高精度快速阶乘算法

高精度快速阶乘算法    我在业余时间开发了一套《超大整数完全精度快速算法库》HugeCalc,可快速计算超大整数的加、减、乘、除(商/余)、乘方、开方,也可快速计算大数的Fibonacci数列、(双)阶乘、排列、组合等,还可完成超大整数数组的最大公约数、最小公倍数等数论运算,现在,该套软件已被华军、天空、电脑之家、天天等下载站点收录。    自在网上公开以来,广受网友关注,经常有网友来联系,想交流一些算法心

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
    我在业余时间开发了一套《超大整数完全精度快速算法库》HugeCalc,可快速计算超大整数的加、减、乘、除(商/余)、乘方、开方,也可快速计算大数的 Fibonacci 数列、(双)阶乘、排列、组合等,还可完成超大整数数组的最大公约数、最小公倍数等数论运算,现在,该套软件已被华军、天空、电脑之家、天天等下载站点收录。

    自在网上公开以来,广受网友关注,经常有网友来联系,想交流一些算法心得。其中涉及最多的是关于“阶乘”算法,部分是在校大学生,也许是他们的毕业设计?:)

    这里,我就把关于该算法模块的核心部分,也就是一些关键点,整理出来,以供大家参考。



    阶乘,是求一组数列的乘积,其效率的高低,一、是取决于高精度乘法算法,二、是针对阶乘自身特点算法的优化。

    前者,是一种广为习知的技术,虽然不同算法效率可天壤之别,但终究可以通过学习获得,甚至可用鲁迅先生的“拿来主义”;

    后者,则有许多的发展空间,这里我将介绍一种由我完全独创的一种方法,欢迎大家讨论,如能起到“抛砖引玉”的效果,那就真正达到了目的。

    我在开发“阶乘”类算法时,始终遵循如下原则:

  • 参与高精度乘法算法的两数,大小应尽可能地相近;
  • 尽可能将乘法转化为乘方;
  • 尽可能地优先调用平方;

    言归正转,下面以精确计算 1000! 为例,阐述该算法:

    记 F1(n) = n*(n-1)*…*1;

       F2(n) = n*(n-2)*…*(2 or 1);

       Pow2(r) = 2^r;

    有 F1(2k+1) = F2(2k+1) * F2(2k)

           = Pow2(k) * F2(2k+1) * F1(k),

       F1(2k) = Pow2(k) * F2(2k-1) * F1(k),

    及 Pow2(u) * Pow2(v) = Pow2(u+v),

∴ 1000! =
F1(1000)

         = Pow2(500)*F2(999)*
F1(500)

         = Pow2(750)*F2(999)*F2(499)*
F1(250)

         = Pow2(875)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*
F1(125)

         = Pow2(937)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*
F1(62)

         = Pow2(968)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F2(61)*
F1(31)

         = Pow2(983)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F2(61)*F2(31)*
F1(15)

         = …

    如果你预存了某些小整数阶乘(比如这里的“
F1(15)”),则可提前终止分解,否则直至右边最后一项为“
F1(1)”为止;这样,我们
将阶乘转化为2的整数次幂与一些连续奇数的积(或再乘以一个小整数的阶乘)

    再定义:F2(e,f) = e*(e-2)*…*(f+2),这里仍用“F2”,就当是“函数重载”好了:),

    则 F2(e) = F2(e,-1) = F2(e,f)*F2(f,-1) (e、f为奇数,0≤f≤e)

∴ F2(999) = F2(999,499)*F2(499,249)*F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),

   F2(499) = ____________F2(499,249)*F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),

   F2(249) = ________________________F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),

   F2(125) = ____________________________________F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31),

   F2( 61) = _______________________________________________F2(61,31)*F2(31),

   F2( 31) = _________________________________________________________F2(31),

∴ F1(1000) =
F1(15) * Pow2(983) * F2(999,499) /

                 * [F2(499,249)^2] * [F2(249,125)^3] /

                 * [F2(61,31)^4] * [F2(31)^5]

    这样,我们又
将阶乘转化为了乘方运算

    上式实际上是个形如 a * b^2 * c^3 * d^4 * e^5 的式子;我们再将指数转化为二进制,可得到如下公式:

        a * b^2 * c^3 * d^4 * e^5 = (a*c*e)*[(b*c)^2]*[(d*e)^4]

                                  =
(((e*d)^2)*(c*b))^2*(e*c*a),

即可
转化成了可充分利用高效的平方算法

    最后,我再提供大家一个
确保“小整数累乘不溢出”的技巧,这是我自创的,相信会对大家有借鉴作用:

  1. 应采用“倒序”,比方说,应按 999 * 997 * … 的顺序;
  2. 可预先设定一个数组,记录如果当前起始数组的最大值不大于某个值,则连乘多少个数不会溢出;
  3. 可利用“几何平均值≤算术平均值”定理,可推导出“ k 个自然数连乘不大于某个定值,其充分条件是其和不大于某个临界值”,我们只需要事先计算出它们的对应关系并保存下来。

    上述算法是
HugeCalc Ver1.2.0.1 的算法关键点,其效率已略高于liangbch(宝宝)的高级算法3.0版。

    在最新的
HugeCalc Ver2.1.0.1 中,采用的是更彻底的分解成质因数的方法,技巧性倒反不如上面的强(但却需要有高效的素数筛法),但里面的很多思想仍在延续。




备注:

Factorial.exe
Ver2.1.0.1
Celeron(tm) 466MHz
64MB RAM, Win98Sec
Pentium(R) 4 1.70GHz
256MB RAM, WinXP
Result
 10,000!   0.069s  0.031s 2.8462… x 10^35,659
 20,000!   0.236s  0.109s 1.8192… x 10^77,337
 40,000!   0.795s  0.390s 2.0916… x 10^166,713
 80,000!   2.661s  1.328s 3.0977… x 10^357,506
100,000!   4.177s  1.969s 2.8242… x 10^456,573
200,000!  13.663s  6.438s 1.4202… x 10^973,350
400,000!  43.818s 20.828s 2.5344… x 10^2,067,109
800,000! 139.337s 66.921s 5.6846… x 10^4,375,039
  1. 作者:郭先强;发布日期:2004-06-15
  2. 本文的初稿发表于著名的“CSDN – 技术社区 – 专题开发 数据结构与算法问题”
  3. 相关下载:超大整数完全精度快速计算器/算法库
    超大整数高精度快速计算器
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