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正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 ${\ell }_1$-norm 和 ${\ell }_2$-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha ||w|{|}_1$即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha ||w|{|}_2^2$即为L2正则化项。

一般回归分析中$w$表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量$w$中各个元素的绝对值之和，通常表示为$||w|{|}_1$
• L2正则化是指权值向量$w$中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为$||w|{|}_2$

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python的机器学习包sklearn中用$\alpha$表示，一些文章也用$\lambda$表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择的关系

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

正则化和特征选择的关系

假设有如下带L1正则化的损失函数：
$$J=J_0+\alpha \sum _w|w|\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$J_0$是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，$\alpha$是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，$J$是带有绝对值符号的函数，因此$J$是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数$J_0$后添加L1正则化项时，相当于对$J_0$做了一个约束。令$L=\alpha {\sum }_w|w|$，则$J=J_0+L$，此时我们的任务变成在$L$约束下求出$J_0$取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值$w^1$和$w^2$，此时$L=|w^1|+|w^2|$。对于梯度下降法，求解$J_0$的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数$L$也可以在$w^1{w}^2$的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是$J_0$的等值线，黑色方形是$L$函数的图形。$L=|w^1|+|w^2|$，这个函数画出来就是一个方框（可以自己动手画一下）。

在图中，当$J_0$等值线与$L$图形首次相交的地方就是最优解。上图中$J_0$与$L$在$L$的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是$(w^1,w^2)=(0,w)$。可以直观想象，因为$L$函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），$J_0$与这些角接触的机率会远大于与$L$其它部位接触的机率（这是很直觉的想象，突出的角比直线的边离等值线更近写），而在这些角上，会有很多权值等于0（因为角就在坐标轴上），这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数$\alpha$，可以控制$L$图形的大小。$\alpha$越小，$L$的图形越大（上图中的黑色方框）；$\alpha$越大，$L$的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值$(w1,w2)=(0,w)$中的$w$可以取到很小的值。

类似地，假设有如下带L2正则化的损失函数：

$$J=J_0+\alpha \sum _w{w}^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆（绝对值的平方和，是个圆），与方形相比，被磨去了棱角。因此$J_0$与$L$相交时使得$w^1$或$w^2$等于零的机率小了许多（这个也是一个很直观的想象），这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因，因为不太可能出现多数$w$都为0的情况。

为什么梯度下降的等值线与正则化函数第一次交点是最优解？

评论中有人问到过这个问题，这是带约束的最优化问题。这应该是在大一的高等数学就学到知识点，因为这里要用到拉格朗日乘子。如果有这样的问题，就需要复习一下高等数学了。这里有一个比较详细的数学讲解，可以参考：带约束的最优化问题。

L2正则化和过拟合的关系

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例，使用Andrew Ng机器学习的参数表示方法。假设要求解的参数为$\theta$，$h_{\theta }(x)$是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是$(h_{\theta }(x)-y{)}^2$，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有$m$个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数$\frac{1}{2m}$：

$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2\text{\hspace{1em}(3)}$$

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数${\theta }_j$求导：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )=\frac{1}{m}(h_{\theta }(x)-y)\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}{h}_{\theta }(x)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

注意到$h_{\theta }(x)$的表达式是$h_{\theta }(x)={\theta }_0{x}_0+{\theta }_1{x}_1+\cdots +{\theta }_n{x}_n$. 单个样本对某个参数${\theta }_j$求导，$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}{h}_{\theta }(x)=x_j$. 最终(3.1)式结果如下：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )=\frac{1}{m}(h_{\theta }(x)-y)x_j\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

在考虑所有样本的情况，将每个样本对${\theta }_j$的导数求和即可，得到下式：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数$\alpha$（即学习率），得到最终用于迭代计算参数${\theta }_j$的形式：

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中$\alpha$是学习率（learning rate）。 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
$${\theta }_j:={\theta }_j(1-\alpha \frac{\lambda }{m})-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中$\lambda$就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，${\theta }_j$都要先乘以一个小于1的因子（即$(1-\alpha \frac{\lambda }{m})$），从而使得${\theta }_j$不断减小，因此总的来看，$\theta$是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

通常越大的$\lambda$可以让代价函数在参数为0时取到最小值。因为正则化系数越大，正则化的函数图形（上文图中的方形或圆形）会向坐标轴原点收缩得越厉害，这个现象称为shrinkage，过程可以称为shrink to zero. 下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

$$F(x)=f(x)+\lambda ||x|{|}_1$$

其中$x$是要估计的参数，相当于上文中提到的$w$以及$\theta$. 这个例子中的正则化函数$L$就是$L=\lambda |x|$。注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当$\lambda$足够大时可以使得$F(x)$在$x=0$时取到最小值。如下图：

图3 L1正则化参数的选择

作为一个直观的例子，这个图的示例中，取了$f(x)=(x-1{)}^2$作为损失函数，其实可以取更复杂的，但不好画图，不过原理是一样的，因为损失函数都是凸函数，很多性质是一样的。

正则化分别取$\lambda =0.5$和$\lambda =2$，可以看到越大的$\lambda$越容易使$F(x)$在$x=0$时取到最小值。

此外也可以自己计算一下，当损失函数$f(x)$和正则化函数$L=|x|$在定义域内第一次相交的地方，就是整个代价函数$F(x)$的最优解。

L2正则化参数

从公式5可以看到，$\lambda$越大，${\theta }_j$衰减得越快。另一个理解可以参考图2，$\lambda$越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小，同样是一个shrink to zero的过程，原理与L1正则化类似。

Reference

过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995