Preface

今天在PD Lib和DL斗智斗勇时，突然想起了自己非常想学的GAN，机缘巧合下便百度了，得到了以下两篇文章：

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/72279816
• https://blog.csdn.net/jizhidexiaoming/article/details/96485095

于是便对GAN有了初步的了解（以前肯定是心不在焉才没有理解的（划掉）），随后又在五楼生命科学的书架上找到了相关资料，遂学了一波。

GAN概述

2014 年，Ian Goodfellow 和他在蒙特利尔大学的同事发表了一篇震撼学界的论文。没错，我说的就是《Generative Adversarial Nets》，这标志着生成对抗网络（GAN）的诞生，而这是通过对计算图和博弈论的创新性结合。他们的研究展示，给定充分的建模能力，两个博弈模型能够通过简单的反向传播（backpropagation）来协同训练。

这两个模型的角色定位十分鲜明。给定真实数据集 R，G 是生成器（generator），它的任务是生成能以假乱真的假数据；而 D 是判别器 （discriminator），它从真实数据集或者 G 那里获取数据， 然后做出判别真假的标记。Ian Goodfellow 的比喻是，G 就像一个赝品作坊，想要让做出来的东西尽可能接近真品，蒙混过关。而 D 就是文物鉴定专家，要能区分出真品和高仿（但在这个例子中，造假者 G 看不到原始数据，而只有 D 的鉴定结果——前者是在盲干）。

理想情况下，D 和 G 都会随着不断训练，做得越来越好——直到 G 基本上成为了一个“赝品制造大师”，而 D 因无法正确区分两种数据分布输给 G。

实践中，Ian Goodfellow 展示的这项技术在本质上是：G 能够对原始数据集进行一种无监督学习，找到以更低维度的方式（lower-dimensional manner）来表示数据的某种方法。而无监督学习之所以重要，就好像 Yann LeCun 的那句话：“无监督学习是蛋糕的糕体”。这句话中的蛋糕，指的是无数学者、开发者苦苦追寻的“真正的 AI”。
——pytorch实现GAN

GAN – Generative Adversarial Nets, 生成对抗网络，简单来讲其有两个组成部分：

• D (Discriminator) – 判别器，判断输入时捏造的还是真实的
• G (Generator) – 生成器，从随机噪声中生成我们想要的数据

随着训练的进行，我们要提高D的辨析能力，但同时也要G的能力来骗过D，因为我们的最终目的是要让G来生成可以骗过D的信息。总结来说，通过对这两个模型的训练，我们就可以找到随机噪声与有意义数据的映射，达到创作的目的。

GAN的流程和目标函数

GAN的目标函数

GAN的目标函数如下：

$$ V(D, G) = \mathbb E_{x \sim P_{\text{data}} } [\log D(x)] + \mathbb E_{\boldsymbol {z} \sim P_z}[\log(1 – D(G(\boldsymbol {z})))] $$

其中，$D$为Discriminator的模型函数，$G$为Generator的模型函数，随机变量$x$服从原来正确的数据集的分布$P_\text {data}$，随机变量（这里可能是高维随机变量，取决于模型具体实现）$\boldsymbol {z}$服从分布$P_z$（生成噪音），$\mathbb E$代表期望。

GAN的流程

$$ G^* = \arg \min _G \max _D V(D, G) $$

即，可以分为两步理解：

1. 在$G$为常数的情况下，选择合适的$D$使得$V(D,G)$能够最大化。
2. 在这之后，选取合适的$G$来最小化$V(D, G)$，这个$G$就是我们想要的生成模型。

在每一步的训练中：

• 取$m$个真实数据：

  $$ \{x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}, \cdots, x^{(m)}\} $$

  使用$G$和$m$组随机数（服从于噪音分布$P_G$，一般使用服从正态分布的随机数）

  $$ \{\boldsymbol {z}^{(1)}, \boldsymbol {z}^{(2)}, \boldsymbol {z}^{(3)}, \cdots, \boldsymbol {z}^{(m)}\} $$

  生成$m$个假数据，其中

  $$ \forall i \in [1, m], i \in \mathbb Z \Rightarrow x^{(i)} \sim P_{\text{data}}, \boldsymbol {z} ^ {(i)} \sim P_z $$

• 根据$\max$部分的目标使用随机梯度上升（Stochastic Gradient Ascent）更新$D$的参数，提高$D$的分辨能力

  $$ \theta_d := \theta_d + \alpha_d \nabla_{\theta_d} \frac 1 m \sum _ {i = 1} ^ m \Big [ \log D\big ( x^{(i)} \big) + \log \big ( 1 – D \big ( G(\boldsymbol{z}^{(i)}) \big ) \big ) \Big] $$

• 根据$\min$部分的目标使用随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）更新$G$的参数，使$G$生成的数据更有迷惑性

  $$ \theta_g := \theta_g – \alpha_g\nabla_{\theta_g} \frac 1 m \sum _{i = 1} ^ m\log \Big ( 1 – D\big ( G(\boldsymbol{z} ^ {(i)})\big ) \Big ) $$

GAN的数学原理

Prerequisites

信息量(自信息)

信息量是指信息多少的量度，即，对于一条信息，传达这条信息所需的最少信息长度为自信息。

信息论创始人C.E.Shannon，1938年首次使用比特（bit）概念：1（bit）= $\log_2 2$。它相当于对二个可能结局所作的一次选择量。信息论采用对随机分布概率取对数的办法，解决了不定度的度量问题。

定义：符合分布$P$的某一事件$x$出现，传达出这条信息的信息量记为：

$$ I = \log \frac 1 {P(x)} = – \log P(x) $$

香农熵

从离散分布$P$中随机抽选一个事件，传达这条信息所需的最优平均信息长度为香农熵，表达为：

$$ H(P) = \sum_x P(x) \log \frac 1 {P(x)} = – \sum_x P(x) \log P(x) $$

若分布是连续的，则：

$$ H(P) = \int_x P(x) \log \frac 1 {P(x)} \mathrm dx = -\int_x P(x) \log P(x) \mathrm dx $$

交叉熵

用分布$P$的最佳信息传递方式来传达分布$Q$中随机抽选的一个事件，所需的平均信息长度为交叉熵，表达为

$$ H_P(Q) = \sum_x Q(x) \log \frac 1 {P(x)} = – \sum_x Q(x) \log P(x) $$

$$ H_P(Q) = \int_x Q(x) \log \frac 1 {P(x)} \mathrm dx = – \int_x Q(x) \log P(x) \mathrm dx $$

$KL$ Divergence

$KL$散度：用分布$P$的最佳信息传递方式来传达分布$Q$，比用分布$Q$自己的最佳信息传递方式来传达分布$Q$，平均多耗费的信息长度为$KL$散度，表达为$D_P(Q)$或$D_{KL}(Q||P)$，$KL$散度衡量了两个分布之间的差异。

$$ \begin{aligned} D_{KL}(Q||P) = D_P(Q) &= H_P(Q) – H(Q) \\ &= \sum_x Q(x) \log \frac 1 {P(x)} – \sum _x Q(x) \log \frac 1 {Q(x)} \\ &= \sum_x Q(x) \log \frac {Q(x)} {P(x)} \end{aligned} $$

对于连续分布：

$$ D_{KL}(Q||P) = D_P(Q) = \int_{-\infty} ^ {\infty} P(x)\log \frac {P(x)}{Q(x)} \mathrm dx $$

KL Divergence越大，两个分布差异越大，反之差异越小。

数学原理

看完Prerequisites，我们回归正题讨论GAN的原理。我们现在想要做的事情，其实就是将一个服从$P_G$的随机噪声$\boldsymbol z$通过一个生成网络$G$得到一个和真实数据分布$P_{\text {data}}(x)$差不多的生成分布$P_G(x;\theta_g)$，其中$\theta_g$为生成网络$G$的参数。我们希望找到一个$\theta_g$使得两个分布$P_{\text {data}}(x)$与$P_G(x;\theta)$尽可能地相似（使得他们地KL散度尽可能得小）。

我们从真实数据分布$P_\text{data}(x)$中取$m$个样本，记作：

$$ \{x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}, \cdots, x^{(m)}\} $$

根据生成网络的参数$\theta_g$，我们可以计算出这$m$个真实样本在生成网络中出现的概率$P_G(x^{(i)}; \theta_g)$，那么生成这样的$m$个样本数据的似然（likelihood）为：

$$ L = \prod_{i = 1} ^ m P_G(x^{(i)}; \theta_g) $$

由于我们想要两个分布尽量相似，那么我们肯定希望这个似然$L$尽量大，即生成这样的真实数据的概率尽量大，遂我们最大化这个似然，找到$\theta_g^*$：

$$ \begin{aligned} \theta_g^* &= \arg \max _ {\theta_g} \prod _ {i = 1} ^ m P_G(x^{(i)}; \theta_g) \\ &\Leftrightarrow \arg \max _ {\theta_g} \log \prod _ {i = 1} ^ m P_G(x^{(i)}; \theta_g) \\ &= \arg \max _ {\theta_g} \sum_{i = 1} ^ m \log P_G(x^{(i)}; \theta_g) \\ &\approx \arg \max _ {\theta_g} \mathbb E_{x \sim P_{\text {data}}} [\log P_G(x; \theta_g)] \\ &= \arg \max _ {\theta_g} \int _ x P_\text{data}(x) \log P_G(x; \theta_g)\mathrm dx \\ &= \arg \max _ {\theta_g} \int _ x P_\text{data}(x) \log P_G(x; \theta_g)\mathrm dx \\&~~~~- \int _ x P_\text{data}(x) \log P_\text {data}(x)\mathrm dx \\ &= \arg \max _ {\theta_g} \int _ x P_\text {data} (x) \log \frac {P_G(x; \theta_g)} {P_\text {data}(x)} \mathrm dx \\ &= \arg \max _ {\theta_g} – \int _ x P_\text {data} (x) \log \frac {P_\text {data}(x)} {P_G(x; \theta_g)} \mathrm dx \\ &= \arg \min _ {\theta_g} KL(P_\text {data} || P_G(x; \theta)) \end{aligned} $$

所以可见，其实最大化这个似然，和最小化KL散度是基本相同的。

上述式子中，$P_G(x;\theta_g)$代表在生成分布中出现$x$的概率，也可以如下计算得到：

$$ P_G(x) = \int _ \boldsymbol{z} P_z(z)\cdot 1\{G(z) = x\} \mathrm dz $$

注：$1{\cdot}$的含义是若打括号内的逻辑运算为真则取$1$，假则取$0$. 即

$$1\{\text {True}\} = 1, 1 \{\text {False}\} = 0 $$

但是我们发现，上述的过程是难以进行计算的，甚至完全没办法求$P_G(x)$，这只是模型的想法而已。

现在我们看回之前我们提到的目标函数：

$$ V(D, G) = \mathbb E_{x \sim P_{\text{data}} } [\log D(x)] + \mathbb E_{\boldsymbol {z} \sim P_z}[\log(1 – D(G(\boldsymbol {z})))] $$

与最优化生成模型：

$$ G^* = \arg \min _G \max _D V(D, G) $$

我们接下来分步解释。

首先，我们不妨解释一下$\max_D V(G, D)$，这部分的含义之前也解释过，是在给定$G$的情况下，最大化$V(G, D)$。观察发现，其形式其实与交叉熵损失函数非常相似：

$$ \mathcal L(\hat y, y) = -(y\log \hat y + (1 – y) \log (1 – \hat y)) $$

其实他们表达的目的也差不多。我们先化简一下$V(G, D)$看看能得到什么结果：

$$ \begin{aligned} V(G, D) &= \mathbb E_{x \sim P_{\text{data}} } [\log D(x)] + \mathbb E_{\boldsymbol {z} \sim P_z}[\log(1 – D(G(\boldsymbol {z})))] \\ &= \int_x P_\text {data}(x) \log D(x) \mathrm dx + \int_\boldsymbol{z} P_z(\boldsymbol{z}) \log (1 – D(G(\boldsymbol{z})))\mathrm dz \\ &= \int_x P_\text {data}(x) \log D(x) \mathrm dx + \int_x P_G(x)\log (1 – D(x)) \mathrm dx \\ &= \int_x [P_\text {data}(x) \log D(x) + P_G(x)\log (1 – D(x))] \mathrm dx \end{aligned} $$

让我们考察积分内部的项，我们可以对它做指数运算，即：

$$ e^{P_\text {data}(x) \log D(x) + P_G(x)\log (1 – D(x))} = D(x) ^ {P_\text {data}}\times(1- D(x))^{P_G(x)} $$

其想表达什么便不言而喻了，它表达的就是判别器判别是真的的正确率和判别是假的的正确率，总体来说就是衡量$D$的能力，所以我们想要最大化$V$，提高$D$的判别能力。

令

$$ f(D) = P_\text {data}(x) \log D(x) \mathrm dx + P_G(x)\log (1 – D(x)) $$

因为这里$P_\text {data} (x)$和$P_G(x)$都可以看作常数，所以

$$ \arg \max _ D \int_x f(D) \mathrm dx = \arg \max _D f(D) $$

最大化$f(D)$，即令其导数为$0$：

$$ \frac {\mathrm d f(D)} {\mathrm dD } = \frac {P_\text {data}(x)}{D} – \frac {P_G(x)} {1 – D} = 0 $$

则：

$$ \frac {P_\text {data}(x)}{D} = \frac {P_G(x)} {1 – D} $$

$$ D^*(x) = \frac {P_\text {data}(x)}{P_\text {data}(x) + P_G(x)} $$

这样，我们就得到了那个状态下最优的$D^*$的表达式。我们将这个能够最大化$V$的$D$代入回$V(G, D)$：

$$ \begin{aligned} \max V(G, D) &= V(G, D^*) \\ &= \mathbb E_{x \sim P_\text {data}} \Big [ \log \frac {P_\text {data}(x)}{P_\text {data}(x) + P_G(x)} \Big] + \mathbb E_{x \sim P_G} \Big [ \frac {P_G(x)}{P_\text {data}(x) + P_G(x)}\Big ] \\ &= \int_x P_\text {data} (x) \log \frac {\frac 1 2 P_\text {data}}{\frac 1 2 (P_\text{data}(x) + P_G(x))} \mathrm dx + \int _ x P_G(x) \log \frac {\frac 1 2 P_G(x)} {\frac 1 2 (P_\text {data} (x) + P_G(x))} \mathrm dx \\ &= -2\log 2 + D_{KL} (P_\text {data} || \frac 1 2 [P_\text{data}(x) + P_G(x)]) + D_{KL} (P_G(x) || \frac 1 2 [P_\text {data}(x) + P_G(x)]) \\ &= -2\log 2 + JSD (P_\text{data}(x) || P_G(x)) \end{aligned} $$

其中，我们引入了$JS$ Divergence，定义如下：

$$ JSD(P||Q) = \frac 1 2 D_{KL} (P||M) + \frac 1 2 D_{KL} (Q || M), M = \frac 1 2 (P + Q) $$

容易得到，KL Divergence是不对称的，而JS Divergence是对称的。他们都可以衡量两组分布建的差异。这里我们想要两组分布差异最小，故取$\min$

所以，这也就解释了为什么：

$$ \arg \min _G \max _D V(G, D) $$

是我们的目标过程。