瑞利熵与香农熵_熵 信息

瑞利熵与香农熵_熵 信息在信息论中,Rényi熵是Hartley熵,Shannon熵,碰撞熵和最小熵的推广。熵能量化了系统的多样性,不确定性或随机性。Rényi熵以AlfrédRény

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信息论中Rényi熵是Hartley熵Shannon熵碰撞熵最小熵的推广。熵能量化了系统的多样性,不确定性或随机性。Rényi熵以AlfrédRényi命名。在分形维数估计的背景下,Rényi熵构成了广义维数概念的基础。

Rényi熵在生态学和统计学中是重要的多样性指标。Rényi熵在量子信息中也很重要,它可以用来衡量纠缠。在Heisenberg XY自旋链模型中,作为α的函数的Rényi熵可以由于它是关于模数群的特定子群的自守函数而被明确地计算。在理论计算机科学中,最小熵用于随机抽取器的情况下。

定义:

含参数α的瑞丽熵其中α≥0和α≠1,被定义为

H {\ alpha}(X)= {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ log {\ Bigg(} \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {\ alpha} {\ Bigg)}

这里,X是一个具有可能结果的离散随机变量1,2,3,…..,n和相应的概率p_ {i} \ doteq \ Pr(X = i)对于i=1,2,….n,而对数基数为2.如果概率是P_ {I} = 1 / n的对全部i=1,…..,n,那么分配的所有瑞丽熵都是相等的:H _ {\ alpha}(X)= \ log n

一般来说,对于所有的离散随机变量X,H _ {\ alpha}(X)是一个带有α的非递增函数。

经常可见瑞丽熵和概率向量的p-范数之间的关系:

H _ {\ alpha}(X)= {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} \ log \ left(\ | P \ | _ {\ alpha} \ right)

在这里,离散的概率分布P=(p1,……..,pn)被解释为一个向量Rn,同时pi≥0和Σpi=1

瑞丽熵中α≥0

特例

哈特利或最大熵:H_ {0}(X)= \ log n = \ log | X |。\,
香农熵:H_ {1}(X)=  -  \ sum_ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ log p_ {i}。

碰撞熵,有时被称为“Rényi熵”,是指α = 2 的情况,

H_ {2}(X)=  -  \ log \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {2} =  -  \ log P(X = Y)

其中,XY ^独立同分布的

最小熵:

在极限中 H _ {\ alpha}收敛到最小熵 H _ {\ infty}

(i)( -  \ log p_ {i})=  - (\ max _ {i} \ log p_ {i})=  -  \ log \ max _ {i } P_ {I} \ ,.

参考文献:https://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9nyi_entropy

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