动态规划背包问题（例题）

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动态规划题目背包问题（例题分析）

物品编号 1 2 3 4
物品体积 2 3 4 5
物品价值 3 4 5 6
求容积为8的背包能装的最大价值为多少？

解题思路

动态规划解题步骤
1）确定状态
注意：动态规划一般要开数组，首先要明确数组的每个元素所代表的意义。
确定状态需要两个意识：（1）最后一步（2）子问题。
2）转移方程的确定
3）初始化条件和边界情况
注意：初始状态大部分都是为零，用转移方程算不出来的才需要手动定义状态。
4）计算顺序
注意：一般的计算顺序是从小到大，从上到下从左到右（二维）。

本题的状态转移方程很容易就可以得出来是f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-vol[i]]+val[i])
这里有两个方面需要考虑，第一个是你准备将第i件物品放入，第二是你不准备放入。所以你首先需要比较体积大小，然后比较物品价值。f[i-1][j]是你没有放入物品时的情况，f[i-1][j-vol[i]]+val[i]是你要放入物品时，计算当前物品和剩余空间价值的和。然后求他们的最大值max。

本题还提供了back（）,是求解到底去了哪几件物品，是背包问题的回溯。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
int val[]={ 
0,3,4,5,6};
int vol[]={ 
0,2,3,4,5};
int f[5][9];
bool flag[5]={ 
true};
//背包的容积为8
//物品编号1,2,3,4
//物品容积2,3,4,5
//物品体积3,4,5,6 
int maxvalue(){ 

for(int i=0; i<=4; i++){ 

for(int j=0; j<=8; j++){ 

if(i==0 || j==0){ 

f[i][j]=0; 
}else{ 

if(vol[i]<=j)
f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-vol[i]]+val[i]);
else{ 

f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
}
}
} 
int back(int i, int j){ 

if(i==0){ 

for(int i=1; i<5; i++){ 

if(flag[i]) cout<<i<<" ";
}
}
if(f[i][j]==f[i-1][j]){ 

back(i-1,j);
}
else if(f[i][j]==f[i-1][j-vol[i]]+val[i]){ 

flag[i]=true;
back(i-1,j-vol[i]);
}
}
int main(){ 

maxvalue();
for(int i=0; i<=4; i++){ 

for(int j=0; j<=8; j++){ 

printf("%4d",f[i][j]);
}
cout<<endl;
}
back(4,8);
return 0;
}