turtle递归作图绘制谢尔宾斯基地毯【详解】

turtle递归作图绘制谢尔宾斯基地毯【详解】python数据结构与算法turtle递归作图绘制谢尔宾斯基地毯

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

了解谢尔宾斯基地毯

我们先从谢尔宾斯基三角形讲起:
谢尔宾斯基三角形(英语:Sierpinski triangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。
以下是0到3阶的谢尔宾斯基三角形:
在这里插入图片描述

它的构造方法是:
1.取一个实心的等边三角形
2.沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形。
3.去掉中间的那一个小三角形。
4.对其余三个小三角形重复(1,2,3)过程。

谢尔宾斯基三角形特点:
容易看出,假设0阶谢尔宾斯基三角形面积为a,周长为b,
那么n阶谢尔宾斯基三角形面积为:a*[(3/4)^n]
周长为:b*[(3/2)^n]
也就是说,当区域无穷大时,我们得到了一个面积为0,但周长却为无穷大的图形。

我们再来看谢尔宾斯基地毯,它的基本图形为一个正方形,然后每次挖去中心的一个小正方形,
直接上图:
在这里插入图片描述

海龟作图turtle

python2.6版本中后引入的一个简单的绘图工具,叫做海龟绘图(Turtle Graphics),出现在1966年的Logo计算机语言。
海龟绘图(turtle库)是python的内部模块,使用前导入即可 import turtle
详细用法这里不具体介绍,可以参考下面这篇文章:
python之turtle海龟绘图篇

代码思路:

我们从最简单的情况想起:一阶地毯
我们将大正方形(先假设边长为3a)放在一个直角坐标系中,左下顶点定为(0,0),右上顶点定为
(3a,3a)
那么容易得到:要挖去那一个小三角形,它的左下顶点坐标为(a,a),边长为a
也即:要挖去的区域为{(x,y)|a<=x<=2a,a<=y<=2a}

那么对于n阶的地毯,我们需要考虑的就是不断减小问题规模,使之回到最简单的情况。

使用代码实现时,我们可以考虑:
对于n阶的谢尔宾斯基地毯,我们先将最大的正方形固定在坐标轴上,
然后考虑每一个最小的正方形是否应该挖去,
例如三阶地毯,设最大正方形面积为9*9=81,那么我们只需要考虑每个面积为1的小正方形应该留下或挖去。
下面上代码:

代码

海龟图画谢尔宾斯基地毯
思路:令最小的一个正方形边长为base,则n阶地毯的边长为base*(3**n)
由于turtle画布的长度为600左右,第一象限长度为300左右,我们令base=int(300/(3^n)
判断每一个边长为base的小正方形是否应该挖去

绘制最外围的正方形:

import turtle

# 画好最外围的正方形,背景设为蓝色
n = int(input())
t = turtle.Turtle()
base = int(300 / (3 ** n))  # 设置每个小正方形长度base
length = base * (3 ** n)  # 最外围的正方形长度
t.pensize(0.1)
turtle.tracer(False)  # 画图过程太长我们跳过不看
t.pencolor('blue')
t.fillcolor('blue')
t.begin_fill()  # 填充蓝色
for i in range(1, 5):
    t.forward(length)
    t.left(90)
t.end_fill()
turtle.done()

运行结果是这样的:
在这里插入图片描述

对于每个边长为base的小正方形,是否应该挖去,需要用到递归:

    def check(n, x, y):  # 判断对于坐标(x,y),判断该处的小正方形是否需要被挖掉,需要则返回False
        if n <= base:  # 结束条件
            return True
        n2 = n // 3
        if n2 <= x < n2 * 2 and n2 <= y < n2 * 2:  # 小正方形处于大正方形中央应该满足的条件
            return False
        return check(n2, x % n2, y % n2)  # 不处于中央的点,递归至下一层的小正方形
        # 取余的操作可以理解为将零点移至小正方形的左下角顶点

最后我们将所有判断为False的小正方形挖去:

    for y in range(0, N, base):
        for x in range(0, N, base):
            if check(N, x, y):
                continue
            else:            # 将(x,y)处小正方形填为空白
                t.penup()
                t.setx(x)
                t.sety(y)
                t.pendown()
                t.pensize(0.1)
                t.pencolor('white')
                t.fillcolor('white')
                t.begin_fill()
                for i in range(1, 5):
                    t.forward(base)
                    t.left(90)
                t.end_fill()
                t.penup()

不要忘了输入和输出:

n = int(input())
carpet(length)

最后完整代码是这样的:

import turtle
n = int(input())
# 画好最外围的正方形,背景设为蓝色
t = turtle.Turtle()
base = int(300 / (3 ** n))  # 设置每个小正方形长度base
length = base * (3 ** n)  # 最外围的正方形长度
t.pensize(0.1)
turtle.tracer(False)  # 画图过程太长我们跳过不看
t.pencolor('blue')
t.fillcolor('blue')
t.begin_fill()  # 填充蓝色
for i in range(1, 5):
    t.forward(length)
    t.left(90)
t.end_fill()



def carpet(N):  # 对于点a(x,y),我们令a点位小正方形的左下角顶点
    def check(n, x, y):  # 判断对于坐标(x,y),判断该处的小正方形是否需要被挖掉,需要则返回False
        if n <= base:  # 结束条件
            return True
        n2 = n // 3
        if n2 <= x < n2 * 2 and n2 <= y < n2 * 2:  # 小正方形处于大正方形中央应该满足的条件
            return False
        return check(n2, x % n2, y % n2)  # 不处于中央的点,递归至下一层的小正方形
        # 取余的操作可以理解为将零点移至小正方形的左下角顶点

    for y in range(0, N, base):
        for x in range(0, N, base):
            if check(N, x, y):
                continue
            else:            # 将(x,y)处小正方形填为空白
                t.penup()
                t.setx(x)
                t.sety(y)
                t.pendown()
                t.pensize(0.1)
                t.pencolor('white')
                t.fillcolor('white')
                t.begin_fill()
                for i in range(1, 5):
                    t.forward(base)
                    t.left(90)
                t.end_fill()
                t.penup()


carpet(length)
turtle.done()

运行结果:
以下依次为n=1~5的n阶谢尔宾斯基地毯:
绘制5阶地毯需要很长时间,因此不继续绘制6阶了
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

参考资料

python数据结构与算法课程 pku陈斌

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