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1. 神经元概述

神经网络是由一个个的被称为“神经元”的基本单元构成，单个神经元的结构如下图所示：

对于上述的神经元，其输入为$x_1$，$x_2$，$x_3$以及截距$+1$，其输出为：

$$h_{\mathbf{W},b}\left(\mathbf{x}\right)=f\left({\mathbf{W}}^T\mathbf{x}\right)=f\left(\sum _{i=1}^3{W}_i{x}_i+b\right)$$

其中，$\mathbf{W}$表示的是向量，代表的是权重，函数$f$称为激活函数，通常激活函数可以选择为Sigmoid函数，或者tanh双曲正切函数，其中，Sigmoid函数的形式为：

$$f\left(z\right)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

双曲正切函数的形式为：

$$f\left(z\right)=tanh\left(z\right)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$$

以下分别是Sigmoid函数和tanh函数的图像，左边为Sigmoid函数的图像，右边为tanh函数的图像：

Sigmoid函数的区间为$\left[0,1\right]$，而tanh函数的区间为$\left[-1,1\right]$。

若是使用sigmoid作为神经元的激活函数，则当神经元的输出为$1$时表示该神经元被激活，否则称为未被激活。同样，对于激活函数是tanh时，神经元的输出为$1$时表示该神经元被激活，否则称为未被激活。

2. 神经网络

2.1. 神经网络的结构

神经网络是由很多的神经元联结而成的，一个简单的神经网络的结构如下图所示：

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其中一个神经元的输出是另一个神经元的输入，$+1$项表示的是偏置项。上图是含有一个隐含层的神经网络模型，$L_1$层称为输入层，$L_2$层称为隐含层，$L_3$层称为输出层。

2.2. 神经网络中的参数说明

在神经网络中，主要有如下的一些参数标识：

• 网络的层数$n_1$。在上述的神经网络中$n_l=3$，将第$l$层记为$L_l$，则上述的神经网络，输入层为$L_1$，输出层为$L_3$。
• 网络权重和偏置$\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)=\left({\mathbf{W}}^{(1)},{\mathbf{b}}^{(1)},{\mathbf{W}}^{(2)},{\mathbf{b}}^{(2)}\right)$，其中$W_{ij}^{(l)}$表示的是第$l$层的第$j$个神经元和第$l+1$层的第$i$个神经元之间的连接参数，$b_i^{(l)}$标识的是第$l+1$层的第$i$个神经元的偏置项。在上图中，${\mathbf{W}}^{(1)}\in {\Re }^{3\times 3}$，${\mathbf{W}}^{(2)}\in {\Re }^{1\times 3}$。

2.3. 神经网络的计算

在神经网络中，一个神经元的输出是另一个神经元的输入。假设$z_i^{(l)}$表示的是第$l$层的第$i$个神经元的输入，假设$a_i^{(l)}$表示的是第$l$层的第$i$个神经元的输出，其中，当$l=1$时，$a_i^{(1)}=x_i$。根据上述的神经网络中的权重和偏置，就可以计算神经网络中每一个神经元的输出，从而计算出神经网络的最终的输出$h_{\mathbf{W},\mathbf{b}}$。

对于上述的神经网络结构，有下述的计算：

$$z_1^{(2)}=W_{11}^{(1)}{x}_1+W_{12}^{(1)}{x}_2+W_{13}^{(1)}{x}_3+b_1^{(1)}$$

$$a_1^{(2)}=f\left(W_{11}^{(1)}{x}_1+W_{12}^{(1)}{x}_2+W_{13}^{(1)}{x}_3+b_1^{(1)}\right)$$

$$z_2^{(2)}=W_{21}^{(1)}{x}_1+W_{22}^{(1)}{x}_2+W_{23}^{(1)}{x}_3+b_2^{(1)}$$

$$a_2^{(2)}=f\left(W_{21}^{(1)}{x}_1+W_{22}^{(1)}{x}_2+W_{23}^{(1)}{x}_3+b_2^{(1)}\right)$$

$$z_3^{(2)}=W_{31}^{(1)}{x}_1+W_{32}^{(1)}{x}_2+W_{33}^{(1)}{x}_3+b_3^{(1)}$$

$$a_3^{(2)}=f\left(W_{31}^{(1)}{x}_1+W_{32}^{(1)}{x}_2+W_{33}^{(1)}{x}_3+b_3^{(1)}\right)$$

从而，上述神经网络结构的最终的输出结果为：

$$h_{\mathbf{W},\mathbf{b}}\left(\mathbf{x}\right)=f\left(W_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+W_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)}+W_{13}^{(2)}{a}_3^{(2)}+b_1^{(2)}\right)$$

上述的步骤称为前向传播，指的是信号从输入层，经过每一个神经元，直到输出神经元的传播过程。

2.4. 其他形式的神经网络模型

上述以单隐层神经网络为例介绍了神经网络的基本结构，在神经网络的结构中，可以包含多个隐含层，神经网络的输出神经单元也可以是多个，如下面的含多隐层多输出单元的神经网络模型：

2.5. 神经网络中参数的求解

对于上述神经网络模型，假设有$m$个训练样本$\left\{\left({\mathbf{x}}^{(1)},y^{(1)}\right),\cdots ,\left({\mathbf{x}}^{(m)},y^{(m)}\right)\right\}$，对于一个训练样本$\left(\mathbf{x},y\right)$，其损失函数为：

$$J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x},y\right)=\frac{1}{2}{\Vert h_{\mathbf{W},\mathbf{b}}\left(\mathbf{x}\right)-y\Vert }^2$$

为了防止模型的过拟合，在损失函数中会加入正则项，即：

$$J=loss+R$$

其中，$loss$表示的是损失函数，$R$表示的是正则项。则对于上述的含有$m$个样本的训练集，其损失函数为：

$$J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)=\left[\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};{\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)}\right)\right]+\frac{\lambda }{2}\sum _{l=1}^{n_l-1}\sum _{i=1}^{s_l}\sum _{j=1}^{s_{l+1}}{\left(W_{ij}^{(l)}\right)}^2$$

通常，偏置项并不放在正则化中，因为在正则化中放入偏置项只会对神经网络产生很小的影响。

我们的目标是要求得参数$\mathbf{W}$和参数$\mathbf{b}$以使得损失函数$J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)$达到最小值。首先需要对参数进行随机初始化，即将参数初始化为一个很小的接近$0$的随机值。

参数的初始化有很多不同的策略，基本的是要在$0$附近的很小的邻域内取得随机值。

在随机初始化参数后，利用前向传播得到预测值$h_{\mathbf{W},\mathbf{b}}\left(\mathbf{x}\right)$，进而可以得到损失函数，此时需要利用损失函数对其参数进行调整，可以使用梯度下降的方法，梯度下降对参数的调整如下：

$$W_{ij}^{(l)}=W_{ij}^{(l)}-\alpha \frac{\partial }{\partial W_{ij}^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)$$

$$b_i^{(l)}=b_i^{(l)}-\alpha \frac{\partial }{\partial b_i^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)$$

其中，$\alpha $称为学习率，在计算参数的更新公式中，需要使用到反向传播算法。

而$\frac{\partial }{\partial W_{ij}^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)$，$\frac{\partial }{\partial b_i^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)$的具体形式如下：

$$\frac{\partial }{\partial W_{ij}^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)=\left[\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{\partial }{\partial W_{ij}^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};{\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)}\right)\right]+\lambda W_{ij}^{(l)}$$

$$\frac{\partial }{\partial b_i^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b}\right)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{\partial }{\partial b_i^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};{\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)}\right)$$

反向传播算法的思路如下：对于给定的训练数据$\left(\mathbf{x},y\right)$，通过前向传播算法计算出每一个神经元的输出值，当所有神经元的输出都计算完成后，对每一个神经元计算其“残差”，如第$l$层的神经元$i$的残差可以表示为${\delta }_i^{(l)}$。该残差表示的是该神经元对最终的残差产生的影响。这里主要分为两种情况，一是神经元为输出神经元，第二是神经元为非输出神经元。这里假设$z_i^{(l)}$表示第$l$层上的第$i$个神经元的输入加权和，假设$a_i^{(l)}$表示的是第$l$层上的第$i$个神经元的输出， 即$a_i^{(l)}=f\left(z_i^{(l)}\right)$。

• 对于输出层$n_l$上的神经元$i$，其残差为：

$$\begin{array}{c}{\delta }_i^{(n_l)}=\frac{\partial }{\partial z_i^{n_l}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x},y\right)\\ =\frac{\partial }{\partial z_i^{n_l}}\frac{1}{2}{\Vert y-h_{\mathbf{W},\mathbf{b}}\left(\mathbf{x}\right)\Vert }^2\\ =\frac{\partial }{\partial z_i^{n_l}}\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{s_{n_l}}{\Vert y_i-a_i^{n_l}\Vert }^2\\ =\left(y_i-a_i^{n_l}\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \frac{\partial }{\partial z_i^{n_l}}{a}_i^{n_l}\\ =-\left(y_i-a_i^{n_l}\right)\cdot f^{\prime }\left(z_i^{n_l}\right)\end{array}$$

-对于非输出层，即对于$l=n_{l-1},n_{l-2},\cdots ,2$各层，第$l$层的残差的计算方法如下（以第$n_{l-1}$层为例）：

$$\begin{array}{c}{\delta }_i^{(n_{l-1})}=\frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x},y\right)\\ =\frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}\frac{1}{2}{\Vert y-h_{\mathbf{W},\mathbf{b}}\left(\mathbf{x}\right)\Vert }^2\\ =\frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}\frac{1}{2}{\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}{\Vert y_j-a_j^{n_l}\Vert }^2\\ =\frac{1}{2}{\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}\frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}{\Vert y_j-a_j^{n_l}\Vert }^2\\ =\frac{1}{2}{\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}\frac{\partial }{\partial z_j^{n_l}}{\Vert y_j-a_j^{n_l}\Vert }^2\cdot \frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}{z}_j^{n_l}\\ ={\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}{\delta }_j^{(n_l)}\cdot \frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}{z}_j^{n_l}\\ ={\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}\left({\delta }_j^{(n_l)}\cdot \frac{\partial }{\partial z_i^{n_{l-1}}}{\sum }_{k=1}^{s_{n_{l-1}}}f\left(z_k^{n_{l-1}}\right)\cdot W_{jk}^{n_{l-1}}\right)\\ ={\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}\left({\delta }_j^{(n_l)}\cdot W_{ji}^{n_{l-1}}\cdot f^{\prime }\left(z_i^{n_{l-1}}\right)\right)\\ =\left({\sum }_{j=1}^{s_{n_l}}{\delta }_j^{(n_l)}\cdot W_{ji}^{n_{l-1}}\right)\cdot f^{\prime }\left(z_i^{n_{l-1}}\right)\end{array}$$

因此有：

$${\delta }_i^{(l)}=\left(\sum _{j=1}^{s_{l+1}}{\delta }_j^{(l+1)}\cdot W_{ji}^{(l)}\right)\cdot f^{\prime }\left(z_i^{(l)}\right)$$

对于神经网络中的权重和偏置的更新公式为：

$$\frac{\partial }{\partial W_{ij}^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x},y\right)=a_j^{(l)}{\delta }_i^{(l+1)}$$

$$\frac{\partial }{\partial b_i^{(l)}}J\left(\mathbf{W},\mathbf{b};\mathbf{x},y\right)={\delta }_i^{(l+1)}$$

2.6. 神经网络的学习过程

对于神经网络的学过程，大致分为如下的几步：

• 初始化参数，包括权重、偏置、网络层结构，激活函数等等
• 循环计算
  • 正向传播，计算误差
  • 反向传播，调整参数
• 返回最终的神经网络模型

参考文献

[1] 英文版：UFLDL Tutorial

[2] 中文版：UFLDL教程