群环域，理想商环，原根复习

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

包含了抽象代数里面的一些概念，最近看文章的时候一直反映不过来，理想是个啥来着，环和域的区别是啥来着。所以统筹整理一下。

集合/(Set)：

一个集合$G$表示一组数据

有限集合： G = { a 1 , a 2 , . . . , a n } , ∣ G ∣ = n G=\{a_1,a_2,…,a_n\},|G|=n G={
a1​,a2​,...,an​},∣G∣=n

无穷集合： G = { a 1 , a 2 , . . . } , ∣ G ∣ = ∞ G=\{a_1,a_2,…\},|G|=\infin G={
a1​,a2​,...},∣G∣=∞

一个班级的所有学生

半群/(Monoid)：

一个集合$G$，以及一个二元运算$(\cdot )$。满足

1. 封闭性：$a\in G,b\in G,a\cdot b\in G$

2. 结合律：$(ab)c=a(bc)$

自然数 N = { 0 , 1 , 2 , . . . } \N=\{0,1,2,…\} N={
0,1,2,...}是一个加法半群，以及乘法半群。

集合$A$的子集对于求交构成一个半群，对于求并集构成一个半群。

整数对于乘法构成半群。

群$(G,\cdot )$/(Group)：

一个集合$G$，以及一个二元运算$(\cdot )$。满足

1. 封闭性：$a\in G,b\in G,a\cdot b\in G$

2. 结合律：$(ab)c=a(bc)$

3. 单位元：$\exists e,ea=ae=e$

4. 逆元：$\forall a\in G,\exists a^{\prime }\in G,a{a}^{\prime }=a^{\prime }a=e$

整数对于加法构成群，对于乘法不构成（因为没有逆元）

交换群/(Commutative Group)：

群&交换律

1. 交换律：$ab=ba$

环$(R,+,\cdot )$/(Ring)：

一个集合$R$，加法是交换群，乘法是半群.

$Z_n$是一个环，多项式环$R_n=Z_n/F(X)$也是一个环。

整数$\mathbb{Z}$是一个环。

交换环$(R,+,\cdot )$/(Commutative Ring)：

环，乘法满足交换律

域$(F,+,\cdot )$/(Field)：

1. 加法和乘法都满足结合律：$(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

2. 加法和乘法都满足交换律：$a+b=b+a,a\cdot b=b\cdot a$

3. 加法和乘法单位元：$a+0=a,a\cdot 1=a$

4. 加法和乘法逆元：$a+(-1)=0$,$a\ne 0,a\cdot a^{-1}=1$，

5. 分配率：$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

实数构成一个域，有理数构成一个域

有限域$(F,+,\cdot )$/(Galois Field):

是域，且集合元素是有限个的

$Z_q$是一个有限域，当且仅当$q$是一个素数

环的理想/(ideal)

对于一个任意的环$(R,+,\cdot )$，称$I$为$R$的左理想，当且仅当：

1. $I$是$R$的一个加法子群
2. $\forall r\in R,\forall x\in I,rx\in R$

对于一个任意的环$(R,+,\cdot )$，称$I$为$R$的右理想，当且仅当：

1. $I$是$R$的一个加法子群
2. $\forall r\in R,\forall x\in I,xr\in R$

比如偶数是整数的一个左理想，偶数本身是整数的子集，且偶数是加法群，任意整数和偶数的乘法仍然是个偶数。偶数也是一个右理想，那么偶数简称为整数的理想。

偶数可以理解为$\forall x\in I,x\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2$，可以写作$2\mathbb{Z}$，那么$2\mathbb{Z}$就是$\mathbb{Z}$的一个理想。

同理任意$n\in \mathbb{Z}$，$n\mathbb{Z}$也是$\mathbb{Z}$的一个理想。

把这样的理想称作整数由$n$生成的理想。

原根/(Primitive Root)

$\forall gcd(a,m)=1,a^{\phi (m)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$

如果$e=\phi (m)$是使得$a^e\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$满足的最小数的话，则$a$是原根。

即：$a^{\phi (m)/2}\equiv m-1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$，则$a$是原根。若$a^{\phi (m)/2}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$，则$a$不是原根。

生成/(Generate)

定义 ：设$G$是一个群, $X$是$G$的子集. 设 { H i } i ∈ I \left\{H_{i}\right\}_{i \in I} {
Hi​}i∈I​ 是 $G$的包含 $X$ 的所有子群, 则 ${\bigcap }_{i\in I}{H}_i$ 叫做 $G$ 的由$X$生成的子群, 记为$⟨X⟩$，这样的子群也是一个循环群。

当$G$为乘法群时, 由$X$生成的子群为

⟨ X ⟩ = { a 1 n 1 ⋯ a t n t ∣ a i ∈ X , n i ∈ Z , 1 ⩽ i ⩽ t } \langle X\rangle = \left\{a_{1}^{n_{1}} \cdots a_{t}^{n_{t}} \mid a_{i} \in X, n_{i} \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant t\right\} ⟨X⟩={
a1n1​​⋯atnt​​∣ai​∈X,ni​∈Z,1⩽i⩽t}

特别地, 对任意的$a\in G$, 有

< a > = { a n ∣ n ∈ Z } <a> = \left\{a^{n} \mid n \in \mathbf{Z}\right\} <a>={
an∣n∈Z}

当$G$为加法群时, 由$X$生成的子群为

⟨ X ⟩ = { n 1 a 1 + ⋯ + n t a t ∣ a i ∈ X , n i ∈ Z , 1 ⩽ i ⩽ t } . \langle X\rangle = \left\{n_{1} a_{1}+\cdots+n_{t} a_{t} \mid a_{i} \in X, n_{i} \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant t\right\} . ⟨X⟩={
n1​a1​+⋯+nt​at​∣ai​∈X,ni​∈Z,1⩽i⩽t}.

特别地, 对任意的$a\in G$, 有

⟨ a ⟩ = { n a ∣ n ∈ Z } . \langle a\rangle = \{n a \mid n \in \mathbf{Z}\} . ⟨a⟩={
na∣n∈Z}.

商环/(Quotient Ring)

理想的一个用途就是用于构造商环。

假设环$R$的有理想$I$，定义$R$上的等价关系$\sim$

$a\sim b⟺a-b\in I$。

这就像一个同余的关系。

由$I$能构造任意元素$a\in R$的等价类：

[ a ] = a + I : = { a + r : r ∈ I } [a] = a+I:=\{a+r:r\in I\} [a]=a+I:={
a+r:r∈I}

与可以写成$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}I$。

所有这样的等价类构成一个商环，写作$R/I$。

比如整数环$\mathbb{Z}$的理想偶数$2\mathbb{Z}$，那么就可以构造两个等价类$[0],[1]$， [ 0 ] = { . . . , − 2 , 0 , 2 , 4 , . . . } , [ 1 ] = { . . . − 3 , − 1 , 1 , 3 , . . . } [0]=\{…,-2,0,2,4,…\},[1]=\{…-3,-1,1,3,…\} [0]={
...,−2,0,2,4,...},[1]={
...−3,−1,1,3,...}。