机器学习模型中的损失函数loss function

机器学习模型中的损失函数loss functionimportmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpxmin,xmax=-4,4xx=np.linspace(xmin,xmax,100)plt.plot([xmin,0,0,xmax],[1,1,0,0],’k-‘,label=”Zero-oneloss”)plt.plot(xx,np.where(x

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

1. 概述

在分类算法中,损失函数通常可以表示成损失项和正则项的和,即有如下的形式:

J ( w ) = ∑ i L ( m i ( w ) ) + λ R ( w ) J\left ( \mathbf{w} \right )=\sum_{i}L\left ( m_i\left (\mathbf{ w} \right ) \right )+\lambda R\left ( \mathbf{w} \right ) J(w)=iL(mi(w))+λR(w)

其中, L ( m i ( w ) ) L\left ( m_i\left (\mathbf{ w} \right ) \right ) L(mi(w))为损失项, R ( w ) R\left ( \mathbf{w} \right ) R(w)为正则项。 m i m_i mi的具体形式如下:

m i = y ( i ) f w ( x ( i ) ) m_i=y^{\left ( i \right )}f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) mi=y(i)fw(x(i))

y ( i ) ∈ { − 1 ,    1 } y^{\left ( i \right )}\in \left \{ -1,\;1 \right \} y(i){
1,1}

f w ( x ( i ) ) = w T x ( i ) f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{(i)} fw(x(i))=wTx(i)

对于损失项,主要的形式有:

  • 0-1损失
  • Log损失
  • Hinge损失
  • 指数损失
  • 感知损失

2. 0-1损失函数

在分类问题中,可以使用函数的正负号来进行模式判断,函数值本身的大小并不是很重要,0-1损失函数比较的是预测值 f w ( x ( i ) ) f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) fw(x(i))与真实值 y ( i ) y^{\left ( i \right )} y(i)的符号是否相同,0-1损失的具体形式如下:

L 01 ( m ) = { 0  if  m ⩾ 0 1  if  m < 0 L_{01}\left ( m \right )=\begin{cases} 0 & \text{ if } m\geqslant 0 \\ 1 & \text{ if } m< 0 \end{cases} L01(m)={
01 if m0 if m<0

以上的函数等价于下述的函数:

1 2 ( 1 − s i g n ( m ) ) \frac{1}{2}\left ( 1-sign\left ( m \right ) \right ) 21(1sign(m))

0-1损失并不依赖 m m m值的大小,只取决于 m m m的正负号。0-1损失是一个非凸的函数,在求解的过程中,存在很多的不足,通常在实际的使用中将0-1损失函数作为一个标准,选择0-1损失函数的代理函数作为损失函数。

3. Log损失函数

3.1. Log损失

Log损失是0-1损失函数的一种代理函数,Log损失的具体形式如下:

l o g ( 1 + e x p ( − m ) ) log\left ( 1+exp\left ( -m \right ) \right ) log(1+exp(m))

运用Log损失的典型分类器是Logistic回归算法。

3.2. Logistic回归算法的损失函数

对于Logistic回归算法,分类器可以表示为:

p ( y ∣ x ; w ) = σ ( w T x ) y ( 1 − σ ( w T x ) ) ( 1 − y ) p\left ( y\mid \mathbf{x}; \mathbf{w} \right )=\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x} \right )^y\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x} \right ) \right )^{\left ( 1-y \right )} p(yx;w)=σ(wTx)y(1σ(wTx))(1y)

其中, y ∈ { 0 , 1 } y\in \left \{ 0,1 \right \} y{
0,1}
。为了求解其中的参数$ \mathbf{w}$,通常使用极大似然估计的方法,具体的过程如下:

1、似然函数

L ( w ) = ∏ i = 1 n σ ( w T x ( i ) ) y ( i ) ( 1 − σ ( w T x ( i ) ) ) ( 1 − y ( i ) ) L\left ( \mathbf{w} \right )=\prod_{i=1}^{n}\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )^{y^{\left ( i \right )}}\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )^{\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )} L(w)=i=1nσ(wTx(i))y(i)(1σ(wTx(i)))(1y(i))

其中,

σ ( x ) = 1 1 + e x p ( − x ) \sigma \left ( x \right )=\frac{1}{1+exp\left ( -x \right )} σ(x)=1+exp(x)1

2、log似然

l o g L ( w ) = ∑ i = 1 n y ( i ) l o g ( σ ( w T x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) l o g ( 1 − σ ( w T x ( i ) ) ) logL\left ( \mathbf{w} \right )=\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}log\left ( \sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )+\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )log\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )\right ) logL(w)=i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1y(i))log(1σ(wTx(i)))

3、需要求解的是使得log似然取得最大值的$ \mathbf{w}$,可以转换为求最小值:

− l o g L ( w ) = − ∑ i = 1 n y ( i ) l o g ( σ ( w T x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) l o g ( 1 − σ ( w T x ( i ) ) ) -logL\left ( \mathbf{w} \right )=-\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}log\left ( \sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right )+\left ( 1-y^{\left ( i \right )} \right )log\left ( 1-\sigma \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )\right ) logL(w)=i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1y(i))log(1σ(wTx(i)))

这便是交叉熵的具体形式。

3.3. 两者的等价

由于Log损失的具体形式为:

l o g ( 1 + e x p ( − m ) ) log\left ( 1+exp\left ( -m \right ) \right ) log(1+exp(m))

其中, m = y ( i ) w T x ( i ) m=y^{\left ( i \right )}\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} m=y(i)wTx(i) y ( i ) ∈ { − 1 , 1 } y^{\left ( i \right )}\in \left \{ -1,1 \right \} y(i){
1,1}
,Log损失函数的具体形式为:

m i n w ∑ i = 1 n l o g { 1 + e x p ( − y ( i ) w T x ( i ) ) } \underset{\mathbf{w}}{min}\sum_{i=1}^{n}log\left \{ 1+exp\left ( -y^{\left ( i \right )}\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right \} wmini=1nlog{
1+exp(y(i)wTx(i))}

Logistic回归与Log损失具有相同的形式,故两者是等价的。Log损失与0-1损失的关系可见下图。

4. Hinge损失函数

4.1. Hinge损失

Hinge损失是0-1损失函数的一种代理函数,Hinge损失的具体形式如下:

m a x ( 0 , 1 − m ) max\left ( 0,1-m \right ) max(0,1m)

运用Hinge损失的典型分类器是SVM算法。

4.2. SVM的损失函数

对于软间隔支持向量机,允许在间隔的计算中出现少许的误差 ξ ⃗ = ( ξ 1 , ⋯   , ξ n ) \vec{\xi }=\left ( \xi _1,\cdots ,\xi _n \right ) ξ
=
(ξ1,,ξn)
,其优化的目标为:

m i n w , γ , ξ [ 1 2 ∥ w ∥ 2 + C ∑ i = 1 n ξ i ] \underset{\mathbf{w},\gamma ,\xi }{min}\left [ \frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2+C\sum_{i=1}^{n}\xi _i \right ] w,γ,ξmin[21w2+Ci=1nξi]

约束条件为:

( w T x ( i ) + γ ) y ( i ) ⩾ 1 − ξ i ,    ξ i ≥ 0 \left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma \right )y^{\left ( i \right )}\geqslant 1-\xi _i,\; \xi _i\geq 0 (wTx(i)+γ)y(i)1ξi,ξi0

4.3. 两者的等价

对于Hinge损失:

m a x ( 0 , 1 − m ) max\left ( 0,1-m \right ) max(0,1m)

优化的目标是要求:

m i n w    [ ∑ i = 1 n m a x ( 0 , 1 − f w ( x ( i ) ) y ( i ) ) ] \underset{\mathbf{w}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,1-f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ] wmin[i=1nmax(0,1fw(x(i))y(i))]

在上述的函数 f w ( x ( i ) ) f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) fw(x(i))中引入截距$\gamma $,即:

f w , γ ( x ( i ) ) = w T x ( i ) + γ f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma fw,γ(x(i))=wTx(i)+γ

并在上述的最优化问题中增加 L 2 L_2 L2正则,即变成:

m i n w , γ    [ C ∑ i = 1 n m a x ( 0 , 1 − f w , γ ( x ( i ) ) y ( i ) ) + 1 2 ∥ w ∥ 2 ] \underset{\mathbf{w},\gamma }{min}\; \left [ C\sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right )+\frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2 \right ] w,γmin[Ci=1nmax(0,1fw,γ(x(i))y(i))+21w2]

至此,令下面的不等式成立:

m a x ( 0 , 1 − f w , γ ( x ) y ) = m i n ξ ξ max\left ( 0,1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x} \right )y \right )=\underset{\xi }{min}\xi max(0,1fw,γ(x)y)=ξminξ

约束条件为:

ξ ⩾ 1 − f w , γ ( x ) y ; ξ ⩾ 0 \xi \geqslant 1-f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x} \right )y;\xi \geqslant 0 ξ1fw,γ(x)y;ξ0

则Hinge最小化问题变成:

m i n w , γ , ξ    [ C ∑ i = 1 n ξ i + 1 2 ∥ w ∥ 2 ] \underset{\mathbf{w},\gamma ,\xi }{min}\; \left [ C\sum_{i=1}^{n}\xi _i+\frac{1}{2}\left \| \mathbf{w} \right \|^2 \right ] w,γ,ξmin[Ci=1nξi+21w2]

约束条件为:

ξ i ⩾ 1 − ( w T x ( i ) + γ ) y ( i ) ; ξ i ⩾ 0 \xi _i\geqslant 1-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\gamma \right )y^{\left ( i \right )};\xi _i\geqslant 0 ξi1(wTx(i)+γ)y(i);ξi0

这与软间隔的SVM是一致的,说明软间隔SVM是在Hinge损失的基础上增加了 L 2 L_2 L2正则。

5. 指数损失

5.1. 指数损失

指数损失是0-1损失函数的一种代理函数,指数损失的具体形式如下:

e x p ( − m ) exp\left ( -m \right ) exp(m)

运用指数损失的典型分类器是AdaBoost算法。

5.2. AdaBoost基本原理

AdaBoost算法是对每一个弱分类器以及每一个样本都分配了权重,对于弱分类器 φ j \varphi _j φj的权重为:

θ j = 1 2 l o g 1 − R ( φ j ) R ( φ j ) \theta _j=\frac{1}{2}log\frac{1-R\left ( \varphi _j \right )}{R\left ( \varphi _j \right )} θj=21logR(φj)1R(φj)

其中, R ( φ j ) R\left ( \varphi _j \right ) R(φj)表示的是误分类率。对于每一个样本的权重为:

w i = e x p ( − f ( x ( i ) y ( i ) ) ) ∑ n [ e x p ( − f ( x ( i ) y ( i ) ) ) ] w_i=\frac{exp\left ( -f\left ( x^{\left ( i \right )}y^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\sum_{n}\left [ exp\left ( -f\left ( x^{\left ( i \right )}y^{\left ( i \right )} \right ) \right ) \right ]} wi=n[exp(f(x(i)y(i)))]exp(f(x(i)y(i)))

最终通过对所有分类器加权得到最终的输出。

5.3. 两者的等价

对于指数损失函数:

e x p ( − m ) exp\left ( -m \right ) exp(m)

可以得到需要优化的损失函数:

m i n θ    [ ∑ i = 1 n e x p ( − f θ ( x ( i ) ) y ( i ) ) ] \underset{\mathbf{\theta }}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}exp\left ( -f_\mathbf{\theta }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ] θmin[i=1nexp(fθ(x(i))y(i))]

假设 f ~ \tilde{f} f~表示已经学习好的函数,则有:

m i n θ , φ    [ ∑ i = 1 n e x p ( − { f ~ θ ( x ( i ) ) + θ φ ( x ( i ) ) } y ( i ) ) ] \underset{\mathbf{\theta },\varphi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}exp\left ( -\left \{ \tilde{f}_\mathbf{\theta }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )+\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) \right \}y^{\left ( i \right )} \right ) \right ] θ,φmin[i=1nexp({
f~θ(x(i))+θφ(x(i))}
y(i))
]

= m i n θ , φ    [ ∑ i = 1 n w i ~ e x p ( − θ φ ( x ( i ) ) y ( i ) ) ] =\underset{\mathbf{\theta },\varphi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}exp\left ( -\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) \right ] =θ,φmin[i=1nwi~exp(θφ(x(i))y(i))]

而:

∑ i = 1 n w i ~ e x p ( − θ φ ( x ( i ) ) y ( i ) ) = { e x p ( θ ) − e x p ( − θ ) } ∑ i = 1 n w i ~ 2 ( 1 − φ ( x ( i ) ) y ( i ) ) + e x p ( − θ ) ∑ i = 1 n w i ~ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i}exp\left ( -\theta \varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )\\ =\left \{ exp\left ( \theta \right ) – exp\left ( -\theta \right ) \right \}\sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w_i}}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right )+exp\left ( -\theta \right )\sum_{i=1}^{n}\tilde{w_i} i=1nwi~exp(θφ(x(i))y(i))={
exp(θ)exp(θ)}
i=1n2wi~(1φ(x(i))y(i))+
exp(θ)i=1nwi~

通过最小化$\varphi $,可以得到:

φ ^ = a r g m i n φ ∑ i = 1 n w ~ i 2 ( 1 − φ ( x ( i ) ) y ( i ) ) \hat{\varphi }=\underset{\varphi }{argmin}\sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w}_i}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) φ^=φargmini=1n2w~i(1φ(x(i))y(i))

将其代入上式,进而对$\theta $求最优解,得:

θ ^ = 1 2 l o g 1 − R ^ R ^ \hat{\theta }=\frac{1}{2}log\frac{1-\hat{R}}{\hat{R}} θ^=21logR^1R^

其中,

R ^ = { ∑ i = 1 n w ~ i 2 ( 1 − φ ( x ( i ) ) y ( i ) ) } / { ∑ i = 1 n w ~ i } \hat{R}=\left \{ \sum_{i=1}^{n}\frac{\tilde{w}_i}{2}\left ( 1-\varphi \left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) y^{\left ( i \right )} \right ) \right \}/\left \{ \sum_{i=1}^{n}\tilde{w}_i \right \} R^={
i=1n2w~i(1φ(x(i))y(i))}
/{
i=1nw~i}

可以发现,其与AdaBoost是等价的。

6. 感知损失

6.1. 感知损失

感知损失是Hinge损失的一个变种,感知损失的具体形式如下:

m a x ( 0 ,    − m ) max\left ( 0,\; -m \right ) max(0,m)

运用感知损失的典型分类器是感知机算法。

6.2. 感知机算法的损失函数

感知机算法只需要对每个样本判断其是否分类正确,只记录分类错误的样本,其损失函数为:

m i n w , b [ − ∑ i = 1 n y ( i ) ( w T x ( i ) + b ) ] \underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\left [ -\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} + \mathbf{b}\right ) \right ] w,bmin[i=1ny(i)(wTx(i)+b)]

5.3. 两者的等价

对于感知损失:

m a x ( 0 ,    − m ) max\left ( 0,\; -m \right ) max(0,m)

优化的目标为:

m i n w    [ ∑ i = 1 n m a x ( 0 , − f w ( x ( i ) ) y ( i ) ) ] \underset{\mathbf{w}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,-f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ] wmin[i=1nmax(0,fw(x(i))y(i))]

在上述的函数 f w ( x ( i ) ) f_\mathbf{w}\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right ) fw(x(i))中引入截距 b \mathbf{b} b,即:

f w , γ ( x ( i ) ) = w T x ( i ) + b f_{\mathbf{w},\gamma }\left ( \mathbf{x}^{\left ( i \right )} \right )=\mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} fw,γ(x(i))=wTx(i)+b

上述的形式转变为:

m i n w , b    [ ∑ i = 1 n m a x ( 0 , − ( w T x ( i ) + b ) y ( i ) ) ] \underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right ) \right ] w,bmin[i=1nmax(0,(wTx(i)+b)y(i))]

对于max函数中的内容,可知:

m a x ( 0 , − ( w T x ( i ) + b ) y ( i ) ) ⩾ 0 max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right )\geqslant 0 max(0,(wTx(i)+b)y(i))0

对于错误的样本,有:

m a x ( 0 , − ( w T x ( i ) + b ) y ( i ) ) = − ( w T x ( i ) + b ) y ( i ) max\left ( 0,-\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} \right )= -\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )}+\mathbf{b} \right )y^{\left ( i \right )} max(0,(wTx(i)+b)y(i))=(wTx(i)+b)y(i)

类似于Hinge损失,令下式成立:

m a x ( 0 , − f w , b ( x ) y ) = m i n ξ ξ max\left ( 0,-f_{\mathbf{w},\mathbf{b} }\left ( \mathbf{x} \right )y \right )=\underset{\xi }{min}\xi max(0,fw,b(x)y)=ξminξ

约束条件为:

ξ ⩾ − f w , b ( x ) y \xi \geqslant -f_{\mathbf{w},\mathbf{b} }\left ( \mathbf{x} \right )y ξfw,b(x)y

则感知损失变成:

m i n ξ    [ ∑ i = 1 n ξ i ] \underset{\xi }{min}\; \left [ \sum_{i=1}^{n}\xi _i\right ] ξmin[i=1nξi]

即为:

m i n w , b [ − ∑ i = 1 n y ( i ) ( w T x ( i ) + b ) ] \underset{\mathbf{w},\mathbf{b}}{min}\left [ -\sum_{i=1}^{n}y^{\left ( i \right )}\left ( \mathbf{w}^T\mathbf{x}^{\left ( i \right )} + \mathbf{b}\right ) \right ] w,bmin[i=1ny(i)(wTx(i)+b)]

Hinge损失对于判定边界附近的点的惩罚力度较高,而感知损失只要样本的类别判定正确即可,而不需要其离判定边界的距离,这样的变化使得其比Hinge损失简单,但是泛化能力没有Hinge损失强。

这里写图片描述

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

xmin, xmax = -4, 4
xx = np.linspace(xmin, xmax, 100)
plt.plot([xmin, 0, 0, xmax], [1, 1, 0, 0], 'k-', label="Zero-one loss")
plt.plot(xx, np.where(xx < 1, 1 - xx, 0), 'g-', label="Hinge loss")
plt.plot(xx, np.log2(1 + np.exp(-xx)), 'r-', label="Log loss")
plt.plot(xx, np.exp(-xx), 'c-', label="Exponential loss")
plt.plot(xx, -np.minimum(xx, 0), 'm-', label="Perceptron loss")

plt.ylim((0, 8))
plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel(r"Decision function $f(x)$")
plt.ylabel("$L(y, f(x))$")
plt.show()

参考文章

[1] Advice for applying Machine Learning

[2] Schroff F , Kalenichenko D , Philbin J . FaceNet: A Unified Embedding for Face Recognition and Clustering[J]. IEEE, 2015.

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/158133.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)
blank

相关推荐

  • 批处理for详解_python批处理

    批处理for详解_python批处理大纲一前言二for语句的基本用法三for/f(delims、tokens、skip、eol、userbackq、变量延迟)四for/r(递归遍历)五for/d(遍历目录)六for/l(计数循环) 一、前言在批处理中,for是最为强大的命令语句,它的出现,使得解析文本内容、遍历文件路径、数值递增/递减等操作成为可能;配合if、call、goto…

    2022年10月12日
  • C++实现邮件群发的方法

    这篇文章主要介绍了C++实现邮件群发的方法,较为详细的分析了邮件发送的原理与C++相关实现技巧,非常具有实用价值,需要的朋友可以参考下本文实例讲述了C++实现邮件群发的方法。分享给大家供大家参考。具

    2021年12月27日
  • 解决Execution failed for task ‘:app:checkDebugDuplicateClasses‘.

    解决Execution failed for task ‘:app:checkDebugDuplicateClasses‘.

  • S3C2440C语言点灯

    S3C2440C语言点灯第一代程序员使用机器码第二代程序员使用汇编第三代程序员使用C语言C语言相较于汇编和机器码是一个更高级的语言,我们使用的技术也应该与时俱进之前控制寄存器是配置GPFCON和GPFDAT寄存器,通过地址访问,所以可以用C语言来进行对地址的访问。GPFCON——0x5600,0050GPFDAT——0x5600,0054目录S3C2440芯片手册导读用指针表示S3C2440芯片手册导读对于GPFCON,只用到了16位对于GPFDAT,只用到了8位我们仍然可以以32位,就是4字节的

  • anycast技术「建议收藏」

    anycast技术「建议收藏」转载别人的,不好意思啊浅析AnyCast网络技术什么是BGPAnyCast?BGPanycast就是利用一个(多个)as号码在不同的地区广播相同的一个ip段。利用bgp的寻路原则,短的aspath会选成最优路径(bgp寻路原则之n),从而优化了访问速度。其实bgpanycast是不同服务器用了相同的ip地址。阿里的DNS就是使用了BGPAn…

  • HTTP协议

    HTTP协议

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号