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上次我们简单的介绍了一下学渣莫兰同学的逆袭之旅,梦想成为一个数学家的他最后阴差阳错的成为了一个统计学家,所以虾神不禁陷入沉思:
好了,不说数学了,我们今天继续来说莫兰指数。
我们先来看看莫兰指数的原理。
先看看下面这样一个属性数据的相关分析图,假设这是四个城市的房价数据——
当北京连续三个月上升的时候,石家庄也连续三个月上升,这样我们就可以认为(在本次分析中)北京和石家庄的房价是正相关的,所以我们记为1。
同样,北京上升的同时,太原连续三个月下降,就认为是负相关,记为-1。
北京上升,但是天津有升有降,那么这样就可以他们之间是不相关,记为0
类推,西安,正相关,记为1。
属性相关性的分析非常容易,那么到了空间自相关应该怎么办呢?虽然莫兰提出莫兰指数的时候,所谓的地理学第一定律还没有被发布(1950年,托布勒还在读大学,莫兰同学已经是牛津大学的讲师了),但是莫兰在随机概率的研究中发觉,空间分布对动物种群研究的重要性,所以开创性的在相关性研究中,加入了空间相邻的参数,如果加入空间关系,就会得到这样一个空间权重关系:
之后,四个城市之间的空间权重矩阵就应该是:
那么,最简单的对二者之间,做一个乘法,就得到这样一个值(与北京的空间自相关):
可以看见,空间关系就两种:相关 or 不相关,属性有三种:正、负、无,所以乘积就得到三种情况:
这就是莫兰指数的原理:属性与空间关系的乘积,得到最终的空间上的相关性。空间关系在自相关分析里面,起到的作用就是判定是否有关系,空间上不相关,那么属性再相关也没有用。
在这个例子里面,北京被认为与太原有临近关系,而他们的属性又正好是负相关,所以空间加权之后,就认为是空间负相关,再按照空间分布模式的规则,两个蹲在一起的,属性不相似,那就是所谓的离散关系。
而北京与石家庄在空间上也有临近关系,而且属性相似,为正相关,所以加权之后被计算为空间自相关,在自己身边有相似的伙伴,就是所谓的聚集模式。
下面我们来看看那莫兰当年给莫兰指数定义的计算公式:
好吧好吧,数学公式就不写了,有兴趣的同学见(以后可能会有的)黑话空间统计学算法篇里面的内容。我只是简单说说莫兰指数如何进行计算的基础过程:
第一件事就是计算出所有要素之间的空间关系,形成空间关系矩阵,不过用矩阵来进行存储的话,有足足50%+的浪费,所以所有的计算莫兰指数的软件,都用的稀疏矩阵来进行记录的,比如上面那个矩阵,记录的方式就是:
北京:天津、石家庄、太原
天津:北京、石家庄、太原
石家庄:北京、天津,太原
太原:北京、天津、石家庄
西安:(空)
然后以此对有关系的城市之间进行计算,因为莫兰指数计算的是截面数据,所以不可能会出现多个时间片段的数据,单个数值之间,怎么进行相关性对比呢?答案就是用属性值与平均数之间的差(离差)来进行判定。
总所周知,离差是衡量数据分布离散程度的一种非常有效的指标,所以莫兰在这里用每个要素与相邻要素的离差乘积,然后乘以空间关系系数,作为分子,然后用所有数据的离差平方和作为分母,计算出所有数据之间的离散程度来,接下去用总的要素数量除以所有空间关系权重的和,来作为总体系数权重,把二者相乘,就得到了结果,用公式表达就是:
好吧,我食言了……
从这个公式可以看出,每个要素会和与自身有空间临近关系的要素进行计算——没有临近关系,比如上面示例里面的西安,空间相关系数为0,结果自然都是0了。
从这个数学公式上面看来,莫兰同学当年的设计非常的精巧,虾神这种数学学渣到现在读到这个公式都觉得颇为惊艳,我们来感受一下这个公式的美:
假设所有的数值的平均数是10的话:
北京的数值是50
天津的数值是5
北京的离差就是40,而天津的离差就是-5,二者的乘积就是-200
那么如果:
北京的数值是50,
石家庄的数值是40,
北京的离差还是40,石家庄的离差就是30,二者离差的乘积就是1200。
换一个更小的数值的话:
比如太原的数值是5
石家庄的数值是3
二者的离差就是-5和-7,得到的乘积就是35,还是正值。
那么从这个算法我们可以看见,两个值同时大于或者小于均值,就能得到正值,而被均值正好切开的两个值,就会得到负值——与参与计算的数值与均值偏离越大,得到的结果的绝对值就越大,所以空间上有关系的,而且有彼此接近的数值,表达成了聚集分布,而反之亦然。
高值周边聚集高值或者低值周边聚集低值,都计算为正——表示为聚集,而高低值相互交错,那么就会计算为负,表示为离散。如果有正有负,相互抵消为0,那么就表达为随机。
而公式中的分子部分,是通过方差进行归一化,因此最终该指数的值将落在 -1.0 到 +1.0 的区间内。
这就是可怕的数学家啊……天地为炉,造化为工,阴阳为炭,万物为铜
读懂了这个公式之后,给一张纸一支笔,就能够手算了,不过十个八个要素,咬咬牙能算出,但是给你180个要素来计算,估计你就要抓瞎了,所以最简单的方式,就是用现成的工具来实现,比如ArcGIS,所以下一章,我们看看在ArcGIS里面,如何利用现成的工具来进行莫兰指数的计算。
(待续未完)
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