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设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，在 $I$ 内任取两点 $x_{1},x_{2}$，对任意的 $\lambda \in (0,1)$，有 $\lambda x_{1} + (1-\lambda )x_{2} \in (x_{1},x_{2})$。
$A_{1}$ 点坐标 $(x_{1},f(x_{1}))$，$A_{2}$ 点坐标 $(x_{2},f(x_{1}))$，$A$ 点坐标 $(x,f(x))$，于是可以求得
$$y_{B} = \frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}f(x_{1}) + \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}f(x_{2})$$
令 $\lambda = \frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}$，则
$$y_{B} = \lambda f(x_{1}) + (1-\lambda )f(x_{2})$$
易推出
$$x = \lambda x_{1} + (1-\lambda )x_{2}$$
结合图像有
$$y_{A} < y_{B}$$
所以
$$f(x) \leq \frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}f(x_{1}) + \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}f(x_{2})$$
即
$$f[\lambda x_{1} + (1-\lambda )x_{2}] \leq \lambda f(x_{1}) + (1-\lambda )f(x_{2}),\lambda \in (0,1)$$
当 $x_{1} \rightarrow x_{2}$，上式等号成立。
满足这个性质的函数称为凹函数，凸函数的定义与此类似，不在赘述。
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