【1.2】 评价类模型之层次分析法中判断矩阵的填写方法、一致性检验的步骤、以及根据判断矩阵计算权重的方法[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

目录：

• 准则层判断矩阵怎么填写
• 方案层判断矩阵怎么填写
• 关于判断矩阵和一致矩阵的知识点补充
• 一致性检验的步骤
• 怎样通过判断矩阵去计算权重（三种方法），及相应的代码示例

准则层判断矩阵的填写：

填写准则层判断矩阵的目的是确定各准则（指标）所占的比重，填写好层次分析表的指标权重列，例如在选择最佳旅游地问题的指标景色、花费、居住、饮食、交通各自占比是多少，后续可以通过这些指标占比计算出每一个可选方案的总分。



填表的方法是依据标度表，两两比较指标的重要程度，只需要比较10次就可以完成准则层判断矩阵的填写

方案层判断矩阵的填写

填写方案层判断矩阵的目的是给出，对于某一特定指标，它在各个可选方案的具体得分是多少，也就是给出层次分析表的每一横行的数据。方法是依据标度表，填写好判断矩阵。有几个评价指标，就需要填多少此方案层判断矩阵。

知识点补充：

判断矩阵（正互反矩阵）

• 首先判断矩阵一定是一个方阵
• 判断矩阵每一个数据 Aij表示与指标 j相比 i的重要程度
• 当 i=j 时，两个指标相同，因此同等重要，记为1，因此判断矩阵的对角线元素为1
• 每一个元素均大于零，且 Aij * Aji=1

在层次分析法中，我们构造的矩阵的均为判断矩阵

一致矩阵

• 矩阵首先满足判断矩阵的所有特点
• 若判断矩阵满足 Aij * Ajk = Aik,直观的看就是矩阵的各行（各列）成倍数关系

注意点：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

一致性检验的步骤：

第一步：计算一致性指标CI
$$CI=\frac{{\lambda }_{\max }-n}{n-1}$$
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

第三步：计算一致性比例CR
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
判断：如果CR<0.1,则可认为判断举证的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修改

一致性检验的MATLAB代码如下：

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);
[V,D] = eig(A);%求出矩阵A的特征值和特征向量
Max_eig = max(max(D));%找到矩阵A的最大特征值
% 下面是计算一致性比例CR的环节 % 
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
%注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

通过判断矩阵求权重

方法一、算数平均法求权重

第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以器所在列的和）

第二步：将归一化的各列相加（按行求和）

第三步：将相加后得到的向量中的每个元素除以n即可得到权重向量

具体数学表达：

假设判断矩阵为下面这个矩阵A：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
那么算数平均法求得的权重向量为：
$$w_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\frac{a_{ij}}{{\sum }_{k=1}^n{a}_{kj}}$$
MATLAB代码如下：

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);

Sum_A = sum(A);   %sum函数默认是对矩阵的每一列进行累加，即按行求和
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);    %将Sum_A这个行向量，重复n行，重复一列
Stand_A = A ./ SUM_A;         %将矩阵A归一化，即每一个元素除以其所在列的和

disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)      %把归一化的矩阵的每一行累加，然后除以n,得到权重

方法二、几何平均法求权重

第一步：将A元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步：将新的列向量的每个分量开n次方

第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

假设判断矩阵为下面这个矩阵A：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
那么几何平均法求得的权重向量为：
$$w_i=\frac{{\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{ij}\right)}^{\frac{1}{n}}}{{\sum }_{k=1}^n{\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{kj}\right)}^{\frac{1}{n}}},\left(i=1,2,\dots \text{，}n\right)$$
注意：每一种方法求得的权重和应该为1，由于四舍五入导致的误差可以忽略，一般结果保留四位小数

MATLAB代码如下：

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);  %获得矩阵A的行和列的大小

Prduct_A = prod(A,2);       %把矩阵A的每一行累乘，即按照列累乘
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);   %将新的列向量的每个分量开n次方
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))  %对该列向量进行归一化即可得到权重向量

方法三、特征值法求权重（常用）

知识点提醒：一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0，并且当矩阵的特征值为n时，其对应的特征向量为
$$k{\left[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},\dots ,\frac{1}{a_{1n}}\right]}^T,\left(k\ne 0\right)$$
第一步：求出矩阵A的最大特征值和以及其对应的特征向量

第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到所求的权重

MATLAB代码如下：

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');

%求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，求A的特征向量构成V的列向量（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D] = eig(A); 
Max_eig = max(max(D));   %求出矩阵A的最大的特征值
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);  %返回最大特征值所在的行和列，其中C记录所在列
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )  %对最大特征值对应的特征向量进行归一化处理

友情提示：在比赛当中，建议三种方法全部列出来，但仅适用特征值法求得的权重结果进行计算

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