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欧拉角

来源 https://www.zhihu.com/question/47736315

参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840

 

为何要引入四元数？首先是因为欧拉角有万向节死锁的问题。

3D游戏或者3D电影中，比如黑客帝国中酷炫的旋转是怎么实现的？

 

旋转的算法有很多，这里主要介绍其中一种：欧拉角。

1 欧拉角

1.1 欧拉角的算法思想是什么

陌生的你来到了成都，站在盐市口茫然四顾，想知道春熙路怎么走？

这个时候你选择了去问路，得到了两种回答：

• 往东经104°04′、北纬30°40′走
• 右转后一直走

第一种回答，告诉了你春熙路的绝对坐标，可是很反人类啊！

第二种回答，告诉了你春熙路的相对坐标，很具有操作性。

欧拉角算法的思想就是采用的第二种回答的方式，优点在于很好理解。

1.2 具体实现步骤

维基百科 中，有这么一副动图，清楚的表明了如何通过欧拉角来完成旋转：

具体来拆解下旋转步骤，先看图：

图中有两组坐标：

• xyz 为全局坐标，保持不动
• XYZ 为局部坐标，随着物体一起运动

旋转步骤如下：

• 物体绕全局的 Z 轴旋转 α 角
• 继续绕自己的 X 轴（也就是图中的 N 轴）旋转 β 角
• 最后绕自己的 Z 轴旋转 γ 角

这里有一副动图很直观的展示了旋转过程（角度标记的有点不一样：ψ 对应 α ， θ 对应 β ， φ 对应 γ ），图来自gfycat：

可能你感到奇怪，为什么第一步是绕着全局坐标旋转？因为要和世界保持联系，否则就和世界完全没有关系了。

还不理解？没有关系，自己动手试试（有三个可以操作的点，分别对应三个角度）：

此处有互动内容，
点击此处前往操作。

很显然，按照不同的旋转步骤，旋转的结果是不一样的。

就好比刚才问路的时候，回答你，“左转再右转”，和“右转再左转”，肯定到达的地点是不一样的。

我们需要把上面的旋转步骤按照顺序标记为 zXZ，加上角度就是一个完整的欧拉角：

2 万向节死锁（Gimbal Lock）

局部坐标是很直观，但是导致欧拉角有一个重大缺陷，万向节死锁！

本节大部分参考了博文： 欧拉角与万向节死锁（图文版） ，博主： andrewfan 。

2.1 什么是万向节（Gimbal）

平衡环架（英语：Gimbal）为一具有枢纽的装置，使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架，则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变，而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上，而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。

—-维基百科

长这个样子：

中间有一根竖轴，穿过一个金属圆盘。金属圆盘称为转子，竖轴称为旋转轴。转子用金属制成，应该是了增加质量，从而增大惯性。竖轴外侧是三层嵌套的圆环，它们互相交叉，带来了三个方向自由度的旋转。

看着不停转来转去，有点晕，接下来看下静态的。图来自百度百科：

2.2 欧拉角与万向节

其实欧拉角的工作方式与万向节几乎一样。

看几幅动图就知道（图来自 Euler Angle Class ）。

这个旋转叫pitch，中文是俯仰：

这个旋转叫Yaw，中文叫偏航：

这个旋转叫Roll，中文叫桶滚：

可以看出，确实工作方式和万向节一样。

2.3 死锁的产生

为了解释清楚问题，画了一个简单的万向节示意图（金属圆盘就省略了，丑点儿也就别管了）：

把三个Gimbal环用不同的颜色做了标记，底部三个轴向，RGB分别对应 XYZ 。

假设现在这个万向节被放在一艘船上，船头的方向沿着+Z轴，也就是右前方。

2.3.1 桶滚

现在假设，船体发生了摇晃，是沿着前方进行旋转的摇晃，也就是桶滚。由于转子和旋转轴具有较大的惯性，只要没有直接施加扭矩，就会保持原有的姿态。由于上图中绿色的活动的连接头处是可以灵活转动的，此时将发生相对旋转，从而出现以下的情形：

2.3.2 俯仰

再次假设，船体发生了pitch摇晃，也就是俯仰。同样，由于存在相应方向的可以相对旋转的连接头（红色连接头），转子和旋转轴将仍然保持平衡，如下图：

2.3.3 偏航

最后假设，船体发生了yaw摇晃，也就是偏航，此时船体在发生水平旋转。相对旋转发生在蓝色连接头。如下图：

最终，在船体发生Pitch、Yaw、Roll的情况下，万向节都可以通过自身的调节，而让转子和旋转轴保持平衡。

2.3.4 死锁

现在看起来，这个万向节一切正常，在船体发生任意方向摇晃都可以通过自身调节来应对。然而，真的是这样吗？

假如，船体发生了剧烈的变化，此时船首仰起了90度（这是要翻船的节奏。。。。），此时的陀螺仪调节状态如下图：

此时，船体再次发生转动，沿着当前世界坐标的+Z轴（蓝色轴，应该正指向船底）进行转动，那么来看看发生了什么情况：

现在，转子不平衡了，万向节的三板斧不起作用了。它失去了自身的调节能力。那么这是为什么呢？

之前万向节之所以能通过自身调节，保持平衡，是因为存在可以相对旋转的连接头。在这种情况下，已经不存在可以相对旋转的连接头了。

那么连接头呢？去了哪里？显然，它还是在那里，只不过从上图中，我们清楚地看到：

• 红色连接头：可以给予一个相对俯仰的自由度。
• 绿色连接头：可以给予一个相对偏航的自由度。
• 蓝色连接头：可以给予一个相对偏航的自由度。

没错，三个连接头，提供的自由度只对应了俯仰和偏航两个自由度，桶滚自由度丢失了。

我们可以回头去试试之前的 操作页面 ，在下面这样子的情况下其实就是死锁了：

3 视频

还不懂？没有关系，这里还有做得非常好的视频，以供参考：

我对视频主要内容总结如下：

• 万向节死锁的根源在于欧拉角的定义方式
• 万向节死锁的结果，不是说不能旋转了，而是会导致旋转不自然
• 要规避万向节死锁，需要选择合适的旋转顺序（有12种旋转顺序）

4 总结

在编程中很难规避死锁问题，所以现在很多时候都使用四元数实现旋转，四元数那又是另外的话题了。

 

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度和弧度是角度测量单位。 两者都在实践中普遍使用，例如在数学，物理学，工程学和许多其他应用科学领域。

度的历史可以追溯到古代巴比伦的历史，而弧度是罗杰·科特斯（Roger Cotes）于1714年提出的相对现代的数学概念。

度是最常用的角度测量基本单位。 即使它是实际中最常用的单位，也不是角度测量的SI单位。

 

度（弧度）定义为圆的总角度的1/360。 它进一步分为分钟（弧分钟）和秒（弧秒）。 一弧分是度的1/60，一弧分是弧分的1/60。 细分的另一种方法是十进制度，其中一个弧度被除以100。百分之一的度是已知的，并用术语grad表示。

弧度被定义为由等于其半径的长度的圆弧所对的平面角。

弧度是角度测量的标准单位，并且已在数学及其应用的许多领域中使用。 弧度也是角度测量的SI单位，它是无量纲的。 弧度是在数值后面使用术语rad来表示的。

圆的中心对角为2πrad，半圆的对角为πrad。 直角是π/ 2弧度。

这些关系允许从度到弧度的转换，反之亦然。

1°=π/ 180弧度↔1 rad = 180°/π

与其他单位相比，弧度是首选，因为弧度是自然的。 使用弧度时，弧度比其他单位允许更多的数学解释。 除了实际的几何图形外，在数学的微积分，分析和其他子学科中都使用弧度。

 

弧度和度数有什么区别？

•度是纯粹基于旋转或转弯量的单位，而弧度则取决于每个角度产生的弧长。

•度是圆角的1/360，而弧度是圆弧对角，圆弧的长度与其半径相同。 因此，一个圆对着3600或2π弧度。

•度进一步分为弧分和弧秒，而弧度没有细分，但是对较小的角度和分数角度使用小数。

•Radian支持更轻松地解释数学中的概念； 因此，允许在物理学和其他纯粹科学中应用（例如考虑切向速度的定义）。

•度数和弧度均为无量纲单位。

 

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