回溯法（八皇后问题）及C语言实现

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

       回溯法，又被称为“试探法”。解决问题时，每进行一步，都是抱着试试看的态度，如果发现当前选择并不是最好的，或者这么走下去肯定达不到目标，立刻做回退操作重新选择。这种走不通就回退再走的方法就是回溯法。

回溯VS递归

        很多人认为回溯和递归是一样的，其实不然。在回溯法中可以看到有递归的身影，但是两者是有区别的。

        回溯法从问题本身出发，寻找可能实现的所有情况。和穷举法的思想相近，不同在于穷举法是将所有的情况都列举出来以后再一一筛选，而回溯法在列举过程如果发现当前情况根本不可能存在，就停止后续的所有工作，返回上一步进行新的尝试。

        递归是从问题的结果出发，例如求 n！，要想知道 n！的结果，就需要知道 n*(n-1)! 的结果，而要想知道 (n-1)! 结果，就需要提前知道 (n-1)*(n-2)!。这样不断地向自己提问，不断地调用自己的思想就是递归。

        回溯和递归唯一的联系就是，回溯法可以用递归思想实现。

回溯法与树的遍历

       使用回溯法解决问题的过程，实际上是建立一棵“状态树”的过程。例如，在解决列举集合{1,2,3}所有子集的问题中，对于每个元素，都有两种状态，取还是舍，所以构建的状态树为：

                                                                                           图1 状态树

       回溯法的求解过程实质上是先序遍历“状态树”的过程。树中每一个叶子结点，都有可能是问题的答案。图 1 中的状态树是满二叉树，得到的叶子结点全部都是问题的解。

        在某些情况下，回溯法解决问题的过程中创建的状态树并不都是满二叉树，因为在试探的过程中，有时会发现此种情况下，再往下进行没有意义，所以会放弃这条死路，回溯到上一步。在树中的体现，就是在树的最后一层不是满的，即不是满二叉树，需要自己判断哪些叶子结点代表的是正确的结果。

回溯法解决八皇后问题

       八皇后问题是以国际象棋为背景的问题：有八个皇后（可以当成八个棋子），如何在 8*8 的棋盘中放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一条横线、纵线或者斜线上。

                                                                            图 2 八皇后问题示例（#代表皇后）

八皇后问题是使用回溯法解决的典型案例。算法的解决思路是：

1. 从棋盘的第一行开始，从第一个位置开始，依次判断当前位置是否能够放置皇后，判断的依据为：同该行之前的所有行中皇后的所在位置进行比较，如果在同一列，或者在同一条斜线上（斜线有两条，为正方形的两个对角线），都不符合要求，继续检验后序的位置。
2. 如果该行所有位置都不符合要求，则回溯到前一行，改变皇后的位置，继续试探。
3. 如果试探到最后一行，所有皇后摆放完毕，则直接打印出 8*8 的棋盘。最后一定要记得将棋盘恢复原样，避免影响下一次摆放。 

源代码：

#include <stdio.h>
int Queenes[8]={0},Counts=0;
int Check(int line,int list){
    //遍历该行之前的所有行
    for (int index=0; index<line; index++) {
        //挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标
        int data=Queenes[index];
        //如果在同一列，该位置不能放
        if (list==data) {
            return 0;
        }
        //如果当前位置的斜上方有皇后，在一条斜线上，也不行
        if ((index+data)==(line+list)) {
            return 0;
        }
        //如果当前位置的斜下方有皇后，在一条斜线上，也不行
        if ((index-data)==(line-list)) {
            return 0;
        }
    }
    //如果以上情况都不是，当前位置就可以放皇后
    return 1;
}
//输出语句
void print()
{
    for (int line = 0; line < 8; line++)
    {
        int list;
        for (list = 0; list < Queenes[line]; list++)
            printf("0");
        printf("#");
        for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++){
            printf("0");
        }
        printf("\n");
    }
    printf("================\n");
}
void eight_queen(int line){
    //在数组中为0-7列
    for (int list=0; list<8; list++) {
        //对于固定的行列，检查是否和之前的皇后位置冲突
        if (Check(line, list)) {
            //不冲突，以行为下标的数组位置记录列数
            Queenes[line]=list;
            //如果最后一样也不冲突，证明为一个正确的摆法
            if (line==7) {
                //统计摆法的Counts加1
                Counts++;
                //输出这个摆法
                print();
                //每次成功，都要将数组重归为0
                Queenes[line]=0;
                return;
            }
            //继续判断下一样皇后的摆法，递归
            eight_queen(line+1);
            //不管成功失败，该位置都要重新归0，以便重复使用。
            Queenes[line]=0;
        }
    }
}
int main() {
    //调用回溯函数，参数0表示从棋盘的第一行开始判断
    eight_queen(0);
    printf("摆放的方式有%d种",Counts);
    return 0;
}

因为八皇后摆放方式有92种，这里也不再一一列举。

下面的是个人的一点解决方法，算不上完全解决了这个问题，说到底还是回溯法没有用好，只能输出一种解决方法。

源代码：

int queens[8] = { 0 };
int count = 0;
//check函数，若通过检查返回1，否则返回0
int check(int x, int y)
{
	for (int i = 0; i < x; i++)
	{
		//遍历之前所有行，若有重复 则返回0
		if (queens[i] == y)
			return 0;
	}

	for (int i = 0; i < x; i++)
	{
		int qx, qy;
		qx = i;
		qy = queens[i];
		if (abs(x - qx) == abs(y - qy))
			return 0;
	}
	return 1;
}
//goback,如果发现这一层任何位置都不可以放置皇后，则回退到上一层
void goback()
{
	count--;

	if (queens[count] == 7)
		goback();
	else
		queens[count] =queens[count]++;
	while (check(count, queens[count]) == 0)
	{
		if (queens[count] == 7)
			goback();
		else
			queens[count]++;
	}

}
//显示8皇后位置
void showPos()
{
	countShow++;
	for (int i = 0; i < 8; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 8; j++)
		{
			if (queens[i] == j)
				printf("1");
			else
				printf("0");
		}
		printf("\n");
	}
	for (int i = 0; i < 8; i++)
	{
		printf("%d ", queens[i]);
	}
	printf("第%d个八皇后\n",countShow);
}
int main()
{
	while (count!=8)
	{
		for (int i = 0; i < 8; i++)
		{
			queens[count] = i;
			if (check(count, i))
				break;
			if (i == 7)
				goback();
		}
		count++;
	}
	showPos();
	system("pause");
	return 0;
}