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标题阵列信号DOA估计系列(三).MVDR/Capon波束形成

MVDR算法得基本思路是在频域/空间形成一个窄带滤波器，从此出发，可见MVDR不但对噪声有抑制作用，来对观察频率/角度之外的信号有抑制作用，所以MVDR的分辨率远高于常规的FFT/DBF算法。
算法的推导和理解都比较简单，所以下面稍微推导一下。需要代码的请直接拉到最后。

1. 波束形成

波束形成，可以简单的理解为加权，或者滤波也可以。基本解释可以从这个图来看对各个阵元接收到的信号进行加权，权系数为 $\mathbf{w}=[w_{{}_0},w_{{}_1},\cdots ,w_{{}_M-1}{]}^T$，使得输出 $y(n)$ 达到我们想要的目的。
比如说：只让 $30°$ 方向的信号进来，其他方向尽量抑制掉；或者，只是抑制 $30°$ 方向的信号。
当然，对于权系数的设计，是一个比较重要的话题，此处不作展开。有兴趣的朋友，可以自行查阅DBF相关的资料。

2. MVDR波束形成基本推导

在前面已介绍了阵列接收信号模型和导向矢量，在此假设均匀线阵（ULA）含有 $M$ 个阵元，当有 $N$ 个信号 $s_{{}_1}(n),s_{{}_2}(n),\cdots ,s_{{}_N}(n)$ 分别从 ${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_N$ 入射到阵列时，按照叠加的思维，接收信号可以表述为$$\mathbf{x}(n{)}_{{}_{M\times 1}}={\mathbf{A}}_{{}_{\mathbf{M}\times \mathbf{N}}}{\mathbf{s}}_{{}_{\mathbf{N}\times 1}}=[\mathbf{a}({\theta }_1),\mathbf{a}({\theta }_2),\cdots ,\mathbf{a}({\theta }_{\mathbf{N}}){]}_{{}_{M\times N}}\times [s_{{}_1}(n),s_{{}_2}(n),\cdots ,s_{{}_N}(n){]}_{{}_{1\times N}}^T\text{\hspace{1em}(1)}$$
现在假设我们需要设计一种权值 $\mathbf{w}$，使得 ${\theta }_1$ 方向的信号完全通过，其余的信号连同噪声被最大可能抑制。于是输出 $y(n)$ 可以写作 $$y(n)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(n)\text{\hspace{1em}(2)}$$同时据此可以计算出输出信号的功率为$$P\triangleq E[|y(n){|}^2]=E[{\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(n){\mathbf{x}}^H(n)\mathbf{w}]={\mathbf{w}}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\text{\hspace{1em}(3)}$$

将信号 $s_{{}_1}(n)$ 单独分离出来，其余部分写作 $\mathbf{z}(\mathbf{n})$，于是，上式变为$$y(n)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(n)={\mathbf{w}}^H\mathbf{a}({\theta }_1)s_{{}_1}(n)+{\mathbf{w}}^H\mathbf{z}(\mathbf{n})\text{\hspace{1em}(4)}$$按照我们的预想，权向量要 $\mathbf{w}$，使得 $s_{{}_1}$ 方向的信号完全通过，同时，想要$\mathbf{z}(\mathbf{n})$ 被最大可能抑制，就应该满足：

条件1：$${\mathbf{w}}^H\mathbf{a}({\theta }_1)=1\text{\hspace{1em}(5)}$$
条件2：输出功率 $P=\mathbf{x}(n)\mathbf{x}(n{)}^H={\mathbf{w}}^H\mathbf{R}\mathbf{w}$最小。

条件1很好理解。条件2的可以这样来理解，在条件1已经满足的前提下，如果其他信号和噪声都被抑制了，那么接收的信号功率自然就是最低的了，因此条件2是 $\mathbf{z}(\mathbf{n})$ 被最大可能抑制 的直接结果。

把 ${\theta }_1$ 推广到任意角度 $\theta$ ，那么上面所有的东西，可以写成这么一个以权向量 $\mathbf{w}$ 为变量的优化问题$$\min {\mathbf{w}}^H\mathbf{R}\mathbf{w}，st.{\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta )=1\text{\hspace{1em}(6)}$$

运用拉格朗日乘子法，构造代价函数 $J(\mathbf{w})$ 为$$J(\mathbf{w})={\mathbf{w}}^H\mathbf{R}\mathbf{w}-\lambda (1-{\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta ))\text{\hspace{1em}(7)}$$以权向量 $\mathbf{w}$ 为变量求代价函数 $J(\mathbf{w})$ 的梯度并令其等于 $0$，即$$$\nabla J(\mathbf{w})=2\mathbf{R}\mathbf{w}-2\lambda \mathbf{a}(\theta )\triangleq 0\text{\hspace{1em}(8)}$$ 可以解得$$\mathbf{w}=\lambda {\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta )\text{\hspace{1em}(9)}$$两端取共轭转置(H)，并右乘 $\mathbf{a}(\theta )$，同时注意到约束条件 ${\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta )=1$，可以得到$$\lambda =\frac{1}{{\mathbf{a}(\theta )}^H({\mathbf{R}}^{-1}{)}^H\mathbf{a}(\theta )}\text{\hspace{1em}(10)}$$将 $(10)$ 带入 $(9)$ ，即可解得的权向量为$$\mathbf{w}=\frac{{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta )}{{\mathbf{a}(\theta )}^H({\mathbf{R}}^{-1}{)}^H\mathbf{a}(\theta )}\text{\hspace{1em}(11)}$$

到此，权向量就计算出来了。回望一下，这个权向量的目的：仅使得 $(11)$ 式中给定的 $\mathbf{a}(\theta )$ 对应方向的信号通过，其余方向的信号和噪声最大程度的抑制。 这时候，输出的平均功率由 $(3)$ 式给定，稍微计算一下可得 $$P_{\theta }=\frac{1}{{\mathbf{a}(\theta )}^H{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta )}\text{\hspace{1em}(12)}$$

$(12)$ 式可以这样理解：
任意给一个角度，就有其对应的导向矢量 $\mathbf{a}(\theta )$ ，如果这个方向有信号，那么$(12)$ 式计算出来的就是此方向信号平均功率，其值应该较大；如果没有信号只有噪声，那么计算出来的就是噪声平均功率，其值应该较小。
因此，将 $\theta$ 在自己想观察的角度扫描一圈，每个地方都计算一遍功率，选出其中较大的值，其对应的 $\theta$ 就是DOA估计结果。

３.MVDR波束形成计算步骤

Step1：由接收到的快拍信号 $\mathbf{x}(n)$ 估计自相关矩阵 $\mathbf{R}$;
Step2：计算自相关矩阵 $\mathbf{R}$ 的逆矩阵 ${\mathbf{R}}^{-1}$ ;
Step3：按照阵列几何形状，构造对应的导向矢量 $\mathbf{a}(\theta )$;
Step4：使 $\theta$ 按照一定的步进，在自己想观察的角度扫描，逐次计算 $P_{\theta }$;
Step5：对 $P_{\theta }$ 进行谱峰搜索，找出峰值点对应的 $\theta$;

4. 结论和思考

1. MVDR波束形成方法只能处理非相干信号。
   在对$(8)$ 式的求解中，对自相关矩阵 $\mathbf{R}$ 进行了求逆运算。这就要求$\mathbf{R}$ 满秩，即信号之间是不相干的。若存在相干信号，那么上面的推导，到$(8)$ 式就无法继续进行了。
   那么，如果信号相干又该怎么办？
2. MVDR波束形成具有通用性，而不限于线阵。
   从通篇推导可以看出，没有应用到 $\mathbf{a}(\theta )$ 的具体结构。对于其他形式的阵列，修改 $\mathbf{a}(\theta )$ 的形式即可；
3. 用MVDR波束形成方法进行DOA估计，不用知道信源个数。MUSIC、ESPRIT算法等均需要进行信源个数估计；
4. 用MVDR波束形成方法进行DOA估计，分辨率比空间FFT高得多，这一点从下面的仿真中可以看出来。

5.仿真结果

假设一个均匀线阵有16阵元，$\lambda /2$ 布阵；取1024个快拍估计自相关矩阵$\mathbf{R}$，两个信号分别从 $10°,20°$ 方向入射大阵列，信噪比均为 $10dB$。取信号相干和不相干的情况，用本文所述的MVDR波束形成方法和空间FFT及进行DOA估计，结果如下。

5.1 用MVDR波束形成方法进行DOA估计

从仿真结果可以看出，信号非相干时，此方法具有较高的分辨率；但当信号相干是，虽然还是在　$10°,20°$ 方向依然有两个峰值，但是其对应的纵坐标较小，且其余地方也有峰值，这就给后续的检测算法带来了难度。

作为对比，也将空间FFT的结果放在这里，可以看到，MVDR波束形成方法的分辨率要高很多

6.仿真代码

代码在此处，请点击下载

PS：如有错误，请大家不吝指正。谢谢！