【机器学习基础】EM算法

【机器学习基础】EM算法目录一样例二公式描述三参考文献最大期望算法(Expectation-maximizationalgorithm,又译为期望最大化算法),是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。最大期望算法经过两个步骤交替进行计算:第一步是计算期望(E),…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

目录

一 样例      

二 公式描述

三 参考文献


          最大期望算法(Expectation-maximization algorithm,又译为期望最大化算法),是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。

          最大期望算法经过两个步骤交替进行计算:

           第一步是计算期望(E),利用对隐藏变量的现有估计值,计算其最大似然估计值;

           第二步是最大化(M),最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中,这个过程不断交替进行。

一 样例      

        举个例子,抛硬币,有两个硬币,但是两个硬币的材质不同导致其出现正反面的概率不一样,目前我们只有一组观测数据,要求出每一种硬币投掷时正面向上的概率。总共投了五轮,每轮投掷五次,现在先考虑一种简单的情况,假设我们知道这每一轮用的是哪一个硬币去投掷的:

【机器学习基础】EM算法

 

        那么我们拿着这样的一组数据,就可以很轻松的估计出A硬币和B硬币出现正面的概率,如下:

        PA = (3+1+2)/ 15 = 0.4

        PB= (2+3)/10 = 0.5

        现在把问题变得复杂一点,假设我们不知道每一次投掷用的是哪一种硬币,等于是现在的问题加上了一个隐变量,就是每一次选取的硬币的种类。

 

【机器学习基础】EM算法

        那么现在可以想一想,假设我们把每一次硬币的种类设为z,则这五次实验生成了一个5维的向量(z1,z2,z3,z4,z5),现在问题来了,如果我们要根据观测结果去求出PA,PB,那么首先需要知道z,但是如果用最大似然估计去估计z,又要先求出PA,PB。这就产生了一个循环。那么这个时候EM算法的作用就体现出来了,EM算法的基本思想是:先初始化一个PA,PB,然后我们拿着这个初始化的PA,PB用最大似然概率估计出z,接下来有了z之后就用z去计算出在当前z的情况下的PA,PB是多少,然后不断地重复这两个步骤直到收敛。

        有了这个思想之后现在用这个思想来做一下这个例子,假设初始状态下PA=0.2, PB=0.7,然后我们根据这个概率去估计出z:

 

【机器学习基础】EM算法

        按照最大似然估计,z=(B,A,A,B,A),有了z之后我们反过来重新估计一下PA,PB:

         PA = (2+1+2)/15 = 0.33

         PB =(3+3)/10 = 0.6

        可以看到PA,PB的值已经更新了,假设PA,PB的真实值0.4和0.5,那么你在不断地重复这两步你就会发现PA,PB在不断地靠近这两个真实值。

二 公式描述

        假设目标函数表示为:

                                                                             L(\theta)=\prod_{j=1}^{N}P_\theta(y_i)

其中\theta为概率分布P_\theta(y)的参数,在没有隐变量的情况下,我们求解L的最大值的套路是先对L取对数,将连乘的形式转换成累加的形式,然后就可以对未知数\theta进行求导,只需要求得导数为0的位置未知量的值即为目标函数的极大值。但是,如果概率分布中有隐变量存在时,我们用全概率公式把隐变量在上式中体现出来:

全概率公式:

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)

其中A需是一组完备事件组且都有正概率,则对任意B上式都成立。

                                                                 L(\theta)=\prod_{j=1}^{N}\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)

两边同时取对数ln:

                                                         lnL(\theta)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)

从上式中可以看出,如果要按照之前的套路,那就需要对上式进行求偏导,但是由于ln中还包含了求和项,在偏导数中的形式将会非常复杂,而且很难求得解析解。因此需要找到一种办法去求得解析解的近似解,这里就引入了EM算法。为了表述的方便性,在这里用l(\theta)代表lnL(\theta),则:

                                              l(\theta)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)

对于求解近似解,EM算法采用的是迭代的方式不断地逼近真实值,假设第n次迭代的参数值为\theta_n,第n+1次迭代的参数值为\theta_{n+1},那么其实只要满足\theta_n目前是作为已知的值,那么来看一看l(\theta)-l(\theta_n)

l(\theta)-l(\theta_n)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(y_j|z)P_{\theta_n}(z)

由于这里\theta_n是作为常数的,因此右式中的第二项可以不用将隐变量体现出,化简如下:

                    =\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-\sum_{j=1}^{N}lnP_{\theta_n}(y_j)

                    =\sum_{j=1}^{N}\left [ ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-lnP_{\theta_n}(y_j)\right ]

上式中,其实只需要关注求和里面的项就好了,做一个标注,记ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)为I项,记为lnP_{\theta_n}(y_j)II项,接下来分别对这两项进行化简:

I项:

                   ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)=ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)\frac{P_{\theta_n}(z|y_j)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}

上式中的变换是因为\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y)=1

接下来还会用到Jensen不等式,Jensen不等式是这么描述的:

假设f(x)为凸函数,X是随机变量,那么:E[f(X)]>=f(E[X]),通俗的说法是函数的期望大于等于期望的函数。

特别地,如果f是严格凸函数,当且仅当 P\left( X=EX \right) =1 ,即 X 是常量时,上式取等号,即E\left[ f\left( X \right) \right] =f\left( EX \right),如下图所示:

                                                clip_image019

 

 

再观察一下I项,感觉有一些像能够用Jensen不等式进行再一次的化简,下面写的直观一点:

                          =ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)\frac{P_{\theta_n}(z|y_j)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}=ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}

P_{\theta_n}(y_j)当成X,那么上式\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}就是EX,又因为ln函数是凹函数,所以根据Jensen不等式有f(E[X])>=E[f(X)],则

                    ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}\geqslant \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}

II项:

                    lnP_{\theta_n}(y_j)=\left [ lnP_{\theta_n}(y_j) \right ]\cdot \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)

                                     = \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(y_j)

然后再把I-II合并起来看一下:

I-II\geqslant \sum_{j=1}^{N}\left [ \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}-\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(y_j) \right]

            =\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}-lnP_{\theta_n}(y_j) \right ]

           =\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)P_{\theta_n}(y_j)} \right ]

           =\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]

将上式代回l(\theta)-l(\theta_n)

l(\theta)-l(\theta_n)\geqslant \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]

l(\theta)\geqslant \sum_{j=1}^{N}\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]+l(\theta_n)

将右边的这一大串记为Q(\theta|\theta_n),称为下边界函数,EM算法的目的是要取得目标函数的极大值,那么可以通过不断地提升下边界函数值来不断地提升目标函数的值,接下来,再看一下Q(\theta|\theta_n),将其化简为便于优化迭代的形式:

                                        Q(\theta|\theta_n)=l(\theta_n)+ \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]

可以看到在等式的右边,由于我们之前的假设是\theta_n是已知的,那么把已知量和未知量分开:

 

                                                     = \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta}(y_j,z)+l(\theta_n) -\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(z,y_j)

上式中,等号右边的第一项中带未知项,第二项和第三项都是常数,所以接下来的过程就简单了,我们只要对这个式子求偏导\frac{\partial Q(\theta|\theta_n)}{\partial \theta}=0,求得此时取极大值时\theta的取值,这个值就是进入到下一步迭代是的概率分布参数值\theta_{n+1},有了\theta_{n+1}之后就可以获得Q(\theta|\theta_{n+1}),然后不断地迭代直到收敛。图示的话如下:

【机器学习基础】EM算法

 

三 参考文献

1. 如何通俗理解EM算法

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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