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牛顿法，大致的思想是用泰勒公式的前几项来代替原来的函数，然后对函数进行求解和优化。牛顿法和应用于最优化的牛顿法稍微有些差别。
牛顿法
牛顿法用来迭代的求解一个方程的解，原理如下：
对于一个函数f(x),它的泰勒级数展开式是这样的
当使用牛顿法来求一个方程解的时候，它使用泰勒级数前两项来代替这个函数，即用\(\phi(x)代替f(x)\),其中:
令\(\phi(x) = 0\)，则 \(x = x_0 – \frac{f(x_0)}{ f'(x_0)}\)。
所以，牛顿法的迭代公式是\(x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{ f'(x_n)}\)
牛顿法求解n的平方根
求解n的平方根，其实是求方程\(x^2 -n = 0\)的解
利用上面的公式可以得到：\(x_{i+1} = x_i – \frac{x_i^2 – n}{2 x_i} = (x_i + \frac{n}{x_i} ) /2\)
编程的时候核心的代码是：x = (x + n/x)/2
应用于最优化的牛顿法
应用于最优化的牛顿法是以迭代的方式来求解一个函数的最优解，常用的优化方法还有梯度下降法。
取泰勒展开式的二次项,即用\(\phi(x)\)来代替\(f(x)\)：
最优点的选择是\(\phi'(x)=0\)的点，对上式求导
令\(\phi'(x) = 0\)，则\(x = x_0 – \frac{f'(x_0)}{f”(x_0)}\)
所以，最优化的牛顿迭代公式是
高维下的牛顿优化方法
在高维下
求\(\nabla \phi(x)\),并令它等于0，则公式变为了
即
所以，迭代公式变为
其中：
\(x_{n+1} ,x_n\)都是N*1维的矢量。
\(\nabla^2 f(x_n)\)是Hessien矩阵，\({\nabla ^2 f(x_n) }^{-1}\)是Hessien矩阵的逆矩阵，它们都是是N*N维的。
\(\nabla f(x_n)\)是 \(f(x)\)的导数，是N*1维的。
和梯度下降法相比，在使用牛顿迭代法进行优化的时候，需要求Hessien矩阵的逆矩阵，这个开销是很大的。
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