acwing321. 棋盘分割(动态规划+记忆化搜索)「建议收藏」

全栈程序员-用户IM • 2022年8月8日下午6:00 • 未分类

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将一个 8×8 的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了 (n−1) 次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有 n 块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。

现在需要把棋盘按上述规则分割成 n 块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

均方差formula.png ，其中平均值lala.png ，xi 为第 i 块矩形棋盘的总分。

请编程对给出的棋盘及 n，求出均方差的最小值。

输入格式
第 1 行为一个整数 n。

第 2 行至第 9 行每行为 8 个小于 100 的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

输出格式
输出最小均方差值（四舍五入精确到小数点后三位）。

数据范围
1<n<15

输入样例：
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
输出样例：
1.633

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10;
const int M = 16;
int g[N][N];
double f[N][N][N][N][M];
int s[N][N];
int n,m = 8;
double X;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
double get(int x1,int y1,int x2,int y2){ 
   
     double sum = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] - X;
     return sum * sum / n;
}
double dp(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){ 
   
    double &v = f[x1][y1][x2][y2][k];
    if(v >= 0)return v;
    if(k == 1)return get(x1,y1,x2,y2);
    v = INF;
    for(int i = x1;i < x2;i ++){ 
   
        v = min(v,dp(x1,y1,i,y2,k - 1) + get(i + 1,y1,x2,y2));
        v = min(v,get(x1,y1,i,y2) + dp(i + 1,y1,x2,y2,k - 1));
    }
    for(int i = y1;i < y2;i ++){ 
   
        v = min(v,dp(x1,y1,x2,i,k - 1) + get(x1,i + 1,x2,y2));
        v = min(v,get(x1,y1,x2,i) + dp(x1,i + 1,x2,y2,k - 1));
    }
    return v;
}
int main(){ 
   
    cin>>n;
    memset(f,-1,sizeof f);
    for(int i = 1;i <= m;i ++){ 
   
        for(int j = 1;j <= m;j ++){ 
   
            cin>>g[i][j];
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + g[i][j];
        }
    }
    X = (double)s[m][m] / n;
    
    double res = dp(1,1,m,m,n);
    printf("%.3f",sqrt(res));
    return 0;
}