总结——01背包问题 （动态规划算法）

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0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：声明一个 大小为  m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

由此可以得到状态转移方程：

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制

价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

(第一行和第一列为序号，其数值为0)

如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;


const int N=15;


int main()
{
    int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};


    int m[N][N];
    int n=6,c=12;
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);


            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
        }
    }


    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }


    return 0;
}

到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x[ ] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时，由x[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。（这段全抄算法书，实在不知道咋解释啊。。）

void traceback()
{
    for(int i=n;i>1;i--)
    {
        if(m[i][c]==m[i-1][c])
            x[i]=0;
        else
        {
            x[i]=1;
            c-=w[i];
        }
    }
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}

例：

某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目，每个项目的投资额W_k及其投资后的收益V_k如下表所示，投资总额为30万元，如何选择项目才能使总收益最大？

结合前面两段代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=150;

int v[N]={0,12,8,9,5};
int w[N]={0,15,10,12,8};
int x[N];
int m[N][N];
int c=30;
int n=4;
void traceback()
{
    for(int i=n;i>1;i--)
    {
        if(m[i][c]==m[i-1][c])
            x[i]=0;
        else
        {
            x[i]=1;
            c-=w[i];
        }
    }
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}

int main()
{


    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);

            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
        }
    }/*
    for(int i=1;i<=6;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
*/
    traceback();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<x[i];
    return 0;
}

输出x[i]数组：0111，输出m[4][30]：22。

得出结论：选择BCD三个项目总收益最大，为22万元。

不过这种算法只能得到一种最优解，并不能得出所有的最优解。