最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」%利用dijkstra算法计算两点间的最短路径%A:邻接矩阵%strat:起点编号%dest:终点编号%path:最短路径索引%distence:最短路径下的距离值function[dist,path]=dijkstra(A,start,dest)%测试数据A=[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;.

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

 为了搞清楚最短路径的算法过程,自己编写代码实现dijkstra算法寻找路径

% 文件名:dijkstra.m
% 时间:2020年9月12日
% 来源:https://blog.csdn.net/lishan132/article/details/108527271
% 功能:利用dijkstra算法计算两点间的最短路径
% dist:起点与终点之间的最短距离值
% path:最短路径索引
% Distance:最短路径下的距离值
% A:邻接矩阵
% strat:起点编号
% dest:终点编号
function [dist,path,Distance] = dijkstra(A,start,dest)
% 测试数据 A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];
% 测试数据 start = 1;
% 测试数据 dest = 4;
% 计算程序运行时间
tic  %开始计时

% 初始化操作
p = size(A,1);        %计算顶点数目 
S(1) = dest;          %初始化集合S,已加入到路径中的顶点编号
U = 1:p;              %初始化集合U,未加入到路径中的顶点编号
U(dest) = [];         %删除终点编号
Distance = zeros(2,p);  %初始化所有顶点到终点dest的距离
Distance(1,:) = 1:p;    %重赋值第一行为各顶点编号
Distance(2,1:p) = A(dest,1:p);  %重赋值第二行为邻接矩阵中各顶点到终点的距离
new_Distance = Distance;
D = Distance;            %初始化U中所有顶点到终点dest的距离
D(:,dest) = [];          %删除U中终点编号到终点编号的距离
path = zeros(2,p);  %初始化路径
path(1,:) = 1:p;    %重赋值第一行为各顶点编号
path(2,Distance(2,:)~=inf) = dest;  %距离值不为无穷大时,将两顶点相连

% 寻找最短路径
while ~isempty(U)  %判断U中元素是否为空
    index = find(D(2,:)==min(D(2,:)),1);  %剩余顶点中距离最小值的索引
    k = D(1,index);   %发现剩余顶点中距离终点最近的顶点编号
    
    %更新顶点
    S = [S,k];     %将顶点k添加到S中
    U(U==k) = [];  %从U中删除顶点k  
    
    %计算距离
    new_Distance(2,:) = A(k,1:p)+Distance(2,k); %计算先通过结点k,再从k到达终点的所有点距离值
    D = min(Distance,new_Distance);  %与原来的距离值比较,取最小值  
   
    %更新路径
    path(2,D(2,:)~=Distance(2,:)) = k;  %出现新的最小值,更改连接关系,连接到结点k上 
    
    %更新距离
    Distance = D;  %更新距离表为所有点到终点的最小值
    D(:,S) = [];   %删除已加入到S中的顶点
end
dist = Distance(2,start);  %取出指定起点到终点的距离值
toc %计时结束

% 输出结果
fprintf('找到的最短路径为:');
while start ~= dest    %到达终点时结束
    fprintf('%d-->',start);  %打印当前点编号
    next = path(2,start);    %与当前点相连的下一顶点
    start = next;            %更新当前点
end
fprintf('%d\n',dest);
fprintf('最短路径对应的距离为:%d\n',dist);
end

此函数共有3个输入参数,3个输出参数

输入参数说明

A:邻接矩阵,存储各顶点之间的距离值,是一个大小为顶点个数的方阵,对角线元素为0
strat:起点编号
dest:终点编号

输出参数说明

dist:指定起点与终点之间的最短距离值
path:最短路径索引,一共两行,第一行的值依次为各顶点编号,第二行的值为与第一行顶点相连的顶点编号
Distence:最短路径下的距离值,一共两行,第一行的值依次为各顶点编号,第二行的值为对应顶点到终点的最小距离值

算法有效性的测试如下:

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

 根据上图,想计算A点到D点的最短路径和距离,经过理论分析,其最短路径应为A–>F–>E–>D,最短距离为16+2+4=22

下面输入代码进行验证

输入代码

A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];
start = 1;
dest = 4;
[dist,path,Distance] = dijkstra(A,start,dest)

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

时间已过 0.005424 秒。
找到的最短路径为:1–>6–>5–>4
最短路径对应的距离为:22

dist =

    22

path =

     1     2     3     4     5     6     7
     6     3     4     4     4     5     5

Distance =

     1     2     3     4     5     6     7
    22    13     3     0     4     6    12

 输入其他任意两个点,换一个距离矩阵,依然能正确输出最短路径和相应的距离值,算法的有效性得到验证

 输入以下代码可生成最终的最短路径图,输出结果与起点值无关,任意点到D点的最短路径均可从图中找到

A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];
start = 1;
dest = 4;

[~,path,Distance] = dijkstra(A,start,dest)

path(:,dest) = [];
Distance(:,dest) = [];
s = path(1,:);
t = path(2,:);
weights = Distance(2,:);
names = {'A' 'B' 'C' 'D' 'E' 'F' 'G'};

g = digraph(s,t,weights,names);

plot(g,'EdgeLabel',g.Edges.Weight)

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

 可以看到,图中所有点均向D点聚集,且显示了每一个点到D点的最短距离

下面,使用matlab图论工具箱的函数寻找最短路径,再进行一个对比验证

图论工具箱中求最短路径的函数有以下3个,本文使用shortestpath,matlab命令窗口中输入doc shortestpath即可查看用法

shortestpath    两个单一节点之间的最短路径
shortestpathtree    从节点的最短路径树
distances    所有节点对组的最短路径距离

% 文件名:shortpath.m
% 时间:2020年9月12日
% 来源:https://blog.csdn.net/lishan132/article/details/108527271
% 功能:利用matlab自带的shortestpath函数计算两点间的最短路径
% dist:起点与终点之间的最短距离值
% path:最短路径
function [dist,path] = shortpath(A,start,dest)
%使用matlab自带的函数计算最短路径
tic
A(A==inf) = 0;  %将无穷大值变为0
[t,s,weights] = find(A);  %邻接矩阵中非零值的列、行号索引,及对应值
G = digraph(s,t,weights);  %生成一幅带权值的有向图
[path,dist] = shortestpath(G,start,dest);  %计算最短路径
toc

%展示结果
plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight)
fprintf('找到的最短路径为:');
fprintf('%d ',path);
fprintf('\n');
fprintf('最短路径对应的距离为:%d\n',dist);
end

 命令窗口输入以下代码验证结果

A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];
start = 1;
dest = 4;
[dist,path] = shortpath(A,start,dest)

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

时间已过 0.002112 秒。
找到的最短路径为:1 6 5 4 
最短路径对应的距离为:22

dist =

    22

path =

     1     6     5     4

两者结果一致,再次验证算法的有效性,而且自己写的Dijkstra算法的代码还能够一次输出所有点到终点的距离及路径表

仅一次测试以及少量的数据规模N不足以说明算法的解决效率,为了对两个算法性能进行一个比较,特地写了一个测试程序,输入的数据规模N从10到2000变化,并注释dijkstra.m、shortpath.m两个文件中的计时和输出结果部分的代码,程序如下

% 文件名:compar1.m
% 时间:2020年9月12日
% 来源:https://blog.csdn.net/lishan132/article/details/108527271
% 功能:比较自己实现的dijkstra算法与matlab图论工具箱函数的效率性能
% 说明:请先将dijkstra.m、shortpath.m文件与本文件放在同一目录下
clear
close
clc
iter = 200;  %测试次数
t1 = zeros(1,iter);  %算法1时间
t2 = zeros(1,iter);  %算法2时间
for i = 1:iter
    %% 第一步:生成测试数据,距离矩阵A,起点start,终点dest
    clearvars -except iter i t1 t2 %清空除iter,i,t1,t2外的所有变量
    N = i*10;  %输入数据规模
    ub = 15;  %输入数据距离上限
    A = unifrnd (0, ub, N, N);  %生成一个服从均匀分布的矩阵,数值范围[0,ub],矩阵大小n×n
    A = A - A';
    A(A<0) = inf;
    start = round(rand(1,1)*(N-1))+1;
    dest = round(rand(1,1)*(N-1))+1;
    while start == dest
        dest = round(rand(1,1)*(N-1))+1;
    end
    %% 第二步:计算自己编写的dk算法的运行时间
    tic  %开始计时
    dijkstra(A,start,dest);
    t1(i) = toc; %计时结束

    %% 第三步:计算使用matlab自带图论工具箱算法的运行时间
    tic  %开始计时
    shortpath(A,start,dest);
    t2(i) = toc;  %计时结束
end

%% 第四步:绘制算法所需时间图
plot(1:iter,t1);
hold on
plot(1:iter,t2);
legend("文中dijkstra算法","图论工具shortestpath函数")
title("算法耗费时间比较")

最短路径 Dijkstra算法的Matlab代码实现「建议收藏」

惊喜地发现,随着数据规模的增大,自己写的Dijkstra算法与图论工具函数shortestpath相比,耗时更低,而且差距越来越大。

当然,此处还是有些不严谨,因为我在使用图论工具函数shortestpath解决问题时,前面自己还写了三条参数的处理语句,这部分语句的处理过程也是算入时间的

结论

本文实现了dijkstra算法的Matlab代码,并封装成一个函数,给定一个邻接矩阵,以及指定一个终点,可以直接输出任意点到终点的最短路径和相应的距离值,相对matlab自带的图论工具箱函数,其运算速度快,输出数据全,方便二次开发,提高效率。但自己写的程序中每次只寻找一个新的结点加入,有多少个结点,while中的循环体就要执行多少次,每一次循环均要更新一次所有结点到终点的距离值,当结点数据非常大时,时间复杂度为O(N^2),因此还有继续优化的空间,根据相关文献,可用堆进行优化,也可从能否一次加入多个新结点,而不是一个来考虑加快搜索速度。

参考文章:

[1] 数据结构–Dijkstra算法最清楚的讲解 https://blog.csdn.net/heroacool/article/details/51014824

[2] 通俗易懂理解——dijkstra算法求最短路径 https://zhuanlan.zhihu.com/p/40338107

[3] Dijkstra算法及其matlab实现 https://blog.csdn.net/u011317780/article/details/82429511

[4] 李建东,盛敏编著. 通信网络基础. 北京:高等教育出版社, 2004.08.

[5] 迪杰斯特拉 & 堆优化 https://blog.csdn.net/CSDNjiangshan/article/details/79345031

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