单调队列初步「建议收藏」

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一直弄不明白单调队列是什么，在网上也找不到易懂的介绍。最后结合别人博客上的介绍和程序看才理解是怎么回事。

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,…,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),…, a(i)},i = 0,1,…,N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时，将队首元素删除。

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

。。。。依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

程序代码如下：

#include<iostream><br />#include<queue></p> <p>using namespace std;</p> <p>struct Node<br />{<br /> int val;<br /> int index;<br />};</p> <p>void GetMax(int *numSequence,int len, int *result,int k)<br />{<br /> Node *que = new Node[len];<br /> int head = 0;<br /> int end = 0;</p> <p> for(int i=0;i<len;i++)<br /> {<br /> Node tmp;<br /> tmp.val = numSequence[i];<br /> tmp.index = i;</p> <p> while(end!=0 && que[end].val<=numSequence[i])<br /> –end;<br /> ++end;<br /> que[end] = tmp;</p> <p> while(end!=0 && que[head].index<i-k+1)<br /> ++head;<br /> result[i] = que[head].val;<br /> }<br /> delete []que;<br />}</p> <p>int main()<br />{<br /> int len, k;<br /> cin>>len>>k;</p> <p> int *numSequence = new int[len];<br /> int *maxResult = new int[len];</p> <p> for(int i=0;i<len;i++)<br /> cin>>numSequence[i];</p> <p> GetMax(numSequence,len,maxResult,k);</p> <p> for(int i=k-1;i<len;i++)<br /> cout<<i<<“: “<<maxResult[i]<<endl;</p> <p> delete[]numSequence;<br /> delete[]maxResult;<br /> numSequence = NULL;<br /> maxResult = NULL;</p> <p> return 0;<br />}