斯坦福大学机器学习——EM算法求解高斯混合模型

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

EM算法（Expection-Maximizationalgorithm，EM）是一种迭代算法，通过E步和M步两大迭代步骤，每次迭代都使极大似然函数增加。但是，由于初始值的不同，可能会使似然函数陷入局部最优。下面来谈谈EM算法以及其在求解高斯混合模型中的作用。

一、   高斯混合模型（Gaussian MixtureModel， GMM）

之前写过高斯判别分析模型，利用参数估计的方法用于解决二分类问题。下面介绍GMM，它是对高斯判别模型的一个推广，也能借此引入EM算法。

假设样本集为并且样本和标签满足联合分布 。这里：服从多项式分布，即（， ， ），且 ；在给定的情况下，服从正态分布，即。这样的模型称为高斯混合模型。

该模型的似然函数为：

如果直接令的各变量偏导为0，试图分别求出各参数，我们会发现根本无法求解。但如果变量是已知的，求解便容易许多，上面的似然函数可以表示为：

利用偏导求解上述式，可分别得到参数的值：

其中,#{ }为指示函数，表示满足括号内条件的数目。

那么，变量无法通过观察直接得到，就称为隐变量，就需要通过EM算法，求解GMM了。下面从Jensen不等式开始，介绍下EM算法：

二、   Jensen不等式（Jensen’s inequality）

引理：如果函数f的定义域为整个实数集，并且对于任意x或存在或函数的Hessian矩阵，那么函数f称为凹函数。或函数的Hessian矩阵H>0，那么函数f为严格凹函数。

（存在或函数的Hessian矩阵，那么函数f称为凸函数；如果或函数的Hessian矩阵 H<0，那么函数f为严格凸函数。）

定理：如果函数f是凹函数，X为随机变量，那么：

不幸的是很多人都会讲Jensen不等式记混，我们可以通过图形的方式帮助记忆。下图中，横纵坐标轴分别为X和f(X)，f(x)为一个凹函数，a、b分别为变量X的定义域，E[X]为定义域X的期望。图中清楚的看到各个量的位置和他们间的大小关系。反之，如果函数f是凸函数，X为随机变量，那么：

Jensen不等式等号成立的条件为：，即X为一常数。

三、   EM算法

假设训练集是由m个独立的样本构成。我们的目的是要对概率密度函数进行参数估计。它的似然函数为：

然而仅仅凭借似然函数，无法对参数进行求解。因为这里的随机变量是未知的。

EM算法提供了一种巧妙的方式，可以通过逐步迭代逼近最大似然值。下面就来介绍下EM算法：

假设对于所有i，皆为随机变量的分布函数。即：。那么：

其中第（2）步至第（3）步的推导就使用了Jensen不等式。其中：f(x)=log x，，因此为凸函数；表示随机变量为概率分布函数为的期望。因此有：

这样，对于任意分布，（3）都给出了的一个下界。如果我们现在通过猜测初始化了一个的值，我们希望得到在这个特定的下，更紧密的下界，也就是使等号成立。根据Jensen不等式等号成立的条件，当为一常数时，等号成立。即：

由上式可得，又，因此。再由上式可得：

上述等式最后一步使用了贝叶斯公示。

EM算法有两个步骤：

（1）通过设置初始化值，求出使似然方程最大的值，此步骤称为E-步（E-step）

（2）利用求出的值，更新。此步骤称为M-步（M-step）。过程如下：

repeat until convergence{

   (E-step) for each i, set

      (M-step) set

｝

那么，如何保证EM算法是收敛的呢？下面给予证明：

假设和是EM算法第t次和第t+1次迭代所得到的参数的值，如果有，即每次迭代后似然方程的值都会增大，通过逐步迭代，最终达到最大值。以下是证明：

不等式（4）是由不等式（3）得到，对于任意和值都成立；得到不等式（5）是因为我们需要选择特定的使得方程在处的值大于在处的值；等式（6）是找到特定的的值，使得等号成立。

最后我们通过图形的方式再更加深入细致的理解EM算法的特点：

由上文我们知道有这样的关系：，EM算法就是不断最大化这个下界，逐步得到似然函数的最大值。如下图所示：

首先，初始化，调整使得与相等，然后求出使得到最大值的；固定，调整，使得与相等，然后求出使得到最大值的；……；如此循环，使得的值不断上升，直到k次循环后，求出了的最大值。

四、   EM算法应用于混合高斯模型（GMM）

再回到GMM：上文提到由于隐变量的存在，无法直接求解参数，但可以通过EM算法进行求解：

E-Step:

 

M-Step:

 

（1）参数
对期望的每个分量求偏导：

令上式为0，得：

（2）参数 

观察M-Step，可以看到，跟相关的变量仅仅有。因此，我们仅仅需要最大化下面的目标函数：

又由于，为约束条件。因此，可以构造拉格朗日算子求目标函数：

求偏导：

令得：

将带入上式得：

最后将带入得：

（3）参数

令上式为零，解得：

五、   总结

EM算法利用不完全的数据，进行极大似然估计。通过两步迭代，逐渐逼近最大似然值。而GMM可以利用EM算法进行参数估计。