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此为全书第一章，主matlab入门——通过学习各种插值法：反线性插值、牛顿法之类。
1、diff
>> diff('x^2')
ans =
-26 -44
>> diff(x^2)
ans =
2*x
书上用的是加引号那个版本的，以至于我困了好久。
2、牛顿法
对 f(x) = (x*exp(x))/2 - 2*x^2 进行牛顿插值
解
>> x = 0: 0.05: 3; >> y = 0.5*x.*exp(x) - 2*x.^2; >> plot(x,y);grid
牛顿插值实现
1 >> f =inline('(x*exp(x))/2 - 2*x^2'); 2 >> fp = inline('exp(x)/2 - 4*x + (x*exp(x))/2'); %f的导数 3 >> x0 = 0.4; 4 >> x0 = x0 - f(x0)/fp(x0) 5 6 x0 = 7 8 0.3611
其中line 4为公式。
3、误差初探
关于有限精度的作用可以用解析方法进行研究，也是必须讨论的内容，但这里只研究其对割线法和有限差分牛顿法的影响。
考虑后一种算法。
example：
首先将其写成拟牛顿法的形式，xk+1 = xk – f(xk)/sk ,
其中
sk
= (f(x
k
+h) – f(x
k
))/h；
其中
sk
= (f(x
k
+h) – f(x
k
))/h；
现在用牛顿法近似f(x)在 x=1的导数。
![非线性方程(一)]()
>> x=1; h=0.1; >> (log(x+h) - log(x))/h ans = 0.9531
对于0.1的步长，这个结果还算合理【书上原话= =
>> h=10.^(-(1:20)) >> (log(x+h) - log(x))./h ans = Columns 1 through 5 0.9531 0.9950 0.9995 1.0000 1.0000 Columns 6 through 10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 11 through 15 1.0000 1.0001 0.9992 0.9992 1.1102 Columns 16 through 20 0 0 0 0 0 >> plot(h, abs(ans-1), 'r'), grid
有图可以看到，误差有一个时期是下降的，从大约h = 1E-12开始，误差又开始增加。
这里主要指出，当h很小时，上面的计算中有两个因素在作怪：一个是分子中两个接近相等的数之间的减法，另一个是用很小的数作除数。
产生这些原因在于计算机只能表示数字的有限多位。
附几段关于计算机精度代码
>> inf*2 ans = Inf >> inf -inf ans = NaN >> eps ans = 2.2204e-16 >> 1+eps ans = 1.0000 >> 1+eps == 1 ans = 0 >> 1+eps/2 ans = 1 >> ans == 1 ans = 1 >> (1+eps/2) + eps/2 ans = 1 >> ans == 1 ans = 1 >> 1 + (eps/2 + eps/2) %计算机加法不满足结合律 ans = 1.0000 >> ans == 1 ans = 0
>> x1= 0.1; x2= pi/2; >> abs(sin(x1+err)- sin(x1)) ans = 9.9500e-11 >> abs(sin(x2+err)- sin(x2)) ans = 0 %在x接近(pi/2)【此时导数为0】时sin(x)的求值要比x接近于零时的求值更加精确，因为零点的导数为1.
%可以看到f的导数(变化速度)越大，误差也越大
>> err = 1e-6 err = 1.0000e-06 >> abs(sin(x1+err)- sin(x1)) ans = 9.9500e-07 >> abs(sin(x2+err)- sin(x2)) ans = 5.0004e-13
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