数学的本质

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数学的本质

李国伟

现代数学在方法上的特征

现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性，就是由基本定义与公理出发，经逻辑推论到所有定理的发展方式。采取这种方法并非偶然，而是有内在的需求。我们要把一套概念讲清楚，必须用比较简单的概念来解释，但是这些概念又需要再加澄清，如此继续下去，如果不曾周而复始得到一个什么也说不清的恶性循环，便会无限延伸下去，达到一个不可知的前端。人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识，而去了解事物的表象与本质，因此在没有坠入不可知的深渊前，必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住。我们把这些概念作为理论发展的基础，不再去解释它们的意义，也就是说暂时拋开它们的具体内容。这些概念我们称为基础概念。从此以后在我们理论发展的过程中，一切的概念都要由这些基础概念定义出，否则便不能采用。基础概念间如果彼此毫无关联，显然无法用来建立起一套有意义的理论，那么在联系起基础概念的叙述中，我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点，这些叙述我们称为公理。自此我们便用逻辑的方法，由基础概念与公理演绎出所有的定理，而一切不能由这个程序推得的叙述，我们便不认为它是这套理论里正确的命题。现代数学中各门理论，基本上都是由这个演绎方法组织起的。不过比较复杂的理论，除了自己的基础概念及公理外，常常要引用别的理论的结果。所以严格说起来，那些理论的基础概念及公理也必须包括进来。但是为表达的简明，我们通常不这样全套写出。譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理，而一切数学理论系统必须立足于逻辑系统上，否则便无法作推论了。

现在我们来看一个极简单的演绎系统。

倘若我们想了解线段全等的一般性质，我们可用两个基础概念：S（所有线段的集合），（全等关系）。我们有两条公理：

公理一： 对于S中任何元素 x 而言，。
公理二： 对于S中任何元素 x,y,z 而言，若且，则。

这套小理论当然已引用了逻辑与集合论中的概念，所以严格说起来已相当繁杂了。现在我们来证明一小定理：

定理：
对 S 中任何元素 x,y 而言，若则。

证明：若令公理二中的 z 为 y，便知且，则。但是公理一告诉我们，已有的假设告诉我们，故可证得 。

由上面的简单证明可看出，事质上 S 是不是所有线段的集合，“”是不是线段全等的关系并不要紧。对于任意给的集合 S 及其上的二元关系“”，只要它们满足公理一、二，则定理自然成立。例如我们可令 S 为所有自然数的集合，“”指同余于某个模数的关系。

前面说过在演绎系统中，基础概念原来的具体内容已拋弃，所以我们可用其他的具体事物来解释它，任何这种解释如果又满足所有公理，则我们说这套解释构成原来理论的一个模型。上面的观察告诉我们一旦定理得证，则此定理在任何模型中也成立，我们就不需要在各个具体的系统中重复同样的证明了。

总结来说，演绎方法是组织起数学知识的最好方法。因为他可以极大程度的消去我们认识上的不清与错误，如果有怀疑的余地，也都回归到对基础概念及公理的怀疑。而且定理涵盖了种种的具体特例，精简与组织了我们对外在世界的认识。^注1

现代数学在内容上的特征

现代数学因内在的需求而采取了演绎方法，于是演绎方法的特性也反映了数学在内容上的特色：

一、抽象性：

数学的抽象性有异于其它科学的抽象性，可分三点说明：

1. 数学基本上处理物体间量的关系以及空间的样式，而与物体实际的物理性质无关。例如 1,2,3,…… 都是抽象的数，并不代表一个人、二头牛、三把刀等等。几何里的直线也是一种抽象慨念，实际物体的棱线严格说都是不平直的，至少，当观察进入原子范围时是如此。
2. 抽象的程度是不断增进的，因此最后抽象的结果远较一般科学更为远离日常生活中的具体经验。
3. 数学只在抽象的概念与它们间的关系中发展。正如前面说明演绎方法时提过，一切我们所接受的数学事实，必须是由基础概念、公理、推论而来。数学的论断不能由作实验中得到，就是量上一千万个三角形，也不能因而断言所有三角形三内角和是一百八十度。

二、严谨与精确性：

自然科学虽然也有相当的严谨与精确性，但是它的理论通常都有一定的适用范围。例如物体在远低于光速的速度运动时。它的质量可看为常数，但是一旦加速到近于光速时，质量便有显著的增加，这些是可由实验证明的。也就是说牛顿力学虽然自成一个系统，但它的正确性只能达到某个特定的程度，再深入必须改用相对论力学。如果将来有一天另一种力学再改良相对论力学，我们也不会感觉意外。然而数学的基本真理一旦建立便不再动摇，因为演绎法的每一步推理都在严格的逻辑条件管制下，而又不能引用不曾从基础概念定义来的概念，所以数学的系统脉络分明，结论精确不移。唯一还可以有怀疑的地方，便是基础概念与公理。但是我们也说过，人要不落入不可知的深渊，必须接受一些自明的真理，否则便无知识可言，因此数学的基础是稳固的。

三、广泛的应用性：

数学的应用又分三个层面：

1. 日常的计数：包括了数量与空间的度量，例如五十块能买几斤小白菜?三十坪的公寓要卖多少万？虽然它们所用的数学法则极为简单，但是我们不要忘了，在远古时这些简单法则都经过漫长而艰辛的步骤得到的。
2. 工技的运算：现代工技日趋精密，再加上电算技术的进步，使得数据的计算更加繁杂更需精确。譬如在核子工程的设计上，有时小数点后十二位的误差，都会导致荒缪的结论。在这种应用上，数学成为一种工具，不亚于筑桥的水泥，造船的钢铁，只不过它是一种无形的工具罢了。
3. 理论的架构：在理论科学方面，大量实验的资料必须整理、简化、归纳成一般性的原则，以使人了解与掌握物的本性，才有可能扩充应用的幅面，增加控制自然的本领。在叙述一般性原理时，最精确的语言便是数学的语言。在这种应用上，数学成为一切理论知识的语言部分，没有它我们的思想无法组织起，也无法彼此沟通。

数学应用最令人赞叹的是，经常表面上看来毫无关联的事，使用适当的数学工具加以分析，便发现了它们内在深刻的关系。

有关数学本质的基本问题

从方法上，从内容上，我们对现代数学的特征已有了基本的掌握，但是事物的表象只反映了事物的本质，而非本质的自身。于是面对著数学的演绎系统，它的抽象性、严密性、应用性，我们还有几个更基本的问题有待深入了解。

1. 数学的概念既然是抽象的，它们到底反映了什么？也就是数学真正研究的对象是什么？
2. 数学的基本观念极浅显，而它的抽象推论结果又不容人怀疑，这种权威性从何而来？也就是数学方法的基础是什么？
3. 为什么抽象的数学却有这么多具体的应用，这种看似矛盾的现象如何解释？
4. 这样一种抽象的东西，为什么从古到今不断发展愈来愈兴盛？也就是数学发展的基础是什么？

现代数学的内容愈来愈丰富，因此要了解与掌握数学的本质，我们比古代人更加迫切需要解答以上的问题。本世纪以来很多出色的数学家都对这些问题发表过意见，提过许许多多的解答。在欧美，基本上汇集成所谓逻辑主义，形式主义，直观主义三种鲜明的主张，以及形形色色的骑墙派。经过半世纪多的争论，我们现在综合各家的长短，发现逻辑学派想把人的抽象认识回归到原始的逻辑概念，但是无法说清逻辑观念的本原。形式学派避开本原的问题，认为数学纯粹是符号的游戏，因而不能解释数学的意义及应用性。直观学派想把数学中过分抽象推论法，换成比较不太抽象的法则，但因方法的局限性又陷入另一个泥淖，始终无法由他们的系统建立起适于应用的数学系统。总而言之，如果我们片断的割离某些数学的特性，把它孤立起来作为整个数学的发展点或基础，便迟早会钻进死犄角，建立不起活泼生动妙用无穷的数学理论。 因此要了解数学的本质，必须舍弃静观的方法，而从人类认识的历史发展上求动态的解答。也就是说数学的真理性是无法由任何空洞的理论来保险的，而必须从人类生存的历史经验中获得证实。这一点我们将以算术学的发展为例，加以阐述。

算术学发展史鸟瞰

一、数的概念： 当一群物体呈现在眼前时，我们所觉察的是物的整体，如果要清晰的分开它的各种属性及相互的关系，必须经过意识的加意整理。譬如我们不懂音乐的人听到一首交响曲只是整体的感觉美与不美，但是一位音乐家听到了，马上可以察觉到曲子的调性、主题、配乐等等细节。因此任何概念成立的最原始状态只是笼笼统统的感觉事物的存在。第二步就会拿具体的事物来排比。好像还没有完全抽象出“黑”这个概念时，人会说:“像只乌鸦”“像块炭”等。再进一步，概念已与事物结合着出现，但是未曾独立出来，例如波罗的海小国立陶宛语言中，有各种形容词用来说“灰鸭”“灰马”，但是就是没有单独的“灰”字。认识到最高的阶段人就会有单独的抽象的概念了。

我们目前只讨论自然数概念的演化，这个过程也经历了上述的各阶段。

据一位十八世纪的传教士报导，南美的Abipone印地安人的数目只有一，二，三，但他们迁移时，大群大群的狗，就是少了一只，他们也会立刻发觉。这还是认识数的第一阶段。在第二阶段中，最常见的是许多原始文化用代表“手”的字来代表“五”。第三阶段明显的例子有飞支群岛人说十条船bala，十个椰子koro，一千个椰子saloro,数与名词整个融合在一起，而不曾形成完整的数列。在比较发达的文化中，代表数的字有时和其他形容词一样有语尾变化，例如:“二”字:

到了第四阶段当然我们就有了 1,2,3,…… 这一系列的抽象数了。

从第三阶段到第四阶段其实是很困难的一步。因为数虽然是一群物体的属性，但却与其它属性本质不同。例如“五头牛”这个集合有“五”这个属性，但是如果我们拿出一头牛，它就没有“五”这个属性。又如果我们把“五头牛”这个集合，看成一个整体，在这个整体的概念中“五”也消失了。那么抽象的“五”到底从何而来呢?事实上“五”这个属性是一切与我们一只手上指头能建立起一一对应的集合的通性。任何不能有这种一一对应的集合就不具有“五”这个属性。所以要确切掌握一个抽象数的概念，人必须作过无数次的比较，也就是必须累积无数世代的历史经验。

二、数的关系及记数法: 当概念脱离具体的物体独立出来时，它已经没有任何实质内容。我们所以还能了解与掌握它，是因为我们知道控制它的法则，以及概念与概念间的关联。完全与别的概念不发生关系的独立抽象概念，只是很无聊的游戏罢了。因此当数的概念逐渐产生时，数与数之间的运算关系也逐渐明了。这类关系正反映了具体物件的加、减、乘．除的运算。在某些语言中，数字本身的名字也提供了数与运算并生的历史。例如法文中80是quatre-vingts(四个二十)。更原始的某些南太平洋岛民记数法是urapun,okasa,okasa urapun,okasa okasa,okasa okasa urapun,……。

如果数与运算的观念一直局限在小数目中，算术学还是无法成立的。人的社会随著历史的发展愈来愈需要运算较大的数目，政府需要税收，牧人需要计数牲口，买卖需要计价等等，例子不胜枚举。首先感到压力的便是记数法必须改良。数既然是抽象的概念，如果没有具体的名字与符号代表它，便难以运用。小的数目我们还可以用具体的同数物件来想像，一旦数目大了譬如15674，就很难用一堆小石子来想像它的确切大小了。好的记数法可以使我们的心智脱离具体物件的羁绊，向更高的数的领域前进。不仅如此，好的记数法能方便运算，促进算术的发达。例如罗马人的记数便很笨拙，372写作CCCLXXII，会用这种符号算出372的平方恐怕都很天才了，所以罗马人虽然建立过庞大强盛的帝国，但在数学的贡献上都近乎空白。在社会环境的需求下，人类最后总算发展出现在所谓的阿拉伯数字系统。这种记数法有两大特色:第一它是十进位的，第二它是位置法的。第一特色显然和人有十指有关，但是到底几进位并没有根本的不同。比较重要的是第二个特点。所谓位置法就是说虽然数字只有 0,1,2,……,9 十个，但因它的位置不同，代表的意义也不同。例如 375 中，3 代表百的数目，7 代表十的数目。这种记法使得有缺位时必须用一个符号代替空掉的位置，否则 3 2 与 32 的意义会发生混淆。这种代替因而刺激了人逐渐认识了数目 0。

综合这节所说我们可知，人脑反映具体事物的运算发展了抽象的数与其运算，但是抽象的概念又必须藉具像的符号来固定住，而这种具体的符号又剌激了抽象的成长与深入，终于使人的算术知识丰富起来。

三、抽象算术学的诞生： 到此为止人虽然累积了大量各别算术经验，但仍然没有抽象的一般的算术学。埃及，巴比伦，以及我国的数学古典中，已有许多具体的算术问题和解法，然而控制一般数的普遍规律还没有说清楚。从世世代代运算累积的经验中，人自然而然意识到某些规律的存在。例如把一组数加在一起，加的次序不会影响到最后的总和。另一方面人由一个个接续下的单独数，意识到每次加 1 的构数法则，而徒生了无限数列的概念。于是关于个别数的性质就有可能推广到关于一般数的性质。 抽象的算术学便在这个由个别达到一般的步骤中诞生了。 西元前三世纪，希腊人已成功的迈了这最重要的一步，欧几里德《原本》中证明质数无穷多是最有名的例子。说明关于任意数的普遍性定理，事实上已经包括了无穷多个特例。它在内容上是丰富多了。从此算术学由处理给定的个别的数量关系，晋升到处理一切的数量关系。

数学的本质

算术学是数学中历史最悠久的一支，从以上的发展简史中，我们可看出它的基本性质，它们也就充分代表了一般数学的基本性质。现在我们可以尝试回答第三节中提出的问题了。

一、数学的研究对象是什么? 数学的概念不是无中生有故意造出来的，也不是人类天生就有的，而是客观世界的活动不断在人脑留下痕迹，人脑逐步主动反映外在具体事物，分析并推广无数量的具体经验，经过漫长岁月发展出来的。然后人因为日渐熟练的运用已经有的抽象概念，便再一步推广与抽象，得到更加深刻的观念。如此继续不断，发达到今天高深的各种数学部门。现在看起来数学里五花八门的名堂好像与现实世界无关，但它们的本原都是由反映现象世界而来。数学绝非空洞的符号游戏，它的最终研究对象就是客观的世界。

二、数学方法的基础是什么? 从历史的经验中，我们可知数学与逻辑的法则不是任意规定的，它们反映了无数代累积的运算具体事物，思考具体关系的经验。因此它们的意义在人的心智上变得十分明确清晰而有权威性。并且因为客观世界的均勻稳定性，使得这些规则不会有异动。于是 具体与实质世界的真理性，也就是数学方法的基础。

三、数学为什么有那么广泛的应用性? 因为数学不仅抽象出个别事物的概念，并且进一步抽象出一般概念的公通性质。这类性质是不受物体普通物理性质所局限的，因此它有更普遍的真理性。只要这一系列的抽象不是从空洞的事物出发，它的抽象性就必然保证了它的广泛应用性。 数学抽象的基础是客观世界的量与形，因此数学的作用虽然不像螺丝刀、老虎鉗这一类工具，但是一旦涉及事物间的深层关联，自然要用到数学。

四、数学继续发展的基础是什么呢? 从人类历史的经验中也可找到解答。社会生活的实际需求便是数学发达的基本动力。这并不是说所有数学都是为解答已有的实际问题所产生，有时候抽象的数学概念会跑得快一点，暂时不好应用，等到工技够发达后才有用处。譬如复数原来被认为是虚幻的数，后来却成为电学理论最基础的盘石。然而无论如何在解决实际问题的过程中，人发展了新的技巧，新的概念，提供了一个比较成熟比较更完善的知识背景，使得人能解决一些暂时看来与实际问题无关，纯粹数学兴趣的问题。总之，因为人类社会生活的不断繁杂，人类控制自然的能力日渐加强，人类对客观世界的认识继续深入，新的数学问题才会层出不穷，提拱了更丰富的数学素材。

  ^注1：本节所强调的是把已有数学知识组织起的方法，如果是探求与创发的数学慨念时，归纳法便占有绝对的重要性。这个时候，数学处理它研究的对象，也要用尝试、猜测等手段，与其他自然科学方法相当类似。限于篇幅本文未对归纳研究法深入讨论，但希望以后各节中的阐述，能加强读者对抽象与现实关联的认识，不致落入数学的形式主义。