坐标系旋转变换公式图解[通俗易懂]

平时开发程序，免不了要对图像做各种变换处理。有的时候变换可能比较复杂，比如平移之后又旋转，旋转之后又平移，又缩放。

直接用公式计算，不但复杂，而且效率低下。这时可以借助变换矩阵和矩阵乘法，将多个变换合成一个。 最后只要用一个矩阵对每个点做一次处理就可以得到想要的结果。

 另外，矩阵乘法一般有硬件支持，比如3D 图形加速卡，处理3D变换中的大量矩阵运算，比普通CPU 要快上1000倍。

下面是3类基本的2D图形变换。 

平移：

设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

则 X = x+dx;  Y = y+dy;

以矩阵表示：

                                1    0    0

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    1    0  ] ; 

                               dx  dy   1

  1    0    0

  0    1    0   即平移变换矩阵。 

  dx  dy   1 

 旋转：

 旋转相比平移稍稍复杂：

 设某点与原点连线和X轴夹角为b度，以原点为圆心，逆时针转过a度  , 原点与该点连线长度为R, [x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

  x = Rcos(b) ; y = Rsin(b);

  X = Rcos(a+b) = Rcosacosb – Rsinasinb = xcosa – ysina; (合角公式)

  Y = Rsin(a+b) = Rsinacosb + Rcosasinb = xsina + ycosa ;

  用矩阵表示：

                                cosa   sina  0

 [X, Y, 1] = [x, y, 1][-sina  cosa  0  ] 

                                 0        0     1

  cosa   sina  0

 -sina  cosa  0  为旋转变换矩阵。

   0       0     1 

 缩放

 设某点坐标，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

 X = sx*x; Y = sy*y;

则用矩阵表示：

                                sx    0    0

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    sy    0  ] ; 

                                0     0     1

 sx    0    0

 0    sy    0  即为缩放矩阵。 

 0     0     1

 2D基本的模型视图变换，就只有上面这3种，所有的复杂2D模型视图变换，都可以分解成上述3个。

比如某个变换，先经过平移，对应平移矩阵A， 再旋转, 对应旋转矩阵B，再经过缩放，对应缩放矩阵C.

则最终变换矩阵 T = ABC. 即3个矩阵按变换先后顺序依次相乘(矩阵乘法不满足交换律，因此先后顺序一定要讲究)。