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【点乘】
在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
代数定义
和
定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:
更一般地,n维向量的内积定义如下:
几何定义
和 ,它们的夹角为 ,则内积定义为以下实数:
该定义只对二维和三维空间有效。
点积的值
运算律
分配律:
结合律: ,其中m是实数。
表示方法
定义
设a=(X1,Y1,Z1),b=(X2,Y2,Z2),
a×b=(Y1Z2-Y2Z1,Z1X2-Z2X1,X1Y2-X2Y1)
方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)
性质
几何意义及其运用
混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。
代数规则
雅可比恒等式:
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