx \\ \\ & \sin x < x < \tan x ~~~~~(0<x<\frac{\pi}{2}) \\ \\ & \arctan x \le x \le \arcsin x ~~~~~(0\le x \le 1) \\ \\ & x+1 \le e^x \\ \\ & \ln x \le x-1 \\ \\ & \frac{1}{1+x} < \ln (1+\frac{1}{x}) < \frac{1}{x} ~~~~~(x>0) \end{aligned} 2∣ab∣≤a2+b2∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣∣a1±a2±⋅⋅⋅⋅±an∣≤∣a1∣+∣a2∣+⋅⋅⋅+∣an∣∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx (a<b)ab≤2a+b≤2a2+b2 (a,b>0)3abc≤3a+b+c≤3a2+b2+c2 (a,b,c>0)na1a2⋅⋅⋅an≤na1+a2+...+an≤na12+a22+...+an2 (a1,a2,...an>0,等号当且仅当a1=a2=...=an时成立)xy≤pxp+qxq (x,y,p,q>0,p1+q1=1)(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)[∫abf(x)⋅g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dxsinx<x<tanx (0<x<2π)arctanx≤x≤arcsinx (0≤x≤1)x+1≤exlnx≤x−11+x1<ln(1+x1)<x1 (x>0)
三角函数公式
诱导公式
sin ( − α ) = − sin α cos ( − α ) = cos α sin ( π 2 − α ) = cos α cos ( π 2 − α ) = sin α sin ( π 2 + α ) = cos α cos ( π 2 + α ) = − sin α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = − cos α 奇 变 偶 不 变 , 符 号 看 象 限 奇 指 k ⋅ π 2 中 k 看 象 限 是 指 : 将 α 看 成 锐 角 , 然 后 看 sin ( 变 之 前 的 , 或 c o s ) ( k ⋅ π 2 ± α ) 的 符 号 \begin{aligned} & \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \\ \\ & \cos (-\alpha) = \cos \alpha \\ \\ & \sin (\frac{\pi}{2} – \alpha) = \cos \alpha \\ \\ & \cos (\frac{\pi}{2} – \alpha) = \sin \alpha \\ \\ & \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \\ \\ & \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = – \sin \alpha \\ \\ & \sin (\pi – \alpha) = \sin \alpha \\ \\ & \cos (\pi – \alpha) = – \cos \alpha \\ \\ & \sin (\pi + \alpha) = – \sin \alpha \\ \\ & \cos (\pi + \alpha) = – \cos \alpha \\ \\ \\ & 奇变偶不变,符号看象限 \\ & 奇指 ~~ k\cdot\frac{\pi}{2} ~~ 中 k \\ & 看象限是指:将 \alpha 看成锐角,然后看 \sin_{_{(变之前的,或cos)}}(k\cdot\frac{\pi}{2} \pm \alpha) 的符号 \end{aligned} sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαsin(2π−α)=cosαcos(2π−α)=sinαsin(2π+α)=cosαcos(2π+α)=−sinαsin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαsin(π+α)=−sinαcos(π+α)=−cosα奇变偶不变,符号看象限奇指 k⋅2π 中k看象限是指:将α看成锐角,然后看sin(变之前的,或cos)(k⋅2π±α)的符号
平方关系
1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α sin 2 α + cos 2 α = 1 \begin{aligned} & \\ & 1 + \tan ^2 \alpha = \sec^2 \alpha \\ \\ & 1 + \cot^2 \alpha = \csc ^2 \alpha \\ \\ & \sin^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \end{aligned} 1+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2αsin2α+cos2α=1
两角和与差的三角函数
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \begin{aligned} & \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ & \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \\ \\ & \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \\ \\ & \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \\ & \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{ 1- \tan \alpha \tan \beta} \\ \\ & \tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned} sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβtan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ
积化和差公式
cos α cos β = 1 2 [ cos ( α + β ) + c o s ( α − β ) ] cos α sin β = 1 2 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ] sin α cos β = 1 2 [ sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ] sin α sin β = − 1 2 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ] \begin{aligned} & \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha – \beta)] \\ \\ & \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta)] \\ \\ & \sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} [\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)] \\ \\ & \sin \alpha \sin \beta = – \frac{1}{2} [\cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta)] \end{aligned} cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]
记忆口诀:
积化和差得和差,余弦在后要想加。异名函数取正弦,正弦相乘取负号。
和差化积公式
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 \begin{aligned} & \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha – \beta}{2} \\ \\ & \sin \alpha – \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha – \beta}{2} \\ \\ & \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha – \beta}{2} \\ \\ & \cos \alpha – \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha – \beta}{2} \end{aligned} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−βsinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−βcosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
记忆口诀:
正加正,正在前,正减正,余在前;余加余,余并肩;余减余,负正弦
倍角公式
sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 sin 3 α = − 4 sin 3 α + 3 sin α cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α cot 2 α = cot 2 α − 1 2 cot α \begin{aligned} & \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \\ \\ & \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^2 \alpha = 1- 2\sin^2 \alpha = 2 \cos^2\alpha -1 \\ \\ & \sin 3\alpha = -4 \sin^3 \alpha + 3\sin \alpha \\ \\ & \cos 3 \alpha = 4\cos^3\alpha -3 \cos \alpha \\ \\ & \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} \\ \\ & \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} \\ \\ & \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha} \\ \\ & \cot 2\alpha = \frac{\cot ^2 \alpha -1}{2\cot \alpha} \end{aligned} sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1sin3α=−4sin3α+3sinαcos3α=4cos3α−3cosαsin2α=21−cos2αcos2α=21+cos2αtan2α=1−tan2α2tanαcot2α=2cotαcot2α−1
半角公式
sin 2 α 2 = 1 − cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 sin α 2 = ± 1 − cos α 2 cos α 2 = ± 1 + cos α 2 tan α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α = ± 1 − cos α 1 + cos α cot α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α = ± 1 + cos α 1 − cos α \begin{aligned} & \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1- \cos \alpha}{2} \\ \\ & \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2} \\ \\ & \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}} \\ \\ & \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+ \cos \alpha}{2}} \\ \\ & \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} \\ \\ & \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1- \cos \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} \end{aligned} sin22α=21−cosαcos22α=21+cosαsin2α=±21−cosαcos2α=±21+cosαtan2α=sinα1−cosα=1+cosαsinα=±1+cosα1−cosαcot2α=1−cosαsinα=sinα1+cosα=±1−cosα1+cosα
万能公式
sin α = 2 tan α 2 1 + tan 2 α 2 cos α = 1 − tan 2 α 2 1 + tan 2 α 2 \begin{aligned} & \sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}} \\ \\ & \cos \alpha = \frac{1- \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2}} \end{aligned} sinα=1+tan22α2tan2αcosα=1+tan22α1−tan22α
其他公式
1 + sin α = ( sin α 2 + cos α 2 ) 2 1 − sin α = ( sin α 2 − cos α 2 ) 2 \begin{aligned} & 1 + \sin \alpha = (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}) ^2 \\ \\ & 1 – \sin \alpha = (\sin \frac{\alpha}{2} – \cos \frac{\alpha}{2}) ^2 \end{aligned} 1+sinα=(sin2α+cos2α)21−sinα=(sin2α−cos2α)2
反三角函数恒等式
arcsin x + arccos x = π 2 arctan x + a r c c o t x = π 2 sin ( arccos x ) = 1 − x 2 cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 sin ( arcsin x ) = x arcsin ( sin x ) = x cos ( arccos x ) = x arccos ( cos x ) = x arccos ( − x ) = π − arccos x \begin{aligned} & \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \\ \\ & \arctan x + arccot ~x= \frac{\pi}{2} \\ \\ & \sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2} \\ \\ & \cos(\arcsin x) = \sqrt{1- x^2} \\ \\ & \sin(\arcsin x) = x \\ \\ & \arcsin (\sin x) = x \\ \\ & \cos (\arccos x) = x \\ \\ & \arccos (\cos x) =x \\ \\ & \arccos (-x) = \pi – \arccos x \end{aligned} arcsinx+arccosx=2πarctanx+arccot x=2πsin(arccosx)=1−x2cos(arcsinx)=1−x2sin(arcsinx)=xarcsin(sinx)=xcos(arccosx)=xarccos(cosx)=xarccos(−x)=π−arccosx
极限相关公式
数列极限递推式
a n + 1 = f ( a n ) 结 论 一 : f ′ ( x ) > 0 , { a 2 > a 1 ⟹ { a n } ↗ 单 调 递 增 a 2 < a 1 ⟹ { a n } ↘ 单 调 递 减 结 论 二 ( 压 缩 映 像 原 理 ) : ∃ k ∈ ( 0 , 1 ) , 使 得 ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ k ⟹ a n 收 敛 \begin{aligned} & a_{n+1} = f(a_n) \\\\ 结论一: & f'(x) > 0 , \begin{cases} a_2 > a_1 \implies \{ a_n \} \nearrow单调递增 \\ a_2 < a_1 \implies \{ a_n \} \searrow单调递减 \end{cases} \\\\ 结论二(压缩映像原理):& \exist k \in (0,1),使得 |f'(x)| \le k \implies {a_n} 收敛 \end{aligned} 结论一:结论二(压缩映像原理):an+1=f(an)f′(x)>0,{
a2>a1⟹{
an}↗单调递增a2<a1⟹{
an}↘单调递减∃k∈(0,1),使得∣f′(x)∣≤k⟹an收敛
重要极限公式
lim x → 0 + x α ln x = 0 其 中 α > 0 lim x → 0 + x α ( ln x ) k = 0 其 中 α > 0 , k > 0 lim x → + ∞ x α e − δ x = 0 其 中 α > 0 , δ > 0 lim x → 0 sin x x = 1 ⟹ lim ϕ ( x ) → 0 sin ϕ ( x ) ϕ ( x ) = 1 其 中 ϕ ( x ) ≠ 0 lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e ⟹ lim ϕ ( x ) → 0 ( 1 + ϕ ( x ) ) 1 ϕ ( x ) = e 其 中 ϕ ( x ) ≠ 0 lim n → ∞ n n = 1 lim n → ∞ a n = 1 ( 常 数 a > 0 ) \begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 ~~~~~ 其中 \alpha >0 \\\\ & \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln x)^k = 0 ~~~~~ 其中 \alpha >0 ,k>0 \\\\ & \lim_{x \to +\infty} x^\alpha e^{-\delta x} = 0 ~~~~~ 其中 \alpha >0 ,\delta >0 \\\\ & \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ~~ \implies \lim_{\phi (x) \to 0} \frac{\sin \phi (x)}{\phi (x)} =1 ~~~~~其中\phi (x) \neq 0 \\ \\ & \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e ~~ \implies \lim_{\phi (x) \to 0} (1+\phi (x))^{\frac{1}{\phi (x)}} = e ~~~~~ 其中\phi (x) \neq 0 \\\\ & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \\\\ & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 ~~~(常数a>0)\\\\ \end{aligned} x→0+limxαlnx=0 其中α>0x→0+limxα(lnx)k=0 其中α>0,k>0x→+∞limxαe−δx=0 其中α>0,δ>0x→0limxsinx=1 ⟹ϕ(x)→0limϕ(x)sinϕ(x)=1 其中ϕ(x)=0x→0lim(1+x)x1=e ⟹ϕ(x)→0lim(1+ϕ(x))ϕ(x)1=e 其中ϕ(x)=0n→∞limnn=1n→∞limna=1 (常数a>0)
常用等价无穷小
x → 0 时 , sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ( e x − 1 ) ∼ ln ( 1 + x ) ∼ x , 1 − cos x ∼ 1 2 x 2 , ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x , a x − 1 ∼ x ln a ( a > 0 , a ≠ 1 ) \begin{aligned} & x \to 0 时,\\\\ & \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim (e^x – 1) \sim \ln(1+x) \sim x ~~,~~ 1- \cos x \sim \frac{1}{2} x^2 ~~, \\ \\ & (1+x)^a – 1 \sim ax ~~,~~ a^x – 1 \sim x\ln a ~~~(a>0,a\neq1) \end{aligned} x→0时,sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼(ex−1)∼ln(1+x)∼x , 1−cosx∼21x2 ,(1+x)a−1∼ax , ax−1∼xlna (a>0,a=1)
1^∞ 型
lim u v = e lim ( u − 1 ) v ( 其 中 lim u = 1 , lim v = ∞ , 即 1 ∞ 型 ) \lim u^v = e^{\lim (u-1)v} ~~~~~~(其中 \lim u=1,\lim v=\infty,即 1^\infty 型) limuv=elim(u−1)v (其中limu=1,limv=∞,即1∞型)
导数相关公式
导数定义
f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \begin{aligned} & f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x} \\ \\ & f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0} \end{aligned} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
微分定义
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) A Δ x = f ′ ( x 0 ) Δ x \begin{aligned} & \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0) \\ \\ & \Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) \\ \\ & A\Delta x = f'(x_0) \Delta x \end{aligned} Δy=f(x0+Δx)−f(x0)Δy=AΔx+o(Δx)AΔx=f′(x0)Δx
连续,可导及可微关系
一元函数
多元函数
导数四则运算
[ u ( x ) ± v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) [ u ( x ) v ( x ) w ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) w ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) w ( x ) + u ( x ) v ( x ) w ′ ( x ) [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) [ v ( x ) ] 2 \begin{aligned} & [u(x) \pm v(x)]’ = u'(x) \pm v'(x) \\ \\ & [u(x)v(x)]’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ \\ & [u(x)v(x)w(x)]’ = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \\ \\ & \begin{bmatrix}\frac{u(x)}{v(x)} \end{bmatrix}’ = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \\ \\ \end{aligned} [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x)v(x)w(x)]′=u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w′(x)[v(x)u(x)]′=[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
复合函数求导
{ f [ g ( x ) ] } ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) \{ f[g(x)] \}’ = f'[g(x)]g'(x) {
f[g(x)]}′=f′[g(x)]g′(x)
反函数求导
y = f ( x ) , x = φ ( y ) ⟹ φ ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) y x ′ = d y d x = 1 d x d y = 1 x y ′ y x x ′ ′ = d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( 1 x y ′ ) d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ d y d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ 1 x y ′ = − x y y ′ ′ ( x y ′ ) 3 \begin{aligned} & y = f(x), x = \varphi(y) \implies \varphi ‘ (y) = \frac{1}{f'(x)} \\ \\ & y’_x = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{x’_y} \\ \\ & y^{”}_{xx} = \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac{d(\frac{1}{x’_y})}{dx} = \frac{d(\frac{1}{x’_y})}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d(\frac{1}{x’_y})}{dy} \cdot \frac{1}{x’_y} = \frac{-x^{”}_{yy}}{(x’_y)^3} \end{aligned} y=f(x),x=φ(y)⟹φ′(y)=f′(x)1yx′=dxdy=dydx1=xy′1yxx′′=dx2d2y=dxd(dxdy)=dxd(xy′1)=dyd(xy′1)⋅dxdy=dyd(xy′1)⋅xy′1=(xy′)3−xyy′′
参数方程求导
{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) d y d x = d y / d t d x / d t = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( d y d x ) / d t d x / d t = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) [ φ ′ ( t ) ] 3 \begin{aligned} & \begin{cases} x = \varphi (t) \\ y = \psi (t) \end{cases} \\\\ & \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi ‘ (t)}{\varphi ‘ (t)} \\ \\ & \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} = \frac {d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi ” (t) \varphi ‘(t) – \psi ‘(t) \varphi ” (t) }{[\varphi ‘ (t)]^3} \end{aligned} {
x=φ(t)y=ψ(t)dxdy=dx/dtdy/dt=φ′(t)ψ′(t)dx2d2y=dxd(dxdy)=dx/dtd(dxdy)/dt=[φ′(t)]3ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)
变限积分求导公式
设 F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t , 则 F ′ ( x ) = d d x [ ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t ] = f [ φ 2 ( x ) ] φ 2 ′ ( x ) − f [ φ 1 ( x ) ] φ 1 ′ ( x ) \begin{aligned} & 设 F(x) = \int ^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)} f(t) dt, 则 \\ \\ & F'(x) = \frac{d}{dx}\begin{bmatrix}\int ^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)} f(t) dt \end{bmatrix} = f[\varphi _2(x)]\varphi ‘_2(x) – f[\varphi_1(x)]\varphi ‘_1(x) \end{aligned} 设F(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt,则F′(x)=dxd[∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt]=f[φ2(x)]φ2′(x)−f[φ1(x)]φ1′(x)
基本初等函数的导数公式(❤❤❤)
( x a ) ′ = a x a − 1 ( a 为 常 数 ) ( a x ) ′ = a x ln a ( e x ) ′ = e x ( l o g a x ) ′ = 1 x ln a ( a > 0 , a ≠ 1 ) ( ln x ) ′ = 1 x ( sin x ) ′ = cos x ( cos x ) ′ = − sin x ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( tan x ) ′ = sec 2 x ( cot x ) ′ = − csc 2 x ( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 ( sec x ) ′ = sec x ⋅ tan x ( csc x ) ′ = − csc x ⋅ cot x [ ln ( x + x 2 + 1 ) ] ′ = 1 x 2 + 1 [ ln ( x + x 2 − 1 ) ] ′ = 1 x 2 − 1 \begin{aligned} & (x^a)’ = a x^{a-1} ~~~~~(a为常数) \\ \\ & (a^x)’ = a^x \ln a \\ \\ & (e^x)’ = e^x \\ \\ & (log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} ~~~~~(a>0, a \ne 1) \\ \\ & (\ln x)’ = \frac{1}{x} \\ \\ & (\sin x)’ = \cos x \\ \\ & (\cos x)’ = -\sin x \\ \\ & (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ & (\arccos x)’ = – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ & (\tan x)’ = \sec ^2 x \\ \\ & (\cot x)’ = – \csc^2 x \\ \\ & (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} \\ \\ & (arccot ~ x)’ = – \frac{1}{1+x^2} \\ \\ & (\sec x)’ = \sec x \cdot \tan x \\ \\ & (\csc x)’ = – \csc x \cdot \cot x \\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2+1})]’ = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2-1})]’ = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \\ \\ \end{aligned} (xa)′=axa−1 (a为常数)(ax)′=axlna(ex)′=ex(logax)′=xlna1 (a>0,a=1)(lnx)′=x1(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx(arcsinx)′=1−x21(arccosx)′=−1−x21(tanx)′=sec2x(cotx)′=−csc2x(arctanx)′=1+x21(arccot x)′=−1+x21(secx)′=secx⋅tanx(cscx)′=−cscx⋅cotx[ln(x+x2+1)]′=x2+11[ln(x+x2−1)]′=x2−11
高阶导数的运算
[ u ± v ] ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) [u \pm v ]^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} [u±v](n)=u(n)±v(n)
( u v ) ( n ) = u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ′ + C n 2 u ( n − 2 ) v ′ ′ + . . . + C n k u ( n − k ) v ( k ) + . . . + C n n − 1 u ′ v ( n − 1 ) + u v ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) \begin{aligned} (uv)^{(n)} & = u^{(n)}v + C_n^1 u^{(n-1)}v’ + C_n^2 u^{(n-2)}v” + … + C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} + … + C_n^{n-1} u’v^{(n-1)} + uv^{(n)} \\ & = \displaystyle\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} \end{aligned} (uv)(n)=u(n)v+Cn1u(n−1)v′+Cn2u(n−2)v′′+...+Cnku(n−k)v(k)+...+Cnn−1u′v(n−1)+uv(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)
常用初等函数的n阶导数公式
( a x ) ( n ) = a x ( ln a ) n ( e x ) ( n ) = e x ( sin k x ) ( n ) = k n sin ( k x + n ⋅ π 2 ) ( cos k x ) ( n ) = k n cos ( k x + n ⋅ π 2 ) ( ln x ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n ( x > 0 ) [ ln ( 1 + x ) ] ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( x + 1 ) n ( x > − 1 ) [ ( x + x 0 ) m ] ( n ) = m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( m − n + 1 ) ( x + x 0 ) m − n ( 1 x + a ) ( n ) = ( − 1 ) n ⋅ n ! ( x + a ) n + 1 \begin{aligned} & (a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n \\ \\ & (e^x)^{(n)} = e^x \\ \\ & (\sin kx)^{(n)} = k^n \sin (kx + n\cdot \frac{\pi}{2}) \\ \\ & (\cos kx)^{(n)} = k^n \cos (kx + n\cdot \frac{\pi}{2}) \\ \\ & (\ln x) ^ {(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} ~~~~~(x>0) \\ \\ & [\ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+1)^n} ~~~~~(x>-1) \\ \\ & [(x+x_0)^m]^{(n)} = m(m-1)(m-2)\cdotp\cdotp\cdotp\cdot (m-n+1)(x+x_0)^{m-n} \\ \\ & (\frac{1}{x+a})^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{(x+a)^{n+1}} \\ \\ \end{aligned} (ax)(n)=ax(lna)n(ex)(n)=ex(sinkx)(n)=knsin(kx+n⋅2π)(coskx)(n)=kncos(kx+n⋅2π)(lnx)(n)=(−1)n−1xn(n−1)! (x>0)[ln(1+x)](n)=(−1)n−1(x+1)n(n−1)! (x>−1)[(x+x0)m](n)=m(m−1)(m−2)⋅⋅⋅⋅(m−n+1)(x+x0)m−n(x+a1)(n)=(x+a)n+1(−1)n⋅n!
极值判别条件
{ 1. f ′ ( x ) 左 右 异 号 ⟹ { 左 正 右 负 ⟹ 极 大 值 左 负 右 正 ⟹ 极 小 值 2. f ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ( x ) ≠ 0 ⟹ { f ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ 极 大 值 f ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ 极 小 值 3. f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 , f ( n ) ( x ) ≠ 0 , n 为 偶 数 ⟹ { f ( n ) ( x ) < 0 ⟹ 极 大 值 f ( n ) ( x ) > 0 ⟹ 极 小 值 \begin{cases} 1.~~f'(x)左右异号 \implies \begin{cases} 左正右负 \implies 极大值 \\ 左负右正 \implies 极小值 \end{cases} \\ \\ 2.~~f'(x)=0, f”(x)\ne 0 \implies \begin{cases} f”(x) < 0 \implies 极大值 \\ f”(x)>0 \implies 极小值 \end{cases} \\ \\ 3. ~~f”(x) 到 f^{(n-1)}(x)=0 ,f^{(n)}(x) \ne 0, n为偶数 \implies \begin{cases} f^{(n)}(x) < 0 \implies 极大值 \\ f^{(n)}(x) > 0 \implies 极小值 \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1. f′(x)左右异号⟹{
左正右负⟹极大值左负右正⟹极小值2. f′(x)=0,f′′(x)=0⟹{
f′′(x)<0⟹极大值f′′(x)>0⟹极小值3. f′′(x)到f(n−1)(x)=0,f(n)(x)=0,n为偶数⟹{
f(n)(x)<0⟹极大值f(n)(x)>0⟹极小值
凹凸性判定
1. { f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ⟹ 凹 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ⟹ 凸 2. { f ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ 凹 f ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ 凸 \begin{aligned} 1.&\begin{cases} f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \implies 凹 \\\\ f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \implies 凸 \end{cases} \\\\ 2.&\begin{cases} f”(x) > 0 \implies 凹 \\\\ f”(x) < 0 \implies 凸 \end{cases} \end{aligned} 1.2.⎩⎪⎨⎪⎧f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)⟹凹f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)⟹凸⎩⎪⎨⎪⎧f′′(x)>0⟹凹f′′(x)<0⟹凸
拐点判别条件
{ 1. f ′ ′ ( x ) 左 右 异 号 ⟹ { 左 负 右 正 ⟹ 凸 → 凹 左 正 右 负 ⟹ 凹 → 凸 2. f ′ ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ′ ( x ) ≠ 0 ⟹ { f ′ ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ 凹 → 凸 f ′ ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ 凸 → 凹 3. f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 , f ( n ) ( x ) ≠ 0 , n 为 奇 数 ⟹ { f ( n ) ( x ) < 0 ⟹ 凹 → 凸 f ( n ) ( x ) > 0 ⟹ 凸 → 凹 \begin{cases} 1.~~f”(x)左右异号 \implies \begin{cases} 左负右正 \implies 凸 \to 凹 \\ 左正右负 \implies 凹 \to 凸 \end{cases} \\ \\ 2.~~f”(x)=0, f”'(x)\ne 0 \implies \begin{cases} f”'(x) < 0 \implies 凹 \to 凸 \\ f”'(x)>0 \implies 凸 \to 凹 \end{cases} \\ \\ 3. ~~f”(x) 到 f^{(n-1)}(x)=0 ,f^{(n)}(x) \ne 0, n为奇数 \implies \begin{cases} f^{(n)}(x) < 0 \implies 凹 \to 凸 \\ f^{(n)}(x) > 0 \implies 凸 \to 凹 \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1. f′′(x)左右异号⟹{
左负右正⟹凸→凹左正右负⟹凹→凸2. f′′(x)=0,f′′′(x)=0⟹{
f′′′(x)<0⟹凹→凸f′′′(x)>0⟹凸→凹3. f′′(x)到f(n−1)(x)=0,f(n)(x)=0,n为奇数⟹{
f(n)(x)<0⟹凹→凸f(n)(x)>0⟹凸→凹
斜渐近线
lim x → + ∞ f ( x ) x = a lim x → + ∞ ( f ( x ) − a x ) = b ⟹ 斜 渐 近 线 为 : y = a x + b \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a ~~~~\lim_{x \to + \infty}(f(x)-ax) = b \implies 斜渐近线为: y=ax+b x→+∞limxf(x)=a x→+∞lim(f(x)−ax)=b⟹斜渐近线为:y=ax+b
曲率
密 切 圆 半 径 r = ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 ∣ y ′ ′ ∣ 曲 率 K = 1 r = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 曲 率 圆 ( X − ( x − y ′ ( 1 + y ′ 2 ) y ′ ′ 2 ) ) 2 + ( Y − ( y + 1 + y ′ 2 y ′ ′ 2 ) ) = ( ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 ∣ y ′ ′ ∣ ) 2 \begin{aligned} 密切圆半径 ~~~~~ & r = \frac{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}}{|y”|} \\ \\ 曲率 ~~~~~ &K = \frac{1}{r} = \frac{|y”|}{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}} \\ \\ 曲率圆 ~~~~~& (X-(x-\frac{y'(1+y’^2)}{y”^2}))^2 +(Y-(y+\frac{1+y’^2}{y”^2})) = (\frac{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}}{|y”|})^2 \end{aligned} 密切圆半径 曲率 曲率圆 r=∣y′′∣(1+y′2)23K=r1=(1+y′2)23∣y′′∣(X−(x−y′′2y′(1+y′2)))2+(Y−(y+y′′21+y′2))=(∣y′′∣(1+y′2)23)2
积分相关公式
定积分的精确定义
∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( a + b − a n i ) b − a n 常 用 : ∫ 0 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( i n ) ⋅ 1 n ∫ 0 k f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 k n f ( i n ) ⋅ 1 n 二 重 定 积 分 精 确 定 义 : ∬ D f ( x , y ) d σ = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n f ( a + b − a n i , c + d − c n j ) ⋅ b − a n ⋅ d − c n 常 用 : ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n f ( i n , j n ) ⋅ 1 n 2 \begin{aligned} & \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n} \\ \\ \\ 常用:& \int_0^1 f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n} \\ \\ & \int_0^k f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{kn} f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n} \\ \\ \\ 二重定积分精确定义:& \iint\limits_D f(x,y) d\sigma = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{j=1}^n f(a+\frac{b-a}{n}i, c+\frac{d-c}{n}j) \cdot \frac{b-a}{n} \cdot \frac{d-c}{n} \\ \\ \\ 常用:&\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dxdy = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{j=1}^n f(\frac{i}{n}, \frac{j}{n})\cdot \frac{1}{n^2} \end{aligned} 常用:二重定积分精确定义:常用:∫abf(x)dx=n→∞limi=1∑nf(a+nb−ai)nb−a∫01f(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ni)⋅n1∫0kf(x)dx=n→∞limi=1∑knf(ni)⋅n1D∬f(x,y)dσ=n→∞limi=1∑nj=1∑nf(a+nb−ai,c+nd−cj)⋅nb−a⋅nd−c∫01∫01f(x,y)dxdy=n→∞limi=1∑nj=1∑nf(ni,nj)⋅n21
分布积分公式
∫ u d v = u v − ∫ v d u ∫ u v ( n + 1 ) d x = u v ( n ) − u ′ v ( n − 1 ) + u ′ ′ v ( n − 2 ) − . . . + ( − 1 ) n u ( n ) v + ( − 1 ) n + 1 ∫ u ( n + 1 ) v d x \begin{aligned} & \int u dv = uv – \int vdu \\ & \int uv^{(n+1)}dx = uv^{(n)} – u’v^{(n-1)} + u”v^{(n-2)} – … + (-1)^nu^{(n)}v + (-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx \end{aligned} ∫udv=uv−∫vdu∫uv(n+1)dx=uv(n)−u′v(n−1)+u′′v(n−2)−...+(−1)nu(n)v+(−1)n+1∫u(n+1)vdx
分部积分表格法
∫ f ( x ) g ( x ) d x \int f(x) g(x) dx\\\\\\ ∫f(x)g(x)dx
f ( x ) f ′ ( x ) f ′ ′ ( x ) ⋯ f ( n ) ( x ) g ( x ) g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g n ( x ) \def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c:c:c} f(x) & f'(x) & f”(x) & \cdots & f^{(n)}(x) \\ \hline g(x) & g_1(x) & g_2(x) & \cdots & g_n(x) \\ \end{array} f(x)g(x)f′(x)g1(x)f′′(x)g2(x)⋯⋯f(n)(x)gn(x)
∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g 1 ( x ) − f ′ ( x ) g 2 ( x ) + f ′ ′ ( x ) g 3 ( x ) − ⋯ ± ∫ f ( n ) ( x ) g n ( x ) d x 其 中 g 1 ( x ) 代 表 g ( x ) 的 积 分 , 依 次 类 推 。 公 式 为 斜 对 角 线 加 减 交 替 。 \int f(x) g(x) dx = f(x)g_1(x) – f'(x)g_2(x) + f”(x)g_3(x) – \cdots \pm \int f^{(n)}(x) g_n(x) dx \\ \\ 其中 g_1(x) 代表g(x)的积分,依次类推。公式为斜对角线加减交替。 ∫f(x)g(x)dx=f(x)g1(x)−f′(x)g2(x)+f′′(x)g3(x)−⋯±∫f(n)(x)gn(x)dx其中g1(x)代表g(x)的积分,依次类推。公式为斜对角线加减交替。
区间再现公式
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx
华里士公式
∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 ⋅ π 2 n 为 正 偶 数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 3 n 为 大 于 1 的 奇 数 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin ^n x dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos ^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ~~~~~ n 为正偶数 \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \frac{2}{3} ~~~~~ n 为大于1的奇数 \\ \end{cases} ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={
nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅⋅⋅21⋅2π n为正偶数nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅⋅⋅32 n为大于1的奇数
敛散性判别公式
∫ 1 + ∞ 1 x p d x ⟹ { p > 1 ⟹ 收 敛 p ≤ 1 ⟹ 发 散 ∫ 0 1 1 x p d x ⟹ { p < 1 ⟹ 收 敛 p ≥ 1 ⟹ 发 散 \begin{aligned} & \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \implies & \begin{cases} p>1 \implies 收敛 \\ p \le 1 \implies 发散 \end{cases} \\\\ & \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx \implies & \begin{cases} p < 1 \implies 收敛 \\ p \ge 1 \implies 发散 \end{cases} \\\\ \end{aligned} ∫1+∞xp1dx⟹∫01xp1dx⟹{
p>1⟹收敛p≤1⟹发散{
p<1⟹收敛p≥1⟹发散
基本积分公式
以 下 公 式 中 , α 与 a 均 为 常 数 , 除 声 明 者 外 , a > 0 ∫ x α d x = 1 α + 1 x α + 1 + C ( α ≠ − 1 ) ∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C ∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0 , a ≠ 1 ) ∫ e x d x = e x + C ∫ sin x d x = − cos x + C ∫ cos x d x = sin x + C ∫ tan x d x = − ln ∣ cos x ∣ + C ∫ cot x d x = ln ∣ sin x ∣ + C ∫ sec x d x = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C ∫ csc x d x = ln ∣ csc x − cot x ∣ + C ∫ sec 2 x d x = tan x + C ∫ csc 2 x d x = − cot x + C ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan x a + C ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 2 a ln ∣ a + x a − x ∣ + C ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C ∫ 1 x 2 ± a 2 d x = ln ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C \begin{aligned} & 以下公式中,\alpha 与 a 均为常数,除声明者外,a>0 \\ \\ & \int x^\alpha dx = \frac{1}{\alpha +1} x^{\alpha + 1} + C ~~~~~(\alpha \ne -1) \\ \\ & \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C \\ \\ & \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C ~~~~~(a >0 , a\ne 1) \\ \\ & \int e^x dx = e^x + C \\ \\ & \int \sin x dx = -\cos x + C \\ \\ & \int \cos x dx = \sin x +C \\ \\ & \int \tan x dx = – \ln |\cos x| + C \\ \\ & \int \cot xdx = \ln |\sin x| + C \\ \\ & \int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \\ \\ & \int \csc x dx = \ln |\csc x – \cot x| + C \\ \\ & \int \sec ^2 x dx = \tan x + C \\ \\ & \int \csc^2x dx = – \cot x + C \\ \\ & \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \\ \\ & \int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{a+x}{a-x}| + C \\ \\ & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \\ \\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln |x+\sqrt{x^2 \pm a^2}| + C \end{aligned} 以下公式中,α与a均为常数,除声明者外,a>0∫xαdx=α+11xα+1+C (α=−1)∫x1dx=ln∣x∣+C∫axdx=lnaax+C (a>0,a=1)∫exdx=ex+C∫sinxdx=−cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C∫sec2xdx=tanx+C∫csc2xdx=−cotx+C∫a2+x21dx=a1arctanax+C∫a2−x21dx=2a1ln∣a−xa+x∣+C∫a2−x21dx=arcsinax+C∫x2±a21dx=ln∣x+x2±a2∣+C
重要积分公式
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = n ! ∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) ∫ 0 1 f [ a + ( b − a ) x ] d x \begin{aligned} & \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 2\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \\ \\ & \int_{0}^{+\infty} x^n e^{-x} dx = n! \\ \\ & \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_0^a [f(x)+f(-x)]dx \\ \\ & \int_0^\pi xf(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x)dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx \\ \\ & \int_a^b f(x) dx = (b-a) \int_0^1 f[a+(b-a)x] dx \end{aligned} ∫−∞+∞e−x2dx=2∫0+∞e−x2dx=π∫0+∞xne−xdx=n!∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx∫abf(x)dx=(b−a)∫01f[a+(b−a)x]dx
有理函数的拆分
P n ( x ) ( a 1 x + b 1 ) ( a 2 x + b 2 ) ( a 3 x + b 3 ) = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 2 x + b 2 + A 3 a 2 x + b 2 P n ( x ) Q m ( x ) ( a x + b ) 3 = A ( x ) Q m ( x ) + A 1 ( a x + b ) 3 + A 2 ( a x + b ) 2 + A 3 ( a x + b ) P n ( x ) Q m ( x ) ( a x 2 + b x + c ) 3 = A ( x ) Q m ( x ) + A 1 x + B 1 ( a x 2 + b x + c ) 3 + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + A 3 x + B 3 ( a x 2 + b x + c ) \begin{aligned} & \frac{P_n(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2)(a_3 x+b_3)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1}+\frac{A_2}{a_2 x+b_2}+\frac{A_3}{a_2 x+b_2} \\ \\ & \frac{P_n(x)}{Q_m(x)(ax+b)^3} = \frac{A(x)}{Q_m(x)} + \frac{A_1}{(ax+b)^3} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \frac{A_3}{(ax+b)} \\ \\ & \frac{P_n(x)}{Q_m(x)(ax^2+bx+c)^3} = \frac{A(x)}{Q_m(x)} + \frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)^3} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \frac{A_3x+B_3}{(ax^2+bx+c)} \\ \\ \end{aligned} (a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)Pn(x)=a1x+b1A1+a2x+b2A2+a2x+b2A3Qm(x)(ax+b)3Pn(x)=Qm(x)A(x)+(ax+b)3A1+(ax+b)2A2+(ax+b)A3Qm(x)(ax2+bx+c)3Pn(x)=Qm(x)A(x)+(ax2+bx+c)3A1x+B1+(ax2+bx+c)2A2x+B2+(ax2+bx+c)A3x+B3
积分求平均值
f ( x ) 在 [ a , b ] 上 的 平 均 值 为 : ∫ a b f ( x ) d x b − a f(x) 在[a,b]上的平均值为: \frac{\int_a^b f(x) dx}{b-a} f(x)在[a,b]上的平均值为:b−a∫abf(x)dx
定积分应用
定积分求平面图形面积
y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) , 及 x = a , x = b ( a < b ) 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 : S = ∫ a b ∣ y 1 ( x ) − y 2 ( x ) ∣ d x 曲 线 r = r 1 ( θ ) 与 r = r 2 ( θ ) 与 两 射 线 θ = α 与 θ = β ( 0 < β − α ≤ 2 π ) 所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 : S = 1 2 ∫ α β ∣ r 1 2 ( θ ) − r 2 2 ( θ ) ∣ d θ \begin{aligned} & y=y_1(x) 与 y=y_2(x),及x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形面积:\\ \\ & S= \int_a^b |y_1(x)-y_2(x)|dx \\ \\ \\ & 曲线 r=r_1(\theta) 与 r=r_2(\theta) 与 两射线 \theta = \alpha 与 \theta = \beta (0<\beta – \alpha \le 2\pi)所围成的曲边扇形的面积:\\ \\ & S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta |{r_1}^2(\theta) – {r_2}^2(\theta)|d\theta \end{aligned} y=y1(x)与y=y2(x),及x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形面积:S=∫ab∣y1(x)−y2(x)∣dx曲线r=r1(θ)与r=r2(θ)与两射线θ=α与θ=β(0<β−α≤2π)所围成的曲边扇形的面积:S=21∫αβ∣r12(θ)−r22(θ)∣dθ
定积分求旋转体的体积
曲 线 y = y ( x ) 与 x = a , x = b ( a < b ) 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = π ∫ a b y 2 ( x ) d x 曲 线 y = y 1 ( x ) ≥ 0 与 y = y 2 ( x ) ≥ 0 及 x = a , x = b ( a < b ) 所 围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 的 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = π ∫ a b ∣ y 1 2 ( x ) − y 2 2 ( x ) ∣ d x 曲 线 y = y ( x ) 与 x = a , x = b ( 0 ≤ a < b ) 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 的 旋 转 体 的 体 积 V y = 2 π ∫ a b x ∣ y ( x ) ∣ d x 曲 线 y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) 及 x = a , x = b ( 0 ≤ a ≤ b ) 所 围 成 的 圆 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 V = 2 π ∫ a b x ∣ y 1 ( x ) − y 2 ( x ) ∣ d x \begin{aligned} & 曲线 y=y(x)与x=a,x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积 \\ \\ & V = \pi\int_a^b y^2(x) dx \\ \\ \\ & 曲线y=y_1(x) \ge 0 与 y = y_2(x) \ge 0 及 x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积 \\ \\ & V = \pi \int_a^b |{y_1}^2(x) – {y_2}^2(x)| dx \\ \\ \\ & 曲线 y=y(x) 与 x=a,x=b(0\le a < b) 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积 \\ \\ & V_y = 2\pi \int_a^b x|y(x)|dx \\ \\ \\ & 曲线y=y_1(x)与y=y_2(x)及x=a,x=b(0\le a \le b)所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 \\\\ & V= 2\pi \int_a^b x |{y_1}(x) – {y_2}(x)| dx \end{aligned} 曲线y=y(x)与x=a,x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫aby2(x)dx曲线y=y1(x)≥0与y=y2(x)≥0及x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积V=π∫ab∣y12(x)−y22(x)∣dx曲线y=y(x)与x=a,x=b(0≤a<b)及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积Vy=2π∫abx∣y(x)∣dx曲线y=y1(x)与y=y2(x)及x=a,x=b(0≤a≤b)所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V=2π∫abx∣y1(x)−y2(x)∣dx
平面曲线的弧长
L = ∫ a b 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x L = ∫ α β [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 d t L = ∫ α β [ r ( θ ) ] 2 + [ r ′ ( θ ) ] 2 d θ \begin{aligned} & L = \int_a^b \sqrt{1+[y'(x)]^2}dx \\ \\ & L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}dt \\ \\ & L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta \end{aligned} L=∫ab1+[y′(x)]2dxL=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dtL=∫αβ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ
旋转曲面的面积
曲 线 y = y ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 曲 线 弧 段 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 曲 面 的 “ 面 积 ” S = 2 π ∫ a b ∣ y ( x ) ∣ 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x S = 2 π ∫ a b ∣ y ( t ) ∣ [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 d t S = 2 π ∫ α β r sin θ r 2 + ( r ′ ) 2 d θ \begin{aligned} & 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积” \\\\ & S = 2\pi \int_a^b |y(x)| \sqrt{1+[y'(x)]^2}dx \\ \\ & S = 2\pi \int_a^b |y(t)| \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt \\ \\ & S = 2\pi \int_\alpha^\beta r\sin \theta \sqrt{r^2 + (r’)^2} d\theta \end{aligned} 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积”S=2π∫ab∣y(x)∣1+[y′(x)]2dxS=2π∫ab∣y(t)∣[x′(t)]2+[y′(t)]2dtS=2π∫αβrsinθr2+(r′)2dθ
平面截面面积为已知的立体体积
在 区 间 [ a , b ] 上 , 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 立 体 Ω 所 得 到 截 面 面 积 为 x 的 连 续 函 数 A ( x ) , 则 Ω 的 体 积 为 V = ∫ a b A ( x ) d x \begin{aligned} & 在区间[a,b]上,垂直于x轴的平面截立体\Omega所得到截面面积为x的连续函数A(x),则\Omega的体积为 \\ \\ & V = \int_a^b A(x)dx \end{aligned} 在区间[a,b]上,垂直于x轴的平面截立体Ω所得到截面面积为x的连续函数A(x),则Ω的体积为V=∫abA(x)dx
变力沿直线做功
设 力 函 数 为 F ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) , 则 物 体 沿 x 轴 从 点 a 移 动 到 点 b 时 , 变 力 F ( x ) 所 做 的 功 为 W = ∫ a b F ( x ) d x \begin{aligned} & 设力函数为F(x) (a\le x \le b),则物体沿x轴从点a移动到点b时,变力F(x)所做的功为 \\\\ & W = \int_a^bF(x)dx \end{aligned} 设力函数为F(x)(a≤x≤b),则物体沿x轴从点a移动到点b时,变力F(x)所做的功为W=∫abF(x)dx
抽水做功
W = ρ g ∫ a b x A ( x ) d x ( ρ 为 水 的 密 度 , g 为 重 力 加 速 度 , A ( x ) 为 水 平 截 面 面 积 ) \begin{aligned} & W = \rho g \int_a^b xA(x)dx ~~~~~\\\\ &(\rho为水的密度,g为重力加速度,A(x)为水平截面面积) \end{aligned} W=ρg∫abxA(x)dx (ρ为水的密度,g为重力加速度,A(x)为水平截面面积)
水压力
P = ρ g ∫ a b x [ f ( x ) − h ( x ) ] d x ( ρ 为 水 的 密 度 , g 为 重 力 加 速 度 , f ( x ) − h ( x ) 是 矩 形 条 的 宽 度 , d x 是 矩 形 条 的 高 度 ) \begin{aligned} & P = \rho g \int_a^b x[f(x)-h(x)]dx ~~~~~\\\\ &(\rho为水的密度,g为重力加速度,f(x)-h(x)是矩形条的宽度,dx是矩形条的高度) \end{aligned} P=ρg∫abx[f(x)−h(x)]dx (ρ为水的密度,g为重力加速度,f(x)−h(x)是矩形条的宽度,dx是矩形条的高度)
质心
直线段的质心(一维)
x ˉ = ∫ a b x ρ ( x ) d x ∫ a b ρ ( x ) d x ρ ( x ) 为 不 均 匀 物 体 的 密 度 与 x 的 函 数 关 系 \begin{aligned} & \bar{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)dx} \\\\ & \rho(x) 为不均匀物体的密度与x的函数关系 \end{aligned} xˉ=∫abρ(x)dx∫abxρ(x)dxρ(x)为不均匀物体的密度与x的函数关系
不均匀薄片质心(二维)
x ˉ = M y M = ∬ D x ρ ( x , y ) d x d y ∬ D ρ ( x , y ) d x d y y ˉ = M x M = ∬ D y ρ ( x , y ) d x d y ∬ D ρ ( x , y ) d x d y ρ ( x , y ) 为 不 均 匀 物 体 的 密 度 与 x , y 的 函 数 关 系 \begin{aligned} & \bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{\iint\limits_D x \rho(x,y)dxdy}{\iint\limits_D \rho(x,y) dxdy} \\\\ & \bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{\iint\limits_D y \rho(x,y)dxdy}{\iint\limits_D \rho(x,y) dxdy} \\\\ & \rho(x,y) 为不均匀物体的密度与x,y的函数关系 \end{aligned} xˉ=MMy=D∬ρ(x,y)dxdyD∬xρ(x,y)dxdyyˉ=MMx=D∬ρ(x,y)dxdyD∬yρ(x,y)dxdyρ(x,y)为不均匀物体的密度与x,y的函数关系
形心
x ˉ = M y M = ∬ D x d x d y ∬ D d x d y y ˉ = M x M = ∬ D y d x d y ∬ D d x d y 质 量 均 匀 的 情 况 下 , 质 心 与 形 心 重 合 , 即 舍 去 密 度 ρ ( x , y ) \begin{aligned} & \bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{\iint\limits_D x dxdy}{\iint\limits_D dxdy} \\\\ & \bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{\iint\limits_D y dxdy}{\iint\limits_D dxdy} \\\\ & 质量均匀的情况下,质心与形心重合,即舍去密度\rho(x,y) \end{aligned} xˉ=MMy=D∬dxdyD∬xdxdyyˉ=MMx=D∬dxdyD∬ydxdy质量均匀的情况下,质心与形心重合,即舍去密度ρ(x,y)
质量
m = ∬ D ρ ( x , y ) d x d y m = \iint\limits_D \rho (x,y)dxdy m=D∬ρ(x,y)dxdy
转动惯量
I x = ∬ D y 2 ρ ( x , y ) d x d y I y = ∬ D x 2 ρ ( x , y ) d x d y \begin{aligned} & I_x = \iint\limits_D y^2 \rho(x,y)dxdy \\\\ & I_y = \iint\limits_D x^2 \rho(x,y)dxdy \\\\ \end{aligned} Ix=D∬y2ρ(x,y)dxdyIy=D∬x2ρ(x,y)dxdy
物理公式
浮 力 公 式 : F 浮 = ρ 液 g V 排 压 强 : P = F S ( F 为 压 力 , S 为 受 力 面 积 ) 压 强 与 气 体 体 积 成 反 比 : P V = k ( k = n R T , n 是 分 子 个 数 , R 为 常 数 , T 为 温 度 ) 水 深 h 处 的 压 强 : P = ρ g h 在 水 中 的 压 力 : F 压 = P 压 S 受 压 面 积 = ρ g h S 受 压 面 积 力 : F = G 重 力 = m g 重 力 加 速 度 做 功 : W 功 = F 力 S 距 离 = m g h 高 度 = ρ g h V = ρ g s h 2 密 度 公 式 : ρ = m V 引 力 : F = G m 1 m 2 r 2 ( 质 量 为 m 1 , m 2 相 距 为 r 的 两 质 点 间 的 引 力 大 小 ) \begin{aligned} 浮力公式:~~~ & F_{浮} = \rho_{_液}gV_{_排} \\\\ 压强:~~~& P = \frac{F}{S} ~~~~~~~(F为压力,S为受力面积)\\\\ 压强与气体体积成反比:~~~& PV=k ~~~~~(k=nRT,n是分子个数,R为常数,T为温度) \\\\ 水深h处的压强:~~~& P=\rho gh \\\\ 在水中的压力:~~~& F_{_压} = P_{_压}S_{_{受压面积}} = \rho g h S_{_{受压面积}} \\ \\ 力:~~~& F = G_{_{重力}} = mg_{_{重力加速度}} \\ \\ 做功:~~~& W_功 = F_{_力} S_{_{距离}} = mgh_{_{高度}} = \rho g h V =\rho g s h^2 \\ \\ 密度公式:~~~& \rho = \frac{m}{V} \\\\ 引力:~~~ & F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} ~~~~~~~(质量为m_1,m_2相距为r的两质点间的引力大小) \end{aligned} 浮力公式: 压强: 压强与气体体积成反比: 水深h处的压强: 在水中的压力: 力: 做功: 密度公式: 引力: F浮=ρ液gV排P=SF (F为压力,S为受力面积)PV=k (k=nRT,n是分子个数,R为常数,T为温度)P=ρghF压=P压S受压面积=ρghS受压面积F=G重力=mg重力加速度W功=F力S距离=mgh高度=ρghV=ρgsh2ρ=VmF=Gr2m1m2 (质量为m1,m2相距为r的两质点间的引力大小)
泰勒公式
f ( x ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) = lim n → ∞ ∑ i = 0 n f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n \begin{aligned} f(x) & = \frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f”(a)}{2!} (x-a)^2 + … + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + R_n(x) \\ \\ & = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i=0}^n \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{aligned} f(x)=0!f(a)+1!f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+...+n!f(n)(a)(x−a)n+Rn(x)=n→∞limi=0∑nn!f(n)(a)(x−a)n
拉格朗日余项的泰勒公式
f ( x ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 其 中 ξ 介 于 x , a 之 间 . f(x) = \frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f”(a)}{2!} (x-a)^2 + … + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} ~~~~~其中\xi 介于x,a之间. f(x)=0!f(a)+1!f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+...+n!f(n)(a)(x−a)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−a)n+1 其中ξ介于x,a之间.
佩亚诺余项的泰勒公式
f ( x ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + o ( ( x − a ) n ) f(x) = \frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f”(a)}{2!} (x-a)^2 + … + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + o((x-a)^n) f(x)=0!f(a)+1!f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+...+n!f(n)(a)(x−a)n+o((x−a)n)
常用的泰勒展开式
sin x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) arcsin x = x + x 3 3 ! + o ( x 3 ) tan x = x + x 3 3 + o ( x 3 ) arctan x = x − x 3 3 + x 5 5 + o ( x 5 ) ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + o ( x 2 ) 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + o ( x 3 ) 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + o ( x 3 ) ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + o ( x 4 ) 1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + o ( x 6 ) e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + o ( x 3 ) \begin{aligned} & \\ & \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \\ \\ & \cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) \\ \\ & \arcsin x = x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \\ \\ \\ & \tan x = x + \frac{x^3}{3} + o (x^3) \\ \\ & \arctan x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5) \\ \\ \\ & (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha – 1)}{2!} x^2 + o(x^2) \\ \\ & \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3) \\ \\ & \frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – x^3 + o(x^3) \\ \\ & \ln (1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + o(x^4) \\ \\ & \frac{1}{1+x^2} = 1 – x^2 + x^4 – x^6 + o(x^6) \\ \\ & e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \end{aligned} sinx=x−3!x3+o(x3)cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)arcsinx=x+3!x3+o(x3)tanx=x+3x3+o(x3)arctanx=x−3x3+5x5+o(x5)(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+o(x2)1−x1=1+x+x2+x3+o(x3)1+x1=1−x+x2−x3+o(x3)ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+o(x4)1+x21=1−x2+x4−x6+o(x6)ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)
口诀:指对连,三角断,三角对数隔一换,三角指数有感叹,反三角它同又乱
指对连:指数函数、对数函数,都是12345连续的
三角断:三角函数的展开式是135,246这样不连续的
三角对数隔一换:三角函数和对数函数的符号隔一个换一次
三角指数有感叹:三角函数和指数函数中分母有阶层(感叹号)
反三角它同又乱:反三角函数的和三角函数第一项相同,第二项为相反数
中值定理
罗尔定理
设 f ( x ) 满 足 { ( 1 ) [ a , b ] 上 连 续 ( 2 ) ( a , b ) 内 可 导 ( 3 ) f ( a ) = f ( b ) ⟹ 则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , 使 得 f ′ ( ξ ) = 0 设f(x)满足 \begin{cases} (1)[a,b]上连续 \\ (2)(a,b) 内可导 \\ (3)f(a) = f(b) \end{cases} \implies则\exists \xi \in (a,b),使得 f'(\xi)=0 设f(x)满足⎩⎪⎨⎪⎧(1)[a,b]上连续(2)(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)⟹则∃ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0
罗尔定理推论
若 f ( n ) ( x ) = 0 至 多 k 个 根 ⟹ 则 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 至 多 k + 1 个 根 若 f^{(n)}(x)=0 至多k个根 \implies 则 f^{(n-1)}(x)=0至多k+1个根 若f(n)(x)=0至多k个根⟹则f(n−1)(x)=0至多k+1个根
罗尔定理证明题辅助函数构造
f ′ ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) = 0 ⟹ F ( x ) = f ′ ( x ) e ∫ g ( x ) d x f ( x ) + g ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t = 0 ⟹ F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t ⋅ e ∫ g ( x ) d x f ′ ( x ) + g ( x ) [ f ( x ) − 1 ] = 0 ⟹ F ( x ) = [ f ( x ) − 1 ] ⋅ e ∫ g ( x ) d x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ \begin{aligned} & f”(x) + g(x)f'(x) = 0 \implies F(x) = f'(x) e^{\int g(x)dx} \\ \\ & f(x) + g(x)\int_0^x f(t)dt = 0 \implies F(x) = \int_0^x f(t) dt \cdot e^{\int g(x)dx} \\ \\ & f'(x) + g(x)[f(x)-1] =0 \implies F(x) = [f(x) -1] \cdot e^{\int g(x)dx} \\ \\ & \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \end{aligned} f′′(x)+g(x)f′(x)=0⟹F(x)=f′(x)e∫g(x)dxf(x)+g(x)∫0xf(t)dt=0⟹F(x)=∫0xf(t)dt⋅e∫g(x)dxf′(x)+g(x)[f(x)−1]=0⟹F(x)=[f(x)−1]⋅e∫g(x)dx⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
微分方程构造罗尔定理辅助函数
欲 证 : F [ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) ] = 0 1 ) 求 微 分 方 程 F ( x , y , y ′ ) = 0 的 通 解 H ( x , y ) = C 2 ) 设 辅 助 函 数 : g ( x ) = H ( x , f ( x ) ) \begin{aligned} & 欲证:F[\xi, f(\xi), f'(\xi)] = 0 \\ \\ & 1) 求微分方程 F(x, y, y’) =0的通解H(x,y) =C \\ \\ & 2) 设辅助函数:g(x) = H(x, f(x)) \end{aligned} 欲证:F[ξ,f(ξ),f′(ξ)]=01)求微分方程F(x,y,y′)=0的通解H(x,y)=C2)设辅助函数:g(x)=H(x,f(x))
拉格朗日中值定理
设 f ( x ) 满 足 { ( 1 ) [ a , b ] 上 连 续 ( 2 ) ( a , b ) 内 可 导 ⟹ 则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , 使 得 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) , 或 者 写 成 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a \begin{aligned} & 设f(x)满足 \begin{cases} (1)[a,b]上连续 \\ (2)(a,b) 内可导 \\ \end{cases} \\ \\ & \implies则\exists \xi \in (a,b),使得 f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a),或者写成 \\ \\ & f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned} 设f(x)满足{
(1)[a,b]上连续(2)(a,b)内可导⟹则∃ξ∈(a,b),使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),或者写成f′(ξ)=b−af(b)−f(a)
柯西中值定理
设 f ( x ) , g ( x ) 满 足 { ( 1 ) [ a , b ] 上 连 续 ( 2 ) ( a , b ) 内 可 导 ( 3 ) g ′ ( x ) ≠ 0 ⟹ 则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , 使 得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \begin{aligned} & 设f(x),g(x)满足 \begin{cases} (1)[a,b]上连续 \\ (2)(a,b) 内可导 \\ (3)g'(x) \neq 0 \end{cases} \\ \\ & \implies则\exists \xi \in (a,b),使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \end{aligned} 设f(x),g(x)满足⎩⎪⎨⎪⎧(1)[a,b]上连续(2)(a,b)内可导(3)g′(x)=0⟹则∃ξ∈(a,b),使得g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
积分中值定理
f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ⟹ 存 在 η ∈ [ a , b ] , 使 得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( η ) ( b − a ) f ( x ) , g ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 , 且 g ( x ) 不 变 号 ⟹ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( η ) ∫ a b g ( x ) d x 二 重 积 分 中 值 定 理 , D 上 连 续 , A 为 D 的 面 积 ⟹ ∬ D f ( x , y ) d x d y = f ( ξ , η ) A \begin{aligned} & f(x)在[a,b]上连续 \implies 存在 \eta \in [a,b], 使得 \\ & \int_a^b f(x) dx = f(\eta)(b-a) \\ \\ \\ & f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)不变号 \implies \\ & \int_a^b f(x)g(x)dx = f(\eta)\int_a^b g(x)dx \\\\\\ & 二重积分中值定理,D上连续,A为D的面积 \implies \\ & \iint\limits_D f(x,y) dxdy = f(\xi, \eta)A \end{aligned} f(x)在[a,b]上连续⟹存在η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b−a)f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)不变号⟹∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx二重积分中值定理,D上连续,A为D的面积⟹D∬f(x,y)dxdy=f(ξ,η)A
多元微积分相关公式
多元微分定义
定 义 : Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) ( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) 全 增 量 : Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) 线 性 增 量 : A Δ x + B Δ y 其 中 A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , B = f y ′ ( x 0 , y 0 ) 可 微 判 定 : lim Δ x → 0 Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ⟹ { = 0 ⟹ 可 微 ≠ 0 ⟹ 不 可 微 \begin{aligned} 定义:& \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o (\rho) ~~~~~~ (\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y) ^2}) \\ \\ 全增量:& \Delta z =f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) – f(x_0, y_0) \\ \\ 线性增量:& A\Delta x + B \Delta y ~~~~~~ 其中 ~~ A=f’_x(x_0, y_0),B=f’_y(x_0, y_0) \\ \\ 可微判定:& \lim_{\underset{\Delta y \to 0}{\Delta x \to 0}} \frac{\Delta z – (A\Delta x + B \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y )^2}} \implies \begin{cases} = 0 \implies 可微 \\ \ne 0 \implies 不可微 \end{cases} \\ \\ \end{aligned} 定义:全增量:线性增量:可微判定:Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) (ρ=(Δx)2+(Δy)2)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)AΔx+BΔy 其中 A=fx′(x0,y0),B=fy′(x0,y0)Δy→0Δx→0lim(Δx)2+(Δy)2Δz−(AΔx+BΔy)⟹{
=0⟹可微=0⟹不可微
多元隐函数求导
∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x} = – \frac{F’_x}{F’_z} \\ \\ & \frac{\partial z}{\partial y} = – \frac{F’_y}{F’_z} \\ \end{aligned} ∂x∂z=−Fz′Fx′∂y∂z=−Fz′Fy′
极坐标下二重积分计算法
∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \underset{D}{\iint} f(x,y)d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta, r\sin\theta)rdr D∬f(x,y)dσ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr
隐函数存在定理
F 函 数 F ( x , y , z ) 在 点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 , F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 ⟹ 方 程 F ( x , y , z ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 z = f ( x , y ) \begin{aligned} & F函数F(x,y,z)在点P(x_0,y_0,z_0)的某一邻域内具有连续偏导数 \\ & F(x_0, y_0, z_0) =0, F’_z(x_0, y_0, z_0) \ne 0 \\ \implies & 方程F(x,y,z)=0 在点(x_0, y_0, z_0)的某一邻域内能唯一确定\\ &一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y) \end{aligned} ⟹F函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0,y0,z0)=0,Fz′(x0,y0,z0)=0方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)
多元函数极值判定
1. 求 出 同 时 满 足 f x ′ ( x , y ) = 0 , f y ′ ( x , y ) = 0 的 “ 一 组 ” ( x 0 , y 0 ) 2. 记 { f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C 则 Δ = B 2 − A C { < 0 ⟹ 极 值 { A < 0 ⟹ 极 大 值 A > 0 ⟹ 极 小 值 > 0 ⟹ 非 极 值 = 0 ⟹ 方 法 失 效 , 另 谋 他 法 \begin{aligned} 1.&~~~ 求出同时满足 f’_x(x,y) =0,f’_y(x,y) =0的“一组”(x_0,y_0) \\ \\ 2. &~~~ 记 \begin{cases} f”_{xx}(x_0,y_0) =A \\ f”_{xy}(x_0,y_0) =B \\ f”_{yy}(x_0,y_0)=C \end{cases} ~~则 \Delta=B^2-AC \begin{cases} <0 \implies 极值 \begin{cases} A<0 \implies 极大值 \\ A>0 \implies 极小值 \end{cases} \\ >0 \implies 非极值 \\ =0 \implies 方法失效,另谋他法 \end{cases} \end{aligned} 1.2. 求出同时满足fx′(x,y)=0,fy′(x,y)=0的“一组”(x0,y0) 记⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)=Afxy′′(x0,y0)=Bfyy′′(x0,y0)=C 则Δ=B2−AC⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧<0⟹极值{
A<0⟹极大值A>0⟹极小值>0⟹非极值=0⟹方法失效,另谋他法
拉格朗日数乘法求最值
求 u = f ( x , y , z ) 在 条 件 { ϕ ( x , y , z ) = 0 ψ ( x , y , z ) = 0 的 最 值 1. 构 造 辅 助 函 数 F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ ϕ ( x , y , z ) + μ ψ ( x , y , z ) 2. 得 { F x ′ = f x ′ + λ ϕ x ′ + μ ψ x ′ = 0 F y ′ = f y ′ + λ ϕ y ′ + μ ψ y ′ = 0 F z ′ = f z ′ + λ ϕ z ′ + μ ψ z ′ = 0 F λ ′ = ϕ ( x , y , z ) = 0 F μ ′ = ψ ( x , y , z ) = 0 3. 解 方 程 得 备 选 点 P i , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , n 4. 求 f ( P i ) , 取 最 大 值 为 u m a x , 最 小 值 为 u m i n \begin{aligned} & 求 u = f(x,y,z) 在条件\begin{cases} \phi(x,y,z) =0 \\ \psi(x,y,z) = 0 \end{cases} 的最值 \\\\\\ 1.&~~~ 构造辅助函数~~ F(x,y,z,\lambda, \mu) = f(x,y,z) + \lambda \phi(x,y,z) + \mu \psi(x,y,z) \\\\ 2.&~~~ 得 \begin{cases} F_x’ = f_x’ + \lambda\phi _x’ +\mu \psi_x’ = 0 \\ F_y’ = f_y’ + \lambda\phi _y’ +\mu \psi_y’ = 0 \\ F_z’ = f_z’ + \lambda\phi _z’ +\mu \psi_z’ = 0 \\ F_{\lambda}’ = \phi(x,y,z) = 0 \\ F_{\mu}’ = \psi(x,y,z) = 0 \\ \end{cases} \\\\ 3.& ~~~解方程得备选点 P_i, i=1,2,3, \cdots,n \\\\ 4.& ~~~求f(P_i) ,取最大值为 u_{max},最小值为u_{min} \end{aligned} 1.2.3.4.求u=f(x,y,z)在条件{
ϕ(x,y,z)=0ψ(x,y,z)=0的最值 构造辅助函数 F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)+μψ(x,y,z) 得⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Fx′=fx′+λϕx′+μψx′=0Fy′=fy′+λϕy′+μψy′=0Fz′=fz′+λϕz′+μψz′=0Fλ′=ϕ(x,y,z)=0Fμ′=ψ(x,y,z)=0 解方程得备选点Pi,i=1,2,3,⋯,n 求f(Pi),取最大值为umax,最小值为umin
多重积分的应用
空间曲面的面积
A = ∬ D 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y \begin{aligned} & \\ & A = \iint\limits_D \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} ~ dxdy \end{aligned} A=D∬1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2 dxdy
微分方程
一阶线性微分方程
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) 其 中 p ( x ) , q ( x ) 为 连 续 函 数 ⟹ y = e − ∫ p ( x ) d x ( ∫ e ∫ p ( x ) d x ⋅ q ( x ) d x + C ) \begin{aligned} & y’ + p(x)y = q(x) ~~~~~其中p(x),q(x)为连续函数 \implies \\\\ &y = e^{-\int p(x)dx} (\int e^{\int p(x)dx} \cdot q(x) dx + C) \end{aligned} y′+p(x)y=q(x) 其中p(x),q(x)为连续函数⟹y=e−∫p(x)dx(∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+C)
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 p , q 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为 λ 2 + p λ + q = 0 ⟹ { p 2 − 4 q > 0 , ⇒ 通 解 为 y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x p 2 − 4 q = 0 , ⇒ 通 解 为 y = ( C 1 + C 2 x ) e λ x p 2 − 4 q < 0 , λ 1 , 2 = α ± i β ⇒ 通 解 为 y = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) \begin{aligned} & y” + py’ + qy =0 ~~~~~~~~p,q为常数 \\ \\ \xRightarrow{特征方程为} & ~~ \lambda^2 + p\lambda + q = 0 \\ \\ \implies & \begin{cases} p^2 – 4q>0 , \xRightarrow{通解为} y=C_1 e^{\lambda _1x} + C_2 e^{\lambda _2 x} \\ \\ p^2 – 4q=0 , \xRightarrow{通解为} y = (C_1+C_2x)e^{\lambda x}\\ \\ p^2 – 4q<0 , \lambda_{1,2}=\alpha \pm i\beta ~~~ \xRightarrow{通解为} y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2\sin \beta x) \end{cases} \end{aligned} 特征方程为⟹y′′+py′+qy=0 p,q为常数 λ2+pλ+q=0⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧p2−4q>0,通解为y=C1eλ1x+C2eλ2xp2−4q=0,通解为y=(C1+C2x)eλxp2−4q<0,λ1,2=α±iβ 通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
三阶常系数齐次线性微分方程的通解
y ′ ′ ′ + p y ′ ′ + q y ′ + r y = 0 p , q , r 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为 λ 3 + p λ 2 + q λ + r = 0 ⟹ { λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R , 且 λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 , ⇒ 通 解 为 y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x + C 3 e λ 3 x λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R , 且 λ 1 = λ 2 ≠ λ 3 ⇒ 通 解 为 y = ( C 1 + C 2 x ) e λ 1 x + C 3 e λ 3 x λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R , 且 λ 1 = λ 2 = λ 3 ⇒ 通 解 为 y = ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2 ) e λ 1 x λ 1 ∈ R , λ 2 , 3 = α ± i β ⇒ 通 解 为 y = C 1 e λ 1 x + e α x ( C 2 cos β x + C 3 sin β x ) \begin{aligned} & y”’ + py” + qy’ +ry =0 ~~~~~~~~p,q,r为常数 \\ \\ \xRightarrow{特征方程为} & ~~ \lambda^3 + p\lambda^2 + q\lambda + r = 0 \\ \\ \implies & \begin{cases} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in R, 且\lambda_1 \ne \lambda_2 \ne \lambda_3, \xRightarrow{通解为} y=C_1 e^{\lambda _1x} + C_2 e^{\lambda _2 x} + C_3 e^{\lambda _3 x} \\ \\ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in R, 且\lambda_1 = \lambda_2 \ne \lambda_3 \xRightarrow{通解为} y = (C_1+C_2x)e^{\lambda_1 x} + C_3 e^{\lambda_3 x}\\ \\ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in R, 且\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 \xRightarrow{通解为} y = (C_1+C_2x + C_3x^2)e^{\lambda_1 x}\\ \\ \lambda_1 \in R, \lambda_{2,3}=\alpha \pm i\beta ~~~ \xRightarrow{通解为} y = C_1e^{\lambda_1x} + e^{\alpha x} (C_2 \cos \beta x + C_3\sin \beta x) \end{cases} \end{aligned} 特征方程为⟹y′′′+py′′+qy′+ry=0 p,q,r为常数 λ3+pλ2+qλ+r=0⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧λ1,λ2,λ3∈R,且λ1=λ2=λ3,通解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3xλ1,λ2,λ3∈R,且λ1=λ2=λ3通解为y=(C1+C2x)eλ1x+C3eλ3xλ1,λ2,λ3∈R,且λ1=λ2=λ3通解为y=(C1+C2x+C3x2)eλ1xλ1∈R,λ2,3=α±iβ 通解为y=C1eλ1x+eαx(C2cosβx+C3sinβx)
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) ( 1 ) 自 由 项 f ( x ) = P n ( x ) e a x 时 , 特 解 为 y ∗ = e a x Q n ( x ) x k 其 中 { e a x 照 抄 Q n ( x ) 为 x 的 n 次 一 般 多 项 式 k = { 0 , a ≠ λ 1 , a ≠ λ 2 1 , a = λ 1 或 a = λ 2 2 , a = λ 1 = λ 2 ( 2 ) 自 由 项 f ( x ) = e a x [ P m ( x ) cos β x + P n ( x ) sin β x ] 时 , y ∗ = e a x [ Q l ( 1 ) ( x ) cos β x + Q l ( 2 ) ( x ) sin β x ] x k 其 中 , { e a x 照 抄 l = m a x { m , n } , Q l ( 1 ) ( x ) , Q l ( 2 ) ( x ) 分 别 为 x 的 两 个 不 同 的 l 次 一 般 多 项 式 k = { 0 , a ± β i 不 是 特 征 根 1 , a ± β i 是 特 征 根 \begin{aligned} & y” + py’+qy = f(x) \\ \\ (1)& 自由项f(x)=P_n(x)e^{ax} ~时,特解为 ~ y^*= e^{ax}Q_n(x) x^k \\ \\ 其中 & \begin{cases} e^{ax} ~~照抄 \\ Q_n(x) 为x的n次一般多项式 \\ k = \begin{cases} 0,~~~ a\ne \lambda_1, a \ne \lambda_2 \\ 1,~~~ a = \lambda_1 或a=\lambda_2 \\ 2,~~~ a = \lambda_1 = \lambda_2 \end{cases} \end{cases} \\ \\ \\ (2) & 自由项~ f(x) = e^{ax}[P_m(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x] ~时, \\ \\ & y^* = e^{ax} [ Q_l^{(1)}(x) \cos \beta x + Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x]x^k \\ \\ 其中,& \begin{cases} e^{ax} ~~照抄 \\ l=max\{ m, n \} ,Q_l^{(1)}(x), Q_l^{(2)}(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式 \\ \\ k = \begin{cases} 0,~~~ a \pm \beta i ~不是特征根 \\ 1,~~~ a \pm \beta i ~是特征根 \\ \end{cases} \end{cases} \end{aligned} (1)其中(2)其中,y′′+py′+qy=f(x)自由项f(x)=Pn(x)eax 时,特解为 y∗=eaxQn(x)xk⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧eax 照抄Qn(x)为x的n次一般多项式k=⎩⎪⎨⎪⎧0, a=λ1,a=λ21, a=λ1或a=λ22, a=λ1=λ2自由项 f(x)=eax[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx] 时,y∗=eax[Ql(1)(x)cosβx+Ql(2)(x)sinβx]xk⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧eax 照抄l=max{
m,n},Ql(1)(x),Ql(2)(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式k={
0, a±βi 不是特征根1, a±βi 是特征根
“算子法”求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + a 2 y ( n − 2 ) + ⋯ + a n y = f ( x ) 记 : d d x = D , D 表 示 求 导 , 1 D 表 示 积 分 F ( D ) = D n + a 1 D n − 1 + a 2 D n − 2 + ⋯ + a n − 1 D + a n 则 , 特 解 y ∗ = 1 F ( D ) f ( x ) ( 1 ) y ′ ′ + p y ′ + q y = a e k x 则 y ∗ = 1 D 2 + p D + q a e k x = 1 k 2 + p k + q a e k x ( 将 D 换 成 k ) = x 1 2 k + p a e k x ( 上 式 分 母 为 零 , 提 x , 求 导 ) 以 此 类 推 ( 2 ) y ′ ′ + p y ′ + q y = sin a x ( 或 cos a x ) 则 y ∗ = 1 D 2 + p D + q sin a x = 1 − a 2 + p D + q sin a x ( 将 D 2 换 成 − a 2 , 若 为 0 与 ( 1 ) 一 样 , 提 x 求 导 ) = p D − ( q − a 2 ) p 2 D 2 − ( q − a 2 ) 2 sin α x ( 若 分 母 包 含 D , 则 通 过 ( a + b ) ( a − b ) 得 出 D 2 ) ( 3 ) y ′ ′ + a 1 y ′ + a 2 y = P n ( x ) y ∗ = 1 D 2 + a 1 D + a 2 P n ( x ) = 1 D u 1 1 − ( k D ) m P n ( x ) ( 大 概 化 成 这 种 形 式 ) = 1 D u ( 1 + k D + ( k D ) 2 + ⋯ ) P n ( x ) ( 1 1 − ( k D ) m 泰 勒 展 开 ) = Q n ( x ) ( 4 ) y ′ ′ + a 1 y ′ + a 2 y = e k x f ( x ) = e k x 1 F ( D + k ) f ( x ) ( 然 后 看 右 边 , 根 据 f ( x ) 的 形 式 , 转 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 方 法 求 解 ) \begin{aligned} & y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + a_2 y^{(n-2)} + \cdots + a_n y = f(x) \\\\\\ 记:& \frac{d}{dx} = D, ~~~D表示求导,\frac{1}{D} 表示积分 \\ \\ & F(D) = D^n + a_1D^{n-1} + a_2D^{n-2} + \cdots + a_{n-1}D + a_n \\\\ 则,特解~~~& y^* = \frac{1}{F(D)} f(x) \\ \\ \\ & (1) ~~~ y” + py’ + qy = ae^{kx} \\\\ & 则 ~~y^*= \frac{1}{D^2 + pD + q} ae^{kx} \\\\ & = \frac{1}{k^2+pk+q} ae^{kx} ~~~~~(将D换成k) \\ \\ & = x \frac{1}{2k+p} ae^{kx} ~~~~~~(上式分母为零,提x,求导) ~~ 以此类推 \\ \\ \\ & (2)~~~ y” + py’ + qy = \sin a x (或\cos a x) \\\\ & 则 ~~y*= \frac{1}{D^2 + pD + q} \sin a x \\\\ & = \frac{1}{-a^2+pD+q} \sin a x ~~~~~~(将D^2换成-a^2,若为0与(1)一样,提x求导) \\ \\ & = \frac{pD-(q-a^2)}{p^2D^2 – (q-a^2)^2} \sin \alpha x ~~~~~~(若分母包含D,则通过(a+b)(a-b)得出D^2) \\ \\ \\ & (3) ~~~ y ” + a_1 y ‘ + a_2 y = P_n(x) \\\\ & y^* = \frac{1}{D^2 + a_1D + a_2} P_n(x) \\\\ & = \frac{1}{D^u} \frac{1}{1 – (kD)^m} P_n(x) ~~(大概化成这种形式)\\\\ & = \frac{1}{D^u} (1 + kD + (kD)^2 + \cdots)P_n(x) ~~~~~~(\frac{1}{1 – (kD)^m}泰勒展开)\\\\ & = Q_n(x) \\\\\\ & (4)~~~~ y” + a_1y’ + a_2y = e^{kx} f(x) \\\\ & = e^{kx} \frac{1}{F(D+k)} f(x) ~~~~~~~(然后看右边,根据f(x)的形式,转(1)(2)(3)方法求解) \end{aligned} 记:则,特解 y(n)+a1y(n−1)+a2y(n−2)+⋯+any=f(x)dxd=D, D表示求导,D1表示积分F(D)=Dn+a1Dn−1+a2Dn−2+⋯+an−1D+any∗=F(D)1f(x)(1) y′′+py′+qy=aekx则 y∗=D2+pD+q1aekx=k2+pk+q1aekx (将D换成k)=x2k+p1aekx (上式分母为零,提x,求导) 以此类推(2) y′′+py′+qy=sinax(或cosax)则 y∗=D2+pD+q1sinax=−a2+pD+q1sinax (将D2换成−a2,若为0与(1)一样,提x求导)=p2D2−(q−a2)2pD−(q−a2)sinαx (若分母包含D,则通过(a+b)(a−b)得出D2)(3) y′′+a1y′+a2y=Pn(x)y∗=D2+a1D+a21Pn(x)=Du11−(kD)m1Pn(x) (大概化成这种形式)=Du1(1+kD+(kD)2+⋯)Pn(x) (1−(kD)m1泰勒展开)=Qn(x)(4) y′′+a1y′+a2y=ekxf(x)=ekxF(D+k)1f(x) (然后看右边,根据f(x)的形式,转(1)(2)(3)方法求解)
情况3可以用多项式除法求解:例题见下图,就是画圈的那个可以变成 (-1/3 – 2/9D …)。用1除以分母,分母从低次幂到高次幂写。(先将就下吧,马上考试了,考完试再整理,md政治还没背)
线性代数
行列式
∣ A ∣ = ∣ A T ∣ ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ A i j = ( − 1 ) i + j M i j \begin{aligned} & |A| = |A^T| \\ \\ & |kA| = k^n|A| \\ \\ & |AB| = |A||B| \\ \\ & A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \\ \\ \end{aligned} ∣A∣=∣AT∣∣kA∣=kn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij=(−1)i+jMij
几个重要的行列式
∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∏ i = 1 n a i i ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 ⋮ a n 1 ∣ = ∣ a 1 n a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 … a n 1 ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) ∣ a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b b b ⋯ a ∣ = [ a + ( n − 1 ) b ] ( a − b ) n − 1 ∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ O A n × n B m × m O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ∣ C A B O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^na_{ii} \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & \\ \vdots & & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2,n-1} & 0 \\ & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\dots a_{n1} \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1\le i <j \le n}(x_j-x_i) \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{vmatrix} = [a+(n-1)b](a-b)^{n-1} \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B| \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} O & A_{n\times n} \\ B_{m\times m} & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B| \end{aligned} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮00a22⋮0………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an10a22⋮an2………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮0a12a22⋮0………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=1∏naii∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1………0a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1……0a2,n−1a1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣an1…a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1…an1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1≤i<j≤n∏(xj−xi)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋯bbb⋮a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=[a+(n−1)b](a−b)n−1∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣
矩阵
( A T ) T = A ( k A ) T = k A T ( A + B ) T = A T + B T ( A B ) T = B T A T A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = A ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( A T ) ∗ = ( A ∗ ) T ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 [ A ∣ E ] → 初 等 行 变 换 [ E ∣ A − 1 ] [ A ∣ B ] → 初 等 行 变 换 [ E ∣ A − 1 B ] \begin{aligned} & (A^T)^T = A \\ \\ & (kA)^T = kA^T \\ \\ & (A+B)^T = A^T + B^T \\ \\ & (AB)^T = B^TA^T \\ \\ & AA^* = A^*A = |A|E \\ \\ & |A^*|=|A|^{n-1} \\ \\ & A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* \\ \\ & A = |A|(A^*)^{-1} \\ \\ & (A^{-1})^{-1} = A \\ \\ & (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1} \\ \\ & (AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1} \\ \\ & (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \\ \\ & (A^T)^* = (A^*)^T \\ \\ & (A^{-1})^* = (A^*)^{-1} \\ \\ & (AB)^* = B^*A^* \\ \\ & (A^*)^* = |A|^{n-2}A \\ \\ & |A^{-1}| = |A|^{-1} \\ \\ & [A|E] \xrightarrow{初等行变换}[E|A^{-1}] \\\\ & [A|B] \xrightarrow{初等行变换}[E|A^{-1}B] \\\\ \end{aligned} (AT)T=A(kA)T=kAT(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTATAA∗=A∗A=∣A∣E∣A∗∣=∣A∣n−1A−1=∣A∣1A∗A=∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=A(kA)−1=k−1A−1(AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T(AT)∗=(A∗)T(A−1)∗=(A∗)−1(AB)∗=B∗A∗(A∗)∗=∣A∣n−2A∣A−1∣=∣A∣−1[A∣E]初等行变换[E∣A−1][A∣B]初等行变换[E∣A−1B]
分块矩阵
[ A O O B ] n = [ A n O O B n ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} A^n & O \\ O & B^n \end{bmatrix} \end{aligned} [AOOB]n=[AnOOBn]
正交矩阵
A 是 正 交 矩 阵 ⟺ A T = A − 1 ⟺ A T A = A A T = E ⟺ A 的 行 ( 列 ) 向 量 组 是 标 准 正 交 向 量 组 ⟹ ∣ A ∣ = ± 1 ⟹ λ = ± 1 \begin{aligned} & A是正交矩阵 \\\\ \iff & A^T =A^{-1} \\ \\ \iff & A^T A = AA^T = E \\ \\ \iff & A的行(列)向量组是标准正交向量组 \\ \\ \implies & |A| = \pm 1 \\ \\ \implies & \lambda = \pm 1 \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟹⟹A是正交矩阵AT=A−1ATA=AAT=EA的行(列)向量组是标准正交向量组∣A∣=±1λ=±1
施密特正交化
β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 ⋯ ⋯ β n = α n − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 − ( α n , β n − 2 ) ( β n − 2 , β n − 2 ) β n − 2 − ⋯ − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 η 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ , η 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ , ⋯ , η n = β n ∣ ∣ β n ∣ ∣ 其 中 : ( α , β ) = α T β = β T α = ∑ i = 1 n a i b i ( α , α ) = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 = ∑ i = 1 n a i 2 ∣ ∣ β ∣ ∣ = ( β , β ) = b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 \begin{aligned} & \beta_1 = \alpha_1 \\ \\ & \beta_2 = \alpha_2 – \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 \\ \\ & \beta_3 = \alpha_3 – \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 – \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 \\ \\ & \cdots\cdots \\\\ & \beta_n = \alpha_n – \frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1} – \frac{(\alpha_n,\beta_{n-2})}{(\beta_{n-2},\beta_{n-2})}\beta_{n-2} – \cdots – \frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 \\ \\ \\ & \eta_1 = \frac{\beta_1}{||\beta_1||}, \eta_2 = \frac{\beta_2}{||\beta_2||}, \cdots , \eta_n = \frac{\beta_n}{||\beta_n||} \\\\\\ 其中:& (\alpha, \beta) = \alpha^T\beta = \beta^T\alpha=\sum_{i=1}^na_ib_i \\ \\ & (\alpha,\alpha) = a_1^2 + a_2^2 + \cdots +a_n^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \\ \\ & || \beta || = \sqrt{(\beta,\beta)} = \sqrt{b_1^2+b_2^2 + \cdots + b_n^2 } \end{aligned} 其中:β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β2,β2)(α3,β2)β2−(β1,β1)(α3,β1)β1⋯⋯βn=αn−(βn−1,βn−1)(αn,βn−1)βn−1−(βn−2,βn−2)(αn,βn−2)βn−2−⋯−(β1,β1)(αn,β1)β1η1=∣∣β1∣∣β1,η2=∣∣β2∣∣β2,⋯,ηn=∣∣βn∣∣βn(α,β)=αTβ=βTα=i=1∑naibi(α,α)=a12+a22+⋯+an2=i=1∑nai2∣∣β∣∣=(β,β)=b12+b22+⋯+bn2
可逆矩阵
A 可 逆 ⟺ ∣ A ∣ ≠ 0 ⟺ A 的 行 ( 列 ) 向 量 组 线 性 无 关 ⟺ A x = 0 有 唯 一 零 解 ⟺ A x = b 有 唯 一 解 ⟺ r ( A ) = n ⟺ 特 征 值 λ i ≠ 0 \begin{aligned} & A可逆 \\\\ \iff & |A| \ne 0 \\ \\ \iff & A的行(列)向量组线性无关 \\\\ \iff & Ax=0 有唯一零解 \\\\ \iff & Ax=b 有唯一解 \\\\ \iff & r(A)=n \\\\ \iff & 特征值 \lambda_i \ne 0 \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A可逆∣A∣=0A的行(列)向量组线性无关Ax=0有唯一零解Ax=b有唯一解r(A)=n特征值λi=0
等价矩阵
A , B 等 价 ⟺ A ≅ B ⟺ P A Q = B , P , Q 可 逆 ⟺ r ( A ) = r ( B ) { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ⟺ { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } 与 { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } 可 以 互 相 表 出 ⟺ r ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) = r ( β 1 , β 2 , ⋯ , β t ) , 且 可 单 方 向 表 出 ⟺ r ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) = r ( β 1 , β 2 , ⋯ , β t ) = r ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s , β 1 , β 2 , ⋯ , β t ) \begin{aligned} & A, B等价 \\\\ \iff & A \cong B \\ \\ \iff & PAQ = B , ~~~~~P,Q可逆 \\ \\ \iff & r(A) = r(B) \\\\\\ & \{\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t \} \\ \\ \iff & \{\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s\} 与 \{\beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t \} 可以互相表出 \\ \\ \iff & r(\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s) = r(\beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t ),且可单方向表出 \\ \\ \iff & r(\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s) = r(\beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t ) = r(\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t) \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A,B等价A≅BPAQ=B, P,Q可逆r(A)=r(B){
α1,α2,⋯,αs}≅{
β1,β2,⋯,βt}{
α1,α2,⋯,αs}与{
β1,β2,⋯,βt}可以互相表出r(α1,α2,⋯,αs)=r(β1,β2,⋯,βt),且可单方向表出r(α1,α2,⋯,αs)=r(β1,β2,⋯,βt)=r(α1,α2,⋯,αs,β1,β2,⋯,βt)
秩相关公式
A 是 m × n 矩 阵 , 则 : r ( A ) ≤ m i n { m , n } r ( A ) = r ( A T ) r ( k A ) = r ( A ) ( k ≠ 0 ) r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r ( A ) + r ( B ) − n ≤ r ( A B ) r ( A ) + r ( B ) ≤ n ( 其 中 , A B = O , n 是 A 的 列 数 或 B 的 行 数 ) r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r ( A ) + r ( B ) ≤ r ( A O C B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) + r ( C ) r ( A ) = r ( A T A ) r ( A ) = 1 ⟹ ∃ 非 零 α , β , 使 得 A = α β T r ( α α T ) = 1 { r ( A ) = n ⟹ r ( A ∗ ) = n r ( A ) = n − 1 ⟹ r ( A ∗ ) = 1 r ( A ) < n − 1 ⟹ r ( A ∗ ) = 0 \begin{aligned} & A是m\times n矩阵,则:\\\\ & r(A) \le min\{m,n\} \\ \\ & r(A) = r(A^T) \\ \\ & r(kA) = r(A) ~~(k\ne0)\\ \\ & r(A+B) \le r(A) + r(B) \\ \\ & r(AB) \le min\{r(A), r(B)\} \\ \\ & r(A) + r(B) -n \le r(AB) \\ \\ & r(A) + r(B) \le n ~~~~(其中,AB=O,n是A的列数或B的行数) \\\\ & r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B) \\ \\ & r(A) + r(B) \le r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} \le r(A) + r(B) + r(C) \\\\ & r(A) = r(A^T A) \\ \\ & r(A) = 1 \implies \exists 非零 \alpha, \beta ,使得 A = \alpha\beta^T \\ \\ & r(\alpha \alpha^T) = 1 \\ \\ & \begin{cases} r(A) = n ~~~~~~~~~~ \implies ~~~ r(A^*) = n \\ r(A) = n – 1 ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = 1 \\ r(A) < n – 1 ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = 0 \\ \end{cases} \\\\ \end{aligned} A是m×n矩阵,则:r(A)≤min{
m,n}r(A)=r(AT)r(kA)=r(A) (k=0)r(A+B)≤r(A)+r(B)r(AB)≤min{
r(A),r(B)}r(A)+r(B)−n≤r(AB)r(A)+r(B)≤n (其中,AB=O,n是A的列数或B的行数)r(AOOB)=r(A)+r(B)r(A)+r(B)≤r(ACOB)≤r(A)+r(B)+r(C)r(A)=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β,使得A=αβTr(ααT)=1⎩⎪⎨⎪⎧r(A)=n ⟹ r(A∗)=nr(A)=n−1 ⟹ r(A∗)=1r(A)<n−1 ⟹ r(A∗)=0
特征值与特征向量
∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \begin{aligned} & \sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} \\ \\ & \prod_{i=1}^n \lambda_i = |A| \\\\ \end{aligned} i=1∑nλi=i=1∑naiii=1∏nλi=∣A∣
矩 阵 A k A A k f ( A ) A − 1 A ∗ A − 1 + f ( A ) 特 征 值 λ k λ λ k f ( λ ) λ − 1 ∣ A ∣ λ 1 λ + f ( λ ) 对 应 的 特 征 向 量 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ \def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c} 矩阵 & A & kA & A^k & f(A) & A^{-1} & A^* & A^{-1} + f(A) \\ \hline 特征值 & \lambda & k\lambda & \lambda^k & f(\lambda) & \lambda^{-1} & \frac{|A|}{\lambda} & \frac{1}{\lambda} + f(\lambda) \\ \hline 对应的特征向量 & \xi & \xi&\xi&\xi&\xi&\xi&\xi \end{array} 矩阵特征值对应的特征向量AλξkAkλξAkλkξf(A)f(λ)ξA−1λ−1ξA∗λ∣A∣ξA−1+f(A)λ1+f(λ)ξ
相似矩阵
A ∼ B ⟺ P − 1 A P = B ⟺ λ E − A ∼ λ E − B ⟺ μ E − A ≅ μ E − B ( 其 中 μ 为 任 意 实 数 , 即 r ( μ E − A ) = r ( μ E − B ) ) ⟹ r ( A ) = r ( B ) ⟹ ∣ A ∣ = ∣ B ∣ ⟹ ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ ⟹ r ( λ E − A ) = r ( λ E − B ) ⟹ A , B 特 征 值 相 同 , 且 相 同 特 征 值 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 个 数 相 同 ⟹ ∑ a i i = ∑ b i i ⟹ A 与 B 均 可 对 角 化 , 或 均 不 可 对 角 化 ⟹ A ⋍ B ( A , B 合 同 ) ⟹ A m ∼ B m ⟹ A T ∼ B T ⟹ f ( A ) ∼ f ( B ) ⟹ A − 1 ∼ B − 1 ⟹ f ( A − 1 ) ∼ f ( B − 1 ) \begin{aligned} & A \sim B \\ \\ \iff & P^{-1}AP = B \\\\ \iff & \lambda E-A \sim \lambda E-B \\\\ \iff & \mu E-A \cong \mu E-B (其中\mu 为任意实数,即 r(\mu E-A) = r(\mu E-B)) \\\\\\ \implies & r(A) = r(B) \\ \\ \implies & |A| = |B| \\ \\ \implies & |\lambda E-A| = |\lambda E-B| \\ \\ \implies & r(\lambda E-A) = r(\lambda E-B) \\ \\ \implies & A,B特征值相同,且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同 \\ \\ \implies & \sum a_{ii} = \sum b_{ii} \\ \\ \implies & A与B均可对角化,或均不可对角化 \\ \\ \implies & A\backsimeq B ~~~(A,B合同) \\\\ \implies & A^m \sim B^m \\ \\ \implies & A^T \sim B^T \\ \\ \implies & f(A) \sim f(B) \\ \\ \implies & A^{-1} \sim B^{-1} \\ \\ \implies & f(A^{-1}) \sim f(B^{-1}) \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹A∼BP−1AP=BλE−A∼λE−BμE−A≅μE−B(其中μ为任意实数,即r(μE−A)=r(μE−B))r(A)=r(B)∣A∣=∣B∣∣λE−A∣=∣λE−B∣r(λE−A)=r(λE−B)A,B特征值相同,且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同∑aii=∑biiA与B均可对角化,或均不可对角化A⋍B (A,B合同)Am∼BmAT∼BTf(A)∼f(B)A−1∼B−1f(A−1)∼f(B−1)
相似对角化
A ∼ Λ ⟺ A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ⟺ A 的 r i 重 特 征 值 有 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 A = A T ( A 是 实 对 称 矩 阵 ) ⟹ A 的 特 征 值 为 实 数 , 特 征 向 量 为 实 向 量 ⟹ A ∼ Λ ⟹ A 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 相 互 正 交 \begin{aligned} & A \sim \Lambda \\ \\ \iff & A有n个线性无关的特征向量 \\\\ \iff & A的r_i重特征值有r_i个线性无关的特征向量 \\ \\ \\ \\ & A = A^T ~~~~~(A是实对称矩阵) \\ \\ \implies & A的特征值为实数,特征向量为实向量 \\ \\ \implies & A \sim \Lambda \\\\ \implies & A的属于不同特征值的特征向量相互正交 \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟹⟹⟹A∼ΛA有n个线性无关的特征向量A的ri重特征值有ri个线性无关的特征向量A=AT (A是实对称矩阵)A的特征值为实数,特征向量为实向量A∼ΛA的属于不同特征值的特征向量相互正交
矩阵合同
A , B 合 同 ⟺ A ⋍ B ⟺ ∃ 可 逆 矩 阵 C , 使 得 C T A C = B ⟺ A , B 正 负 惯 性 指 数 相 同 ⟹ r ( A ) = r ( B ) = 不 能 推 出 ⇏ A , B 相 似 合 同 判 别 法 : A , B 均 为 实 对 称 矩 阵 , A , B 合 同 的 充 分 必 要 条 件 是 A , B 的 正 负 惯 性 指 数 相 同 \begin{aligned} & A,B合同 \\\\ \iff & A \backsimeq B \\\\ \iff & \exist 可逆矩阵 C,使得 C^TAC=B \\\\ \iff & A,B正负惯性指数相同 \\\\\\ \implies & r(A) = r(B) \\\\ \xlongequal{不能推出}\nRightarrow & A,B相似 \\\\\\ 合同判别法:& A,B均为实对称矩阵,A,B合同的充分必要条件是A,B的正负惯性指数相同 \end{aligned} ⟺⟺⟺⟹不能推出⇏合同判别法:A,B合同A⋍B∃可逆矩阵C,使得CTAC=BA,B正负惯性指数相同r(A)=r(B)A,B相似A,B均为实对称矩阵,A,B合同的充分必要条件是A,B的正负惯性指数相同
正定二次型
f = x T A x 正 定 ⟺ 对 任 意 x ≠ 0 , x T A x > 0 ⟺ f 的 正 惯 性 指 数 p = n ⟺ ∃ 可 逆 阵 D , 使 A = D T D ⟺ A ⋍ E ⟺ A 与 一 正 定 矩 阵 合 同 ⟺ ∃ 可 逆 矩 阵 P , 使 P T A P = E ⟺ A 的 所 有 特 征 值 λ i > 0 ⟺ A 的 全 部 顺 序 主 子 式 > 0 ⟹ a i i > 0 ⟹ ∣ A ∣ > 0 ⟹ k A , A T , A k , A − 1 , A ∗ , f ( A ) 正 定 ( A O O B ) 正 定 ⟺ A , B 正 定 \begin{aligned} & f=x^TAx正定 \\\\ \iff & 对任意x \ne 0, x^TAx>0 \\ \\ \iff & f的正惯性指数 p = n \\ \\ \iff & \exists 可逆阵D,使 A = D^TD \\ \\ \iff & A \backsimeq E \\ \\ \iff & A与一正定矩阵合同 \\ \\ \iff & \exists 可逆矩阵P,使 P^TAP = E \\\\ \iff & A的所有特征值 \lambda_i>0 \\ \\ \iff & A的全部顺序主子式 > 0 \\ \\ \implies & a_{ii} >0 \\ \\ \implies & |A| > 0 \\ \\ \implies & kA, A^T,A^k, A^{-1}, A^*, f(A)正定 \\ \\ \\ & \begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} 正定 \iff A,B正定 \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹f=xTAx正定对任意x=0,xTAx>0f的正惯性指数p=n∃可逆阵D,使A=DTDA⋍EA与一正定矩阵合同∃可逆矩阵P,使PTAP=EA的所有特征值λi>0A的全部顺序主子式>0aii>0∣A∣>0kA,AT,Ak,A−1,A∗,f(A)正定(AOOB)正定⟺A,B正定
二次型配方法(通法)
情 形 1 : 二 次 型 含 有 平 方 项 , 即 ∃ a i i ≠ 0 , 不 妨 设 a 11 ≠ 0 1. 记 f 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 2. 令 f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = 1 a 11 ( f 1 ) 2 + g , 此 时 g 中 不 含 x 1 情 形 2 : 二 次 型 不 含 平 方 项 , 即 任 意 a i i = 0 , 但 至 少 存 在 一 个 a 1 j ≠ 0 , 不 妨 设 a 12 ≠ 0 1. 记 f 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 , f 2 = 1 2 ∂ f ∂ x 2 2. 令 f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = 1 a 12 [ ( f 1 + f 2 ) 2 − ( f 1 − f 2 ) 2 ] + ϕ , 此 时 , ϕ 不 含 x 1 , x 2 根 据 当 前 未 配 出 的 多 项 式 , 根 据 情 况 进 行 相 应 处 理 \begin{aligned} 情形1:& 二次型含有平方项,即\exist a_{ii} \neq 0,不妨设a_{11}\neq 0 \\\\ & 1. 记 f_1 = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\\\ & 2. 令 f(x_1, x_2, x_3, …) = \frac{1}{a_{11}} (f_1)^2 +g,此时g中不含x1 \\\\ 情形2:&二次型不含平方项,即任意 a_{ii} = 0,但至少存在一个 a_{1j} \neq 0,不妨设 a_{12} \neq 0 \\ \\ & 1. 记 f_1 = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x_1},~~f_2 = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \\ & 2. 令 f(x_1,x_2,x_3,…) = \frac{1}{a_{12}} [(f_1+f_2)^2 – (f_1-f_2)^2] + \phi, 此时,\phi不含x_1,x_2 \\ \\ \\ & 根据当前未配出的多项式,根据情况进行相应处理 \end{aligned} 情形1:情形2:二次型含有平方项,即∃aii=0,不妨设a11=01.记f1=21∂x1∂f2.令f(x1,x2,x3,...)=a111(f1)2+g,此时g中不含x1二次型不含平方项,即任意aii=0,但至少存在一个a1j=0,不妨设a12=01.记f1=21∂x1∂f, f2=21∂x2∂f2.令f(x1,x2,x3,...)=a121[(f1+f2)2−(f1−f2)2]+ϕ,此时,ϕ不含x1,x2根据当前未配出的多项式,根据情况进行相应处理
发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/169735.html原文链接:https://javaforall.cn
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