acwing-532货币系统(最小独立集+01背包)「建议收藏」

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在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数 n。

接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式
输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

数据范围
1≤n≤100,
1≤a[i]≤25000,
1≤T≤20
输入样例：
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
输出样例：
2
5

题解
如果一个货币能够被其他货币拼凑出来，那么这个货币可以被丢弃，这启发我们使用恰好等于版的01背包问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N],a[N];
int main(){ 
   
    int n,m,T;
    cin>>T;
    while(T--){ 
   
        cin>>n;
        memset(f,-INF,sizeof f);
        f[0] = 0;
        int Max = 0;
        for(int i = 0;i < n;i ++)cin>>a[i],Max = max(Max,a[i]);
        sort(a,a + n);
        int res = n;
        for(int i = 0;i < n;i ++){ 
   
            if(f[a[i]] == a[i])res --;
            for(int j = a[i];j <= Max;j ++){ 
   
                f[j] = max(f[j],f[j - a[i]] + a[i]);
            }
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

利用方案数也可以解决

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N],a[N];
int main(){ 
   
    int n,m,T;
    cin>>T;
    while(T--){ 
   
        cin>>n;
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0] = 1;
        int Max = 0;
        for(int i = 0;i < n;i ++)cin>>a[i],Max = max(Max,a[i]);
        sort(a,a + n);
        int res = 0;
        for(int i = 0;i < n;i ++){ 
   
            if(!f[a[i]])res ++;
            for(int j = a[i];j <= Max;j ++){ 
   
                f[j] += f[j - a[i]];
            }
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}