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交叉熵损失函数原理详解

之前在代码中经常看见交叉熵损失函数(CrossEntropy Loss)，只知道它是分类问题中经常使用的一种损失函数，对于其内部的原理总是模模糊糊，而且一般使用交叉熵作为损失函数时，在模型的输出层总会接一个softmax函数，至于为什么要怎么做也是不懂，所以专门花了一些时间打算从原理入手，搞懂它，故在此写一篇博客进行总结，以便以后翻阅。

交叉熵简介

交叉熵是信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性，要理解交叉熵，需要先了解下面几个概念。

信息量

信息奠基人香农（Shannon）认为“信息是用来消除随机不确定性的东西”，也就是说衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。

“太阳从东边升起”，这条信息并没有减少不确定性，因为太阳肯定是从东边升起的，这是一句废话，信息量为0。

”2018年中国队成功进入世界杯“，从直觉上来看，这句话具有很大的信息量。因为中国队进入世界杯的不确定性因素很大，而这句话消除了进入世界杯的不确定性，所以按照定义，这句话的信息量很大。

根据上述可总结如下：信息量的大小与信息发生的概率成反比。概率越大，信息量越小。概率越小，信息量越大。

设某一事件发生的概率为P(x)，其信息量表示为：
$I\left ( x \right ) = -\log\left ( P\left ( x \right ) \right )$
其中 $I\left ( x \right )$ 表示信息量，这里 $\log$ 表示以e为底的自然对数。

信息熵

信息熵也被称为熵，用来表示所有信息量的期望。

期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

所以信息量的熵可表示为：（这里的 $X$ 是一个离散型随机变量）
$H\left ( \mathbf{X} \right ) = -\sum \limits_{i=1}^n P(x_{i}) \log \left ( P \left ( x_{i} \right ))) \qquad ( \mathbf{X}= x_{1},x_{2},x_{3}…,x_{n} \right)$
使用明天的天气概率来计算其信息熵：

序号	事件	概率P	信息量
1	明天是晴天	0.5	$-\log \left ( 0.5 \right )$
2	明天出雨天	0.2	$-\log \left ( 0.2 \right )$
3	多云	0.3	$-\log \left ( 0.3 \right )$

$H\left ( \mathbf{X} \right ) = -\left ( 0.5 * \log \left ( 0.5 \right ) + 0.2 * \log \left ( 0.2 \right ) + 0.3 * \log \left ( 0.3 \right ) \right)$

对于0-1分布的问题，由于其结果只用两种情况，是或不是，设某一件事情发生的概率为 $P\left ( x \right )$ ，则另一件事情发生的概率为 $1-P\left ( x \right )$ ，所以对于0-1分布的问题，计算熵的公式可以简化如下：
$H\left ( \mathbf{X} \right ) = -\sum \limits_{n=1}^n P(x_{i}\log \left ( P \left ( x_{i} \right )) \right) \\ = -\left [ P\left ( x \right) \log \left ( P\left ( x \right ) \right ) + \left ( 1 – P\left ( x \right ) \right) \log \left ( 1-P\left ( x \right ) \right ) \right] \\ = -P\left ( x \right) \log \left ( P\left ( x \right ) \right ) – \left ( 1 – P\left ( x \right ) \right) \log \left ( 1-P\left ( x \right ) \right)$

相对熵（KL散度）

如果对于同一个随机变量 $X$ 有两个单独的概率分布 $P\left(x\right)$ 和 $Q\left(x\right)$ ，则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。

下面直接列出公式，再举例子加以说明。
$D_{KL}\left ( p || q \right) = \sum \limits_{i=1}^n p\left ( x_{i}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{i} \right )}{q\left ( x_{i} \right )} \right )$
在机器学习中，常常使用 $P\left(x\right)$ 来表示样本的真实分布， $\left(x\right)$ 来表示模型所预测的分布，比如在一个三分类任务中（例如，猫狗马分类器）， $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 分别代表猫，狗，马，例如一张猫的图片真实分布 $P\left(X\right) = [1, 0, 0]$ , 预测分布 $Q\left(X\right) = [0.7, 0.2, 0.1]$ ，计算KL散度：
$D_{KL}\left ( p || q \right) = \sum \limits_{i=1}^n p\left ( x_{i}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{i} \right )}{q\left ( x_{i} \right )} \right ) \\ = p\left ( x_{1}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{1} \right )}{q\left ( x_{1} \right )} \right ) + p\left ( x_{2}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{2} \right )}{q\left ( x_{2} \right )} \right ) + p\left ( x_{3}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{3} \right )}{q\left ( x_{3} \right )} \right ) \\ = 1 * \log \left ( \frac{1}{0.7} \right ) = 0.36$
KL散度越小，表示 $P\left(x\right)$ 与 $Q\left(x\right)$ 的分布更加接近，可以通过反复训练 $Q\left(x \right)$ 来使 $Q\left(x \right)$ 的分布逼近 $P\left(x \right)$ 。

交叉熵

首先将KL散度公式拆开：
$D_{KL}\left ( p || q \right) = \sum \limits_{i=1}^n p\left ( x_{i}\right ) \log \left ( \frac{p\left ( x_{i} \right )}{q\left ( x_{i} \right )} \right ) \\ = \sum \limits_{i=1}^n p \left (x_{i}\right) log \left(p \left (x_{i}\right)\right) – \sum \limits_{i=1}^n p \left (x_{i}\right) log \left(q \left (x_{i}\right)\right) \\ = -H \left (p \left(x \right) \right) + \left [-\sum \limits_{i=1}^n p \left (x_{i}\right) log \left(q \left (x_{i}\right)\right) \right]$
前者 $\left (p \left (x \right)\right)$ 表示信息熵，后者即为交叉熵，KL散度 = 交叉熵 – 信息熵

交叉熵公式表示为：
$\left (p, q\right) = -\sum \limits_{i=1}^n p \left (x_{i}\right) log \left(q \left (x_{i}\right)\right)$
在机器学习训练网络时，输入数据与标签常常已经确定，那么真实概率分布 $P\left(x \right)$ 也就确定下来了，所以信息熵在这里就是一个常量。由于KL散度的值表示真实概率分布 $P\left(x\right)$ 与预测概率分布 $\left(x\right)$ 之间的差异，值越小表示预测的结果越好，所以需要最小化KL散度，而交叉熵等于KL散度加上一个常量（信息熵），且公式相比KL散度更加容易计算，所以在机器学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss就行了。

交叉熵在单分类问题中的应用

在线性回归问题中，常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数，而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数。

下面通过一个例子来说明如何计算交叉熵损失值。

假设我们输入一张狗的图片，标签与预测值如下：

*	猫	狗	马
Label	0	1	0
Pred	0.2	0.7	0.1

那么loss
$-\left ( 0 * \log \left ( 0.2 \right ) + 1 * \log \left ( 0.7 \right ) + 0 * \log \left ( 0.1 \right )\right) = 0.36$
一个batch的loss为
$-\frac{1}{m}\sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1}^n p \left (x_{ij}\right) log \left(q \left (x_{ij}\right)\right)$
其中m表示样本个数。