共轭函数_复共轭函数

共轭函数_复共轭函数定义设函数,定义函数为此函数称为函数f的共轭函数,使上述上确界有限,即差值在domf有上界的所有构成了共轭函数的定义域,下图描述了此定义(图中y即为公式中的t)。xy相当于是以y为斜率且过原

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定义

设函数共轭函数_复共轭函数,定义函数共轭函数_复共轭函数

共轭函数_复共轭函数

此函数称为函数f的共轭函数,使上述上确界有限,即差值 共轭函数_复共轭函数在dom f有上界的所有共轭函数_复共轭函数构成了共轭函数的定义域,下图描述了此定义(图中y即为公式中的t)。

 

共轭函数_复共轭函数

xy相当于是以y为斜率且过原点的一根直线,需要找到原函数f(x)和以y为斜率的直线的最大距离点对应的x

函数共轭函数_复共轭函数以及某一共轭函数_复共轭函数,共轭函数共轭函数_复共轭函数是线性函数yx和f(x)之间的最大差值(上图中虚线),如果f可微,在满足共轭函数_复共轭函数的点x处差值最大(当对xy-f(x)对x的偏导等于0时,取得最大值)。

性质

函数的共轭一定为凸

解释:

如下图穷举所有的x,看当t固定时,那个x可以使得共轭函数_复共轭函数最大

共轭函数_复共轭函数

为了更清楚表述,将共轭函数_复共轭函数画出来,当带入不同的x进入时,就表示不同的直线,在给定某一个t时,选择最大的哪一个。通过选择不同的t得到如下图像中红色曲线部分,可以看出红色曲线是凸的

共轭函数_复共轭函数

 

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