【算法】复变函数

【算法】复变函数复变函数复数与复变函数复数复变函数导数积分级数留数保形映射解析函数对平面向量场的应用复数与复变函数复数复数的代数运算:复数四则运算的几何意义:①两个复数乘积的模等于它们模的乘积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和②两个复数商的模等于它们模的商;两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差③复数的加减:复数的幂乘和方根①幂乘②方根(这里w≠0,n≥2)的复数…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

前言

  • 复变函数是由一个复数域映射到另一个复数域的关系。判断复变函数是否可导可导:u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在点 ( x, y ) 可微, 并且在该点 满足柯西—黎曼方程。解析函数是复变函数在一个区域内可导。可用定义法计算复变函数在一点的导数 或 利用常见初等函数的导数以及导数的运算法则求导。
  • 柯西定理:已知一复变函数的原函数,可求其积分。柯西定理证明了若一正向封闭区域内(逆时针),若所积函数解析,则其积分为零。
    在这里插入图片描述
  • 柯西积分公式:当复变函数在封闭区域内解析,则在该封闭区域内任一点的值由f(z)/z-z0在边界上的积分所决定。
    在这里插入图片描述
    如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函数在该点仍解析 。设 f ( z)在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, z0 为 D 内任一点, 那么:
    在这里插入图片描述
    由此,一般解析初等函数可以展开为对应泰勒级数。且部分函数可展开为含负幂次项的洛朗级数。
    根据展开函数的级数在某一点或无穷远点的负幂次项的个数,可将奇点类型分为:可去奇点、极点、本性奇点。同时,根据留数定理可求出对应展开级数的C-1项的系数从而求出某封闭曲线上的积分。留数对一些特殊的定积分的计算。

复数

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1. 复数的代数运算:

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2. 复数四则运算的几何意义:

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①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和
②两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的幅角等于被 除数与除数的幅角差
③复数的加减:
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3. 复数的幂乘和方根

①幂乘
在这里插入图片描述②方根(这里 w≠0 , n≥2 )的复数 w 为该方程的 n 次方根在这里插入图片描述

复变函数

复数域上初等函数的定义:

1. 指数函数

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性质:ez+2kπ=ez,故指数函数ez是一个以2π为周期的周期函数。
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故ez在复平面上处处可导,解析。

2. 对数函数

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性质:w 是 z 的对数函数,记为 w = Ln z .其为多值函数。单值函数为多值函数 Ln z的主值,记作 ln z .
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3. 幂函数

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4. 三角函数与反三角函数

①正弦与余弦函数
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由上面的定义,我们可以容易地推出正弦函数和余弦函数的下述性质:(*)在这里插入图片描述
在这里插入图片描述②其他三角函数
③反三角函数

5. 双曲函数与反双曲函数

导数

1. 复变函数极限

①复变函数极限概念:
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②复变函数极限判断定理:
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2. 复变函数的连续性

①复变函数连续概念:
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②复变函数连续性定理:
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3. 导数

①定义:(可导必连续,连续不一定可导)
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例1 求zn的导数
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例2 证明
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例3 证明f(z)=|z|2的可导性
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②导数的运算法则:
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③函数可导的充分必要条件:
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4. 解析函数

①定义:(区域内所有点可导)
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由定义知,函数在区域 D 内解析与在区域 D 内可导是等价的 .但函数在 一点解析与在该点可导是绝对不等价的 .前者比后者条件强的多, 函数在某点 解析意味着函数在该点及其某邻域内处处可导;而函数在某点可导, 在该点邻 域内函数也可能可导,也可能不可导 .
②判断定理:
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由导数的运算法则可知,在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除 (分母 不为零)运算得到的函数在该区域上仍解析 .两个及两个以上的解析函数经过 有限次复合运算后得到的函数仍为解析函数 .解析函数的单值反函数仍为解 析函数
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

5. 调和函数

积分

1.积分的概念、性质、计算

将实数域上有关积分的概念、性质推广到复数域上
1.原函数:
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2.不定积分:
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3. 常见公式:在这里插入图片描述
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4. 定积分:
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定积分性质:
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5.计算:
在这里插入图片描述
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2. 柯西定理及其推广

在这里插入图片描述
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3.柯西积分公式

定理:在这里插入图片描述推导前提:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

4. 解析函数的导数

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级数

1.收敛序列和收敛级数

①收敛序列:在这里插入图片描述
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②收敛数项级数:
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在这里插入图片描述在这里插入图片描述
③函数项级数:
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2. 幂级数

定义:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
幂级数的收敛半径:在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
幂级数的和函数的性质:
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在这里插入图片描述在这里插入图片描述在高等数学中,我们将一个具有 n + 1 阶导数的函数展为泰勒级数或麦 克劳林级数 .在下一节我们将解析函数 ( 具有任意阶导数 ) 展为泰勒级数或麦 克劳林级数,也就是解析函数展为幂级数 .

3.泰勒级数

在这里插入图片描述在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
例1
在这里插入图片描述

4.洛朗级数

有些函数虽然不能表示为泰勒级数, 但是却能用含有负指数幂 的级数在某个圆环内表示,这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的罗朗 级数
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

留数

1.解析函数的孤立奇点

在这里插入图片描述
1.可去奇点、极点、本性奇点

  • 可去奇点、极点、本性奇点
    分别对应罗郎展开式中无负次幂,只有有限个负次幂和无限个负次幂。

在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
2.零点定义
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3.解析函数在无穷远点的性质
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2.留数的一般理论

1.留数的定义
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在这里插入图片描述在这里插入图片描述
2.极点处留数的求法(既求拆开的对应c-1的系数)
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

3.留数对定积分的计算

在高等数学以及实际问题中,常常需要求出一些定积分或广义积分的值, 而这些积分中被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来, 或即使可以求出 原函数,计算也往往比较复杂 .利用留数定理, 要计算某些类型的定积分或广 义积分, 只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数, 从而把问题大大简化, 下 面通过具体例子,说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分 .

1.含sinx,cosx的有理分式积分
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在这里插入图片描述在这里插入图片描述
2.
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在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述3.在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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保形映射

解析函数对平面向量场的应用

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