三角形的重心_三角形重心的六条性质

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重心的概念
1. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
  
  如图，G为$△ABC$的重心
2. 永远存在
重心的性质
1. 基本性质
  1. 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$
  2. 证明1
    1. 由共边定理得
    2. 由蝴蝶定理得
    3. 于是有
    4. 由共边定理得$\displaystyle \frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$
    5. 同理可推得其他边的关系
  3. 证明2
    1. 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍
2. 推论1
  1. 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$\displaystyle S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心
    1. 证明
      1. 由共边定理（燕尾模型）得$\displaystyle \frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点
      2. 同理可证其他中点
3. 推论2
  1. $G$为$\triangle ABC$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，则$AD ⊥ BE$
    1. 证明
      1. 倍长中线，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$\displaystyle \angle MBG = 90^{\circ}$
  2. $G$为$\triangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，则$AG^2+BG^2=CG^2$
    1. 证明
      1. 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得$AB=CG$，即可得证
4. 推论3
  1. $G$为$\triangle ABC$中点，过$G$作$DE //BC$，$PF//AC$，$KH//AB$，则$\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3}$
    1. 证明
      1. 连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点
      2. 由$DG//CB$得$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$
      3. 由相似得$\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}$
5. 推论4
  1. G为边长为$a$的等边三角形ABC的中点，则$\displaystyle GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
    1. 证明
      1. 等边三角形四心合一点，得$△ABG$为$30°、30°、120°$型三角形，边之比为$1:1:\sqrt{3}$，故$\displaystyle GA=\frac{AB}{\sqrt{3}}$