圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

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一、圆锥的表面积与体积计算公式

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  圆锥侧面积公式为:   

               圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  体积公式为:

                                                圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

二、圆台表面积公式和体积公式

 圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  (1)圆台侧面积等于大圆锥侧面积减小圆锥侧面积:

             圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积    (1)

  由于

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积  

  和 

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  可得:

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  代入(1)式得:

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  (2)圆台体积等于大圆锥体积减小圆锥体积

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积  (2)

  由于

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  和

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  代入(2)式得:

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

三、总结

  圆台面积计算公式为:

              圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  圆台体积计算公式为:

              圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

四、应用

  旋转曲面旋转面面积计算公式·推导:

圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  取微小一段函数可近似看成直线方程,绕x轴旋转一周得到一圆台,那么,旋转面面积就可近似为所有微小圆台的侧面积之和。取n趋于无穷时的极限便可得到旋转曲面的面积。

  即

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

  由于所取的微小圆台高度可以任意小,则顶面半径与底面半径可看作相等,并且都等于函数的值,圆台母线长度则为

代入上式可得:

            圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

                 圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

                 圆台侧面积和体积公式的推导过程_圆台体积公式和表面积

 

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