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一,加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理是排列与组合的基础。加法原理本质上是分类,乘法原理本质上是分步。
分类,就是把一个集合(某事物)分成互不相交的若干独立的部分。比如,概率论中的全概率公式就将事件分成”全划分“
分类思想可以简化程序的时间复杂度。比如:最短路径算法-Dijkstra算法的应用之单词转换(词梯问题)
分步,就是第一步干嘛,第二步再干嘛……比如A地到D地,第一步:先到达B地;第二步,再到达C地
二,排列
P(n,r)表示从n个数中选择r个数的一个全排列
公式:P(n,r)=P(n-1,r)+p(n-1,r-1)*r
上面公式用到了分类思想:对于某个元素而言,要么选,要么不选。如果不选它,则在剩下的n-1个元素中选r个进行全排列;如果选了它,则在剩下的n-1个元素中只需要选r-1个元素进行全排列了。但是选了的那个元素,一共有r种位置存放(因为这是排列,同一个元素放在不同的位置 属于不同的排列)故p(n-1,r-1)*r。
排列一共有三种:①线排列,就是通常的普通排列。
公式:P(n,r)=n!/(n-r)!
②圆排列,相当于排序的数围成一个圆。比如循环队列的那种实现方式。举个圆排列的例子如下:
a b c d四个字母的线排列共有4!=24种。对于其中的一种排列: a b c d ,它对应着四种等价圆排列:
1) a b c d 2) b c d a 3)c d a b 4)d a b c
因此,对于给定n个数的所有圆排列,一共有 p(n,r)/r种。 因为,一个圆排列可以产生r个线排列。
③重排列
对于线排列而言,某个元素选了之后,就不能再选了(一个元素只能选一次)
对于重排列而言,一个元素可以选多次。
集合{∞·b1,∞·b2,….,∞·bn}的一个r排列个数为:nr
即从b1,b2…bn,共n个元素中选出r个,每个元素可选任意多次,一共有种nr排列
还有一种重排列是:每个元素最多只能选K次(某个固定的次数)
{K1·b1,K2·b2,….,Kn·bn}( 元素b1最多只能选K1次)的一个r排列个数为:(K1+K2+….+Kn)!/(K1!K2!…Kn!)
上面表示从b1,b2…bn,共n个元素中选出r个进行排列,但是 bj最多只能选Kj次,一共有(K1+K2+….+Kn)!/(K1!K2!…Kn!)次排列方式。
三,组合
C(n,r)表示从n个数中选择r个数的一个全组合。
公式:C(n, r)=[n!/(r!)(n-r)!]=P(n,r)/r!
公式:C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 这个公式用到了分类思想。对于n个元素的某个元素,要么选,要么不选。
如果选了,只需在 剩下的n-1 个元素中选 r-1个;如果不选,则在剩下的n-1个元素中选r个(因为一共要选r个啊)。
这个公式非常有用,这是杨辉三解公式:其中基准条件C(n,0)=1,C(i,i)=1
C(0,0)
C(1,0) C(1,1)
C(2,0) C(2,1) C(2,2)
C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)
….. ….. …..
如果要求解C(n,r),可以先求解出C(n-1,r) 和 C(n-1,r-1);再运用公式相加即可。很明显,这是一个与Fib数列类似的递归计算。只不过求Fib(n)时,只有一个参数,而这里有二个参数而已。当然,上面的程序效率是非常低的,因为它重复计算了很多子问题。代码实现如下:
1 public class YanHuiTriangle { 2 //compute C(n,r) 3 public static long c(int n, int r){ 4 if(n == 0 || r == 0) 5 return 1;//base condition 6 if(n == r) 7 return 1;//base condition 8 else 9 return c(n-1, r-1) + c(n-1, r); 10 } 11 12 //compute c(n,r) 13 public static long c_dp(int n ,int r){ 14 long[][] dp = new long[n+1][r+1]; 15 16 //init 17 for(int i = 0; i <= n; i++) 18 dp[i][0] = 1;//if(n==0) 19 for(int i = 0; i <= r; i++) 20 dp[0][i] = 1;//if(r==0) 21 for(int i = 0; i <= r; i++)//Assume r < n 22 dp[i][i] = 1;//if(n==r) 23 24 for(int i = 1; i <= n; i++) 25 { 26 for(int j = 1; j <= r; j++) 27 { 28 if(j < i) 29 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]; 30 else if(j > i)//从 i 个元素中选取出 j个元素(j>i 没有意义) 31 dp[i][j] = 0; 32 } 33 } 34 return dp[n][r]; 35 } 36 37 public static void main(String[] args) { 38 39 long start_dp = System.currentTimeMillis(); 40 System.out.println(c_dp(50, 10)); 41 long end_dp = System.currentTimeMillis(); 42 System.out.println("dp use time: " + (end_dp - start_dp) + "ms"); 43 44 long start = System.currentTimeMillis(); 45 System.out.println(c(50,10)); 46 long end = System.currentTimeMillis(); 47 System.out.println("non dp use time: " + (end - start) + "ms"); 48 } 49 }
这个示例完美地证明了DP(动态规划)实现和递归实现的差距。是学习DP的一个好示例。如何将一个程序从递归改成DP?看上面的示例就会有启示了。
其次,这也是0-1背包问题分解的思路,对于某件物品,要么拿走,要么不拿走。因此,这个组合公式在DP问题的分析中经常用到。
重组合公式:从集合{∞·b1,∞·b2,….,∞·bn}中选取r个元素,(不考虑次序),一共有多少种组合?
答案是:F(n,r) = C(n+r-1, r)
四,二项式定理
(X+Y)n = C(n,0)X0 Yn + C(n,1)X1 Yn-1 +…..+ C(n,n)Xn Y0
“二项式”定理嘛,就是有两个项相加求n次幂。。。。。
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