(3) 权重偏导数的计算

模型目标函数 $E$ 对输出权重 $V$ 的偏导数：
$\frac{\partial E}{\partial V}=g^{'}(Vs_t)*s_t$

模型目标函数 $E$ 对循环权重 $W$ 的偏导数:
$\frac{\partial E}{\partial W}=\Sigma _t\frac{\partial E_t}{\partial W}$ ，$E$ 对循环权重 $W$ 的偏导数等于各时刻的偏导数之和。

其中 $t$ 时刻 :
$\frac{\partial E_t}{\partial W}=\delta_t ^Ts_{t-1}$

模型目标函数 $E$ 对输入权重 $U$ 的偏导数:
$\frac{\partial E}{\partial U}=\Sigma _t\frac{\partial E_t}{\partial U}$ ，$E$ 对输入权重 $U$ 的偏导数等于各时刻的偏导数之和。

其中 $t$ 时刻 :
$\frac{\partial E_t}{\partial U}=\delta_t ^Tx_t$

2. RNN预测文本实战

本文采用dataset available on Google’s BigQuery的前10000条评论数据作为RNN的训练数据，然后基于训练后的RNN，生成新的评论文本。

(1) 数据预处理

文本标记

首先，将每个训练数据进行词语标记。比如 ‘who cares what you think ?’ 标记为[‘who’, ‘cares’, ‘you’, ‘think’, ‘?’]
这里会用到自然语言处理包nltk中的相关函数。

去除不常用词，标记词典中不存在的词

有些词语在所有句子中可能仅出现过几次，而词典的长度不能过大，否则会加长训练时间。因此，一种简单的做法是将不常用词从词典中去除。

对于词典中不存在的词，可统一标记为 ‘UNKNOWN_TOKEN’，并将 ‘UNKNOWN_TOKEN’ 加入词典。

标记每个样本句的开头和结尾

为便于训练，分别用’START_TOKEN’ 和 ‘END_TOKEN’ 标记每句话的开头和结尾，并将’START_TOKEN’ 和 ‘END_TOKEN’ 加入词典。

将文本转化为词向量

训练前，需将文本转化为数值向量，可将词典中的每个词进行编号。
比如，一个样本为 [‘START_TOKEN’, ‘who’, ‘cares’, ‘what’, ‘you’, ‘think’, ‘?’, ‘END_TOKEN’]，其对于的数值向量为 $[0, 98, 1938, 53, 10, 72, 19, 1]$，则输入 $x=[0, 98, 1938, 53, 10, 72, 19]$ ，输出 $y=[98, 1938, 53, 10, 72, 19, 1]$ ，各包含7个时刻，即 $T=7$。

(2) RNN实现

文本预处理，获取训练样本

首先实现 tokenFile2vector 类，tokenFile.py

import numpy as np
import nltk, itertools, csv

TXTCODING = 'utf-8'
unknown_token = 'UNKNOWN_TOKEN'
start_token = 'START_TOKEN'
end_token = 'END_TOKEN'

# 解析评论文件为数值向量
class tokenFile2vector:
    def __init__(self, file_path, dict_size):
        self.file_path = file_path
        self.dict_size = dict_size

    # 将文本拆成句子，并加上句子开始和结束标志
    def _get_sentences(self):
        sents = []
        with open(self.file_path, 'rb') as f:
            reader = csv.reader(f, skipinitialspace=True)
            # 去掉表头 
            reader.next()
            # 解析每个评论为句子
            sents = itertools.chain(*[nltk.sent_tokenize(x[0].decode(TXTCODING).lower()) for x in reader])
            sents = ['%s %s %s' % (start_token, sent, end_token) for sent in sents]
            print 'Get {} sentences.'.format(len(sents))

            return sents

    # 得到每句话的单词，并得到字典及字典中每个词的下标
    def _get_dict_wordsIndex(self, sents):
        sent_words = [nltk.word_tokenize(sent) for sent in sents]
        word_freq = nltk.FreqDist(itertools.chain(*sent_words))
        print 'Get {} words.'.format(len(word_freq))

        common_words = word_freq.most_common(self.dict_size-1)
        # 生成词典
        dict_words = [word[0] for word in common_words]
        dict_words.append(unknown_token)
        # 得到每个词的下标，用于生成词向量
        index_of_words = dict((word, ix) for ix, word in enumerate(dict_words))

        return sent_words, dict_words, index_of_words

    # 得到训练数据
    def get_vector(self):
        sents = self._get_sentences()
        sent_words, dict_words, index_of_words = self._get_dict_wordsIndex(sents)

        # 将每个句子中没包含进词典dict_words中的词替换为unknown_token
        for i, words in enumerate(sent_words):
            sent_words[i] = [w if w in dict_words else unknown_token for w in words]

        X_train = np.array([[index_of_words[w] for w in sent[:-1]] for sent in sent_words])
        y_train = np.array([[index_of_words[w] for w in sent[1:]] for sent in sent_words])

        return X_train, y_train, dict_words, index_of_words

基于以上实现的 tokenFile2vector 类，获得训练样本 X_train, y_train：

file_path = r'/results-20170508-103637.csv'
dict_size = 8000
myTokenFile = tokenFile2vector(file_path, dict_size)
X_train, y_train, dict_words, index_of_words = myTokenFile.get_vector()

实现RNN

首先生成 myRNN类，myrnn.py

import tokenFile
import numpy as np

# 输出单元激活函数
def softmax(x):
    x = np.array(x)
    max_x = np.max(x)
    return np.exp(x-max_x) / np.sum(np.exp(x-max_x))

class myRNN:
    def __init__(self, data_dim, hidden_dim=100, bptt_back=4):
        # data_dim: 词向量维度，即词典长度; hidden_dim: 隐单元维度; bptt_back: 反向传播回传时间长度
        self.data_dim = data_dim
        self.hidden_dim = hidden_dim
        self.bptt_back = bptt_back

        # 初始化权重向量 U， W， V; U为输入权重; W为递归权重; V为输出权重
        self.U = np.random.uniform(-np.sqrt(1.0/self.data_dim), np.sqrt(1.0/self.data_dim), 
                                   (self.hidden_dim, self.data_dim))
        self.W = np.random.uniform(-np.sqrt(1.0/self.hidden_dim), np.sqrt(1.0/self.hidden_dim), 
                                   (self.hidden_dim, self.hidden_dim))
        self.V = np.random.uniform(-np.sqrt(1.0/self.hidden_dim), np.sqrt(1.0/self.hidden_dim), 
                                   (self.data_dim, self.hidden_dim))

    # 前向传播
    def forward(self, x):
        # 向量时间长度
        T = len(x)

        # 初始化状态向量, s包含额外的初始状态 s[-1]
        s = np.zeros((T+1, self.hidden_dim))
        o = np.zeros((T, self.data_dim))

        for t in xrange(T):
            s[t] = np.tanh(self.U[:, x[t]] + self.W.dot(s[t-1]))
            o[t] = softmax(self.V.dot(s[t]))

        return [o, s]

    # 预测输出 
    def predict(self, x):
        o, s = self.forward(x)
        pre_y = np.argmax(o, axis=1)
        return pre_y

    # 计算损失， softmax损失函数， (x,y)为多个样本
    def loss(self, x, y):
        cost = 0        
        for i in xrange(len(y)):
            o, s = self.forward(x[i])
            # 取出 y[i] 中每一时刻对应的预测值
            pre_yi = o[xrange(len(y[i])), y[i]]
            cost -= np.sum(np.log(pre_yi))

        # 统计所有y中词的个数, 计算平均损失
        N = np.sum([len(yi) for yi in y])
        ave_loss = cost / N

        return ave_loss

    # 求梯度, (x,y)为一个样本
    def bptt(self, x, y):
        dU = np.zeros(self.U.shape)
        dW = np.zeros(self.W.shape)
        dV = np.zeros(self.V.shape)

        o, s = self.forward(x)
        delta_o = o
        delta_o[xrange(len(y)), y] -= 1

        for t in np.arange(len(y))[::-1]:
            # 梯度沿输出层向输入层的传播
            dV += delta_o[t].reshape(-1, 1) * s[t].reshape(1, -1)  # self.data_dim * self.hidden_dim
            delta_t = delta_o[t].reshape(1, -1).dot(self.V) * ((1 - s[t-1]**2).reshape(1, -1)) # 1 * self.hidden_dim

            # 梯度沿时间t的传播
            for bpt_t in np.arange(np.max([0, t-self.bptt_back]), t+1)[::-1]:
                dW += delta_t.T.dot(s[bpt_t-1].reshape(1, -1))
                dU[:, x[bpt_t]] = dU[:, x[bpt_t]] + delta_t

                delta_t = delta_t.dot(self.W.T) * (1 - s[bpt_t-1]**2)

        return [dU, dW, dV]

    # 计算梯度 
    def sgd_step(self, x, y, learning_rate):
        dU, dW, dV = self.bptt(x, y)

        self.U -= learning_rate * dU
        self.W -= learning_rate * dW
        self.V -= learning_rate * dV

    # 训练RNN 
    def train(self, X_train, y_train, learning_rate=0.005, n_epoch=5):
        losses = []
        num_examples = 0

        for epoch in xrange(n_epoch):   
            for i in xrange(len(y_train)):
                self.sgd_step(X_train[i], y_train[i], learning_rate)
                num_examples += 1

            loss = self.loss(X_train, y_train)
            losses.append(loss)
            print 'epoch {0}: loss = {1}'.format(epoch+1, loss)
            # 若损失增加，降低学习率
            if len(losses) > 1 and losses[-1] > losses[-2]:
                learning_rate *= 0.5
                print 'decrease learning_rate to', learning_rate

训练RNN

rnn = myRNN(dict_size, hidden_dim=100, bptt_back=4) rnn.train(X_train[:200], y_train[:200], learning_rate=0.005, n_epoch=10)

可得如下结果：

epoch 1: loss = 8.97211993132 epoch 2: loss = 8.93082011501 epoch 3: loss = 6.7136525424 epoch 4: loss = 6.21936677548 epoch 5: loss = 6.00813231779 epoch 6: loss = 5.87637648866 epoch 7: loss = 5.78373455074 epoch 8: loss = 5.71807642521 epoch 9: loss = 5.63435329796 epoch 10: loss = 5.56515764008

(3) 用RNN进行文本预测

基于训练好的RNN模型，我们可以得到下一个词将会是什么，从而生成新的文本。

unknown_token = 'UNKNOWN_TOKEN'
start_token = 'START_TOKEN'
end_token = 'END_TOKEN'

def generate_text(rnn, dict_words, index_of_words):
    # dict_words: type list; index_of_words: type dict
    sent = [index_of_words[start_token]]
    # 预测新词，知道句子的结束(END_TOKEN)
    while not sent[-1] == index_of_words[end_token]:
        next_probs, _ = rnn.forward(sent)
        sample_word = index_of_words[unknown_token]

        # 按预测输出分布进行采样，得到新的词
        while sample_word == index_of_words[unknown_token]:
            samples = np.random.multinomial(1, next_probs[-1])
            sample_word = np.argmax(samples)
        # 将新生成的有含义的词(即不为UNKNOWN_TOKEN的词)加入句子
        sent.append(sample_word)

    new_sent = [dict_words[i] for i in sent[1:-1]]
    new_sent_str = ' '.join(new_sent)

    return new_sent_str

生成文本举例：

sent_str = generate_text(rnn, dict_words, index_of_words)
print 'Generate sentence:', sent_str

可得如下类似结果：

例子：
it 's this he your wealth decisions roof of .

mao dam , many are things a go a issue n't you works that a half

3. RNN中的梯度消失或爆炸问题

上边生成文本的结果可知，RNN生成的文本效果比较poor。一个可能的原因是训练数据不足、预处理不精细等等，然而，更重要的原因是RNN对于句子中跨度较大的词间的依赖关系无能为力。其实，从BPTT中可以发现，梯度的求解过程中存在这’消失的梯度’或’爆炸的梯度’问题。

消失的梯度：

比如，在 $\delta_{t-1}^T=\delta_t^TWdiag(f^{'}(net_{t-1}))$ 中，若 $f$ 为 $tanh$ (或 $sigmoid$)，其将函数值限定在 $[-1, 1]$ ($sigmoid$ 为 $[0, 1]$)，将其导数限定在 $[0, 1]$ ($sigmoid$ 为 $[0, 1/4]$)，因此，误差 $\delta_t$ 沿时间 $t$ 的长时间传播将导致其值趋于0，从而使相应的权重梯度趋于0，造成梯度消失的现象，失去学习效果。

爆炸的梯度：

当 $Wdiag(f^{'}(net_{t-1}))$ 值非常大时，误差 $\delta_t$ 沿时间 $t$ 的长时间传播将导致其值急剧增大，造成梯度爆炸。与梯度消失相比，梯度爆炸比较易于发现，比如梯度出现 NaN；此外，也可以通过限定梯度的最大阈值来避免梯度爆炸的影响。

梯度消失问题解决方法：

目前已有一些解决梯度消失的方法，比如，合适的权值初始化；使用 $ReLU$ 替代 $tanh$ 或 $sigmoid$ (因为 $ReLU$ 导数为0或1，不太可能造成梯度消失现象)。

更有效且受关注的解决方法是采用 Long Short-Term Memory (LSTM) 或 Gated Recurrent Unit (GRU) 结构，他们专为解决梯度消失而生。

RNN的介绍先到这里，后续跟进。