动态规划之01背包问题及其优化(python实现)「建议收藏」

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动态规划之01背包问题及其优化(python实现)

**背包问题(**Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。
问题描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

解决思路：动态规划，对每一件物品遍历背包容量，当背包可容纳值大于等于当前物品，与之前已放进去的物品所得价值进行对比，考虑是否需要置换。

递归定义如下：
这里写图片描述

python实现算法如下：

def bag(n, c, w, v):
    """ 测试数据： n = 6 物品的数量， c = 10 书包能承受的重量， w = [2, 2, 3, 1, 5, 2] 每个物品的重量， v = [2, 3, 1, 5, 4, 3] 每个物品的价值 """
    # 置零，表示初始状态
    value = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            value[i][j] = value[i - 1][j]
            # 背包总容量够放当前物体，遍历前一个状态考虑是否置换
            if j >= w[i - 1] and value[i][j] < value[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]:
                value[i][j] = value[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]
    for x in value:
        print(x)
    return value

输入测试数据结果如下：最大价值为15
这里写图片描述

接下来，输出背包里所放的物品，只需从尾遍历物品，当value大于上一行同样位置的value时，表示放进该物品

代码如下：

def show(n, c, w, value):
    print('最大价值为:', value[n][c])
    x = [False for i in range(n)]
    j = c
    for i in range(n, 0, -1):
        if value[i][j] > value[i - 1][j]:
            x[i - 1] = True
            j -= w[i - 1]
    print('背包中所装物品为:')
    for i in range(n):
        if x[i]:
            print('第', i+1, '个,', end='')

输出结果：
这里写图片描述

以上时间复杂度为O(cn)，已经不能再优化了。但空间复杂度O(cn)可以优化为O(c)。
思路：尾部迭代，每个状态表示上一次的最佳结果。
实现代码如下；

def bag1(n, c, w, v):
    values = [0 for i in range(c+1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(c, 0, -1):
            # 背包总容量够放当前物体，遍历前一个状态考虑是否置换，这里的value[j]即为上一次最佳结果
            if j >= w[i-1]:
                values[j] = max(values[j-w[i-1]]+v[i-1], values[j])
    return values

完整代码：

#coding:utf-8

def bag(n, c, w, v):
    """ 测试数据： n = 6 物品的数量， c = 10 书包能承受的重量， w = [2, 2, 3, 1, 5, 2] 每个物品的重量， v = [2, 3, 1, 5, 4, 3] 每个物品的价值 """
    # 置零，表示初始状态
    value = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            value[i][j] = value[i - 1][j]
            # 背包总容量够放当前物体，遍历前一个状态考虑是否置换
            if j >= w[i - 1] and value[i][j] < value[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]:
                value[i][j] = value[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]
    for x in value:
        print(x)
    return value

def show(n, c, w, value):
    print('最大价值为:', value[n][c])
    x = [False for i in range(n)]
    j = c
    for i in range(n, 0, -1):
        if value[i][j] > value[i - 1][j]:
            x[i - 1] = True
            j -= w[i - 1]
    print('背包中所装物品为:')
    for i in range(n):
        if x[i]:
            print('第', i+1, '个,', end='')

def bag1(n, c, w, v):
    values = [0 for i in range(c+1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(c, 0, -1):
            # 背包总容量够放当前物体，遍历前一个状态考虑是否置换
            if j >= w[i-1]:
                values[j] = max(values[j-w[i-1]]+v[i-1], values[j])
    return values


if __name__ == '__main__':
    n = 6
    c = 10
    w = [2, 2, 3, 1, 5, 2]
    v = [2, 3, 1, 5, 4, 3]
    value = bag(n, c, w, v)
    # [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
    # [0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]
    # [0, 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5]
    # [0, 0, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6]
    # [0, 5, 5, 8, 8, 10, 10, 10, 11, 11, 11]
    # [0, 5, 5, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 14]
    # [0, 5, 5, 8, 8, 11, 11, 13, 13, 13, 15]
    show(n, c, w, value)
    # 最大价值为: 15
    # 背包中所装物品为:
    # 第 2 个,第 4 个,第 5 个,第 6 个,
    print('\n空间复杂度优化为N(c)结果:', bag1(n, c, w, v))
    #空间复杂度优化为N(c)结果: [0, 5, 5, 8, 8, 11, 11, 13, 13, 13, 15]