大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

1、一维傅里叶变换

1.1 一维连续傅里叶变换

• 正变换：

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt$$

• 逆变换：

$$f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )\cdot e^{i\omega t}d\omega$$

1.2 一维离散傅里叶变换

• 正变换：

$$\begin{gathered} F(u)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi }{N}xu} \\ u=0,1,2,...,N-1 \end{gathered}$$

• 逆变换：

$$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{N}\sum _{u=0}^{N-1}F(u)\cdot e^{i\frac{2\pi }{N}xu} \\ x=0,1,2,...,N-1 \end{gathered}$$

2、二维傅里叶变换

2.1 二维连续傅里叶变换

• 正变换
  $$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$$

• 逆变换
  $$f(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$

2.2 二维离散傅里叶变换

令f(x,y)表示一幅大小为MXN像素的数字图像，其中,x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1,由F(u,v)表示的f(x,y)的二维离散傅里叶变换(DFT)由下式给出：

$$\begin{gathered} F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} \\ u,v=0,1,2,...,N-1 \end{gathered}$$

式子当中，u也是属于0到M-1,v属于0到N-1。频率域就是属于u,v作为频率变量，由F(u,v)构成的坐标系，这块MXN的区域我们通常称为频率矩形，很明显频率矩形的大小和输入图像的大小相同。

有傅里叶变换，当然就有傅里叶反变换(IDFT):
$$\begin{gathered} f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} \\ x,y=0,1,2,...,N-1 \end{gathered}$$

clc,clear;
a = [1 2 3 5 5 ; 4 7 9 5 4;1 4 6 7 5;5 4 3 7 1;8 7 5 1 3];%a矩阵取5*5
b = [1 5 4; 3 6 8; 1 5 7]; %b矩阵如多数模板一样取3*3
c = conv2(a,b)
d = conv2(a,b,'same')

a(7,7) = 0;
b(7,7) = 0;
e = ifft2(fft2(a).*fft2(b)) % .* 对应元素相乘

%
c =
     1     7    17    28    42    45    20
     7    39    89   127   134   110    56
    14    61   151   212   229   177    87
    12    74   165   226   245   174    72
    24    98   178   190   179   155    55
    29    98   179   139   112    80    31
     8    47    96    75    43    22    21
%

%
d =

    39    89   127   134   110
    61   151   212   229   177
    74   165   226   245   174
    98   178   190   179   155
    98   179   139   112    80
%

%
e =

    1.0000    7.0000   17.0000   28.0000   42.0000   45.0000   20.0000
    7.0000   39.0000   89.0000  127.0000  134.0000  110.0000   56.0000
   14.0000   61.0000  151.0000  212.0000  229.0000  177.0000   87.0000
   12.0000   74.0000  165.0000  226.0000  245.0000  174.0000   72.0000
   24.0000   98.0000  178.0000  190.0000  179.0000  155.0000   55.0000
   29.0000   98.0000  179.0000  139.0000  112.0000   80.0000   31.0000
    8.0000   47.0000   96.0000   75.0000   43.0000   22.0000   21.0000
%