LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)前段时间看了一些关于LSTM方面的论文,一直准备记录一下学习过程的,因为其他事儿,一直拖到了现在,记忆又快模糊了。现在赶紧补上,本文的组织安排是这样的:先介绍rnn的BPTT所存在的问题,然后介绍最初的LSTM结构,在介绍加了遗忘控制门的,然后是加了peepholeconnections结构的LSTM,都是按照真实提出的时间顺序来写的。本文相当于把各个论文核心部分简要汇集一下而做的笔记,已提供快

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

前段时间看了一些关于LSTM方面的论文,一直准备记录一下学习过程的,因为其他事儿,一直拖到了现在,记忆又快模糊了。现在赶紧补上,本文的组织安排是这样的:先介绍rnn的BPTT所存在的问题,然后介绍最初的LSTM结构,在介绍加了遗忘控制门的,然后是加了peephole connections结构的LSTM,都是按照真实提出的时间顺序来写的。本文相当于把各个论文核心部分简要汇集一下而做的笔记,已提供快速的了解。


一.rnn结构的BPTT学习算法存在的问题

先看一下比较典型的BPTT一个展开的结构,如下图,这里只考虑了部分图,因为其他部分不是这里要讨论的内容。

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

对于t时刻的误差信号计算如下:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

这样权值的更新方式如下:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

上面的公式在BPTT中是非常常见的了,那么如果这个误差信号一直往过去传呢,假设任意两个节点u, v他们的关系是下面这样的:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

那么误差传递信号的关系可以写成如下的递归式:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

n表示图中一层神经元的个数,这个递归式的大概含义不难理解,要求t-q时刻误差信号对t时刻误差信号的偏导,就先求出t-q+1时刻对t时刻的,然后把求出来的结果传到t-q时刻,递归停止条件是q = 1时,就是刚开始写的那部分计算公式了。将上面的递归式展开后可以得到:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

论文里面说的是可以通过归纳来证明,我没仔细推敲这里了,把里面连乘展开看容易明白一点:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

整个结果式对T求和的次数是n^(q-1), 即T有n^(q-1)项,那么下面看问题出在哪儿。

如果|T| > 1, 误差就会随着q的增大而呈指数增长,那么网络的参数更新会引起非常大的震荡。

如果|T| < 1, 误差就会消失,导致学习无效,一般激活函数用simoid函数,它的倒数最大值是0.25, 权值最大值要小于4才能保证不会小于1。

误差呈指数增长的现象比较少,误差消失在BPTT中很常见。在原论文中还有更详细的数学分析,但是了解到此个人觉的已经足够理解问题所在了。



二.最初的LSTM结构

为了克服误差消失的问题,需要做一些限制,先假设仅仅只有一个神经元与自己连接,简图如下:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

根据上面的,t时刻的误差信号计算如下:

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为了使误差不产生变化,可以强制令下式为1:

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根据这个式子,可以得到:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

这表示激活函数是线性的,常常的令fj(x) = x, wjj = 1.0,这样就获得常数误差流了,也叫做CEC。

但是光是这样是不行的,因为存在输入输出处权值更新的冲突(这里原论文里面的解释我不是很明白),所以加上了两道控制门,分别是input gate, output gate,来解决这个矛盾,图如下:

LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)


图中增加了两个控制门,所谓控制的意思就是计算cec的输入之前,乘以input gate的输出,计算cec的输出时,将其结果乘以output gate的输出,整个方框叫做block, 中间的小圆圈是CEC, 里面是一条y = x的直线表示该神经元的激活函数是线性的,自连接的权重为1.0


三.增加forget gate


最初lstm结构的一个缺点就是cec的状态值可能会一直增大下去,增加forget gate后,可以对cec的状态进行控制,它的结构如下图:
LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

这里的相当于自连接权重不再是1.0,而是一个动态的值,这个动态值是forget gate的输出值,它可以控制cec的状态值,在必要时使之为0,即忘记作用,为1时和原来的结构一样。

四.增加Peephole的LSTM结构


上面增加遗忘门一个缺点是当前CEC的状态不能影响到input gate, forget gate在下一时刻的输出,所以增加了Peephole connections。结构如下:
LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)
这里的gate的输入部分就多加了一个来源了,forget gate, input gate的输入来源增加了cec前一时刻的输出,output gate的输入来源增加了cec当前时刻的输出,另外计算的顺序也必须保证如下:
  1. input gate, forget gate的输入输出
  2. cell的输入
  3. output gate的输入输出
  4. cell的输出(这里也是block的输出)

五.一个LSTM的FULL BPTT推导(用误差信号)

我记得当时看论文公式推导的时候很多地方比较难理解,最后随便谷歌了几下,找到一个写的不错的类似课件的PDF,但是已经不知道出处了,很容易就看懂LSTM的前向计算,误差反传更新了。把其中关于LSTM的部分放上来,首先网络的完整结构图如下:
LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)

这个结构也是rwthlm源码包中LSTM的结构,下面看一下公式的记号:
  • wij表示从神经元i到j的连接权重(注意这和很多论文的表示是反着的)
  • 神经元的输入用a表示,输出用b表示
  • 下标 ι, φ 和 ω分别表示input gate, forget gate,output gate 
  • c下标表示cell,从cell到 input, forget和output gatepeephole权重分别记做  wcι , wcφ and wcω
  • Sc表示cell c的状态
  • 控制门的激活函数用f表示,g,h分别表示cell的输入输出激活函数
  • I表示输入层的神经元的个数,K是输出层的神经元个数,H是隐层cell的个数
前向的计算:
LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)
误差反传更新:
LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)
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