大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。
Jetbrains全系列IDE使用 1年只要46元 售后保障 童叟无欺
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积,对任意的 $x \in [a,b]$,做变上限积分
$$\Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$
这个积分称为函数 $f(x)$ 的积分上限函数。
当 $f(x) > 0$ 时,$\Phi (x)$ 在几何上表示为右侧邻边可以变动的曲边梯形的面积。
性质1:函数 $\Phi (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续
直观上看,当 $f(x) > 0$ 时,函数 $\Phi (x)$ 代表的是图形在区间 $[a,x]$ 上的面积,很明显,面积随 $x$ 的变化是连续的。
使用 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0$ 来证明。
$$\Delta y = \Phi(x + \Delta x) – \Phi(x) = \int_{x_{0}}^{x + \Delta x}f(t)dt – \int_{x_{0}}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt$$
因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积,所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界,设 $|f(x)| \leq M$,于是
$$|\Delta y | = |\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \;| \leq \int_{x}^{x + \Delta x}|f(t)|dt \leq M\cdot \Delta x$$
由夹逼准则可得
$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0$$
性质2:若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续,则 $\Phi (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可导,且 $\Phi^{‘}(x) = f(x)$。
由 1 可知:
$$\Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt$$
再由定积分中值定理,得
$$\Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi)\cdot \Delta x$$
所以有
$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(\xi) = f(x)$$
故:变上限积分函数是 $f(x)$ 的一个原函数。
可以看出,当 $f(x) > 0$ 时,它的原函数 $\Phi(x)$ 在某一点的函数值就是 $f(x)$ 在该点左侧图形的面积。
$f(x)$ 的任意一个原函数 $F(x)$ 满足,每一个原函数之间都相差一个常数 $C$。
$$F(x) = \Phi(x) + C$$
发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/167447.html原文链接:https://javaforall.cn
【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛
【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...