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人工势场法-维基百科

人工势场法是由Khatib提出的一种机器人路径规划算法。该算法将目标和障碍物分别看做对机器人有引力和斥力的物体，机器人沿引力与斥力的合力来进行运动。

该法结构简单，便于低层的实时控制，在实时避障和平滑的轨迹控制方面，得到了广泛应用，其不足在于存在局部最优解，容易产生死锁现象，因而可能使移动机器人在到达目标点之前就停留在局部最优点。

From: 人工势场法-维基百科

路径规划-人工势场法（Artifical Potential Field）

引力场 (attractive/gravitation field)

常用的引力函数：
$$U_{att}(q)=\frac{1}{2}\xi {\rho }^2(q,q_{goal})$$

这里的 $\xi$ 是尺度因子，$\rho (q,q_{goal})$ 表示物体当前状态与目标的距离。引力场有了，那么引力就是引力场对距离的导数（类比物理里面 $W=FX$）：
$$F_{att}(q)=-\nabla U_{att}(q)=\xi (q_{goal}-q)$$

斥力场 (repulsive field)

传统的斥力场公式
$$U_{rep}(q)=\{\begin{array}{r}\frac{1}{2}\eta (\frac{1}{\rho (q,q_{obs})}-\frac{1}{{\rho }_0}{)}^2,\text{if}\rho (q,q_{obs})\le {\rho }_0\\ 0,\text{if}\rho (q,q_{obs})>{\rho }_0\end{array}$$

其中，
$\eta$ 是斥力尺度因子，
$\rho (q,q_{obs})$ 代表物体和障碍物之间的距离。
${\rho }_0$ 代表每个障碍物的影响半径。
换言之，离开一定的距离，障碍物就对物体没有斥力影响。

斥力就是斥力场的梯度
$$\begin{array}{rl}{F}_{rep}(q)& =-\nabla U_{rep}(q)\\ & =\{\begin{array}{rlr}& \eta (\frac{1}{\rho (q,q_{obs})}-\frac{1}{{\rho }_0})& \\ & \cdot \frac{1}{{\rho }^2(q,q_{obs})}\nabla \rho (q,q_{obs}),& \text{if}\rho (q,q_{obs})\le {\rho }_0\\ & 0,& \text{if}\rho (q,q_{obs})>{\rho }_0\end{array}\end{array}$$

总场

总的场就是斥力场合引力场的叠加，也就是 $U=U_{att}+U_{rep}$，总的力也是对对应的分力的叠加，如下图所示：

From: 路径规划-人工势场法（Artifical Potential Field）

【机器人路径规划】人工势场法

1.概述

我们打两个比方来说明人工势场法的作用机理。首先，我们把构型空间比作一个电势场平面，机器人（的当前构型）比作空间中一点。如果让机器人的起点和障碍物带正电荷，终点带负电荷，机器人带正电荷。由于同性电荷相斥，异性电荷相吸的原理，机器人将会在电场力的作用下沿着某条路径向终点移动 ，并避开带正电荷的障碍物，如图1所示。

类似的，我们也可以把构型空间比作一个有起伏地形的区域。其中，起点和障碍物位于较高的区域，终点位于较低的区域，机器人视作一个球体。那么在重力的作用下，机器人将沿着某条轨迹从较高的起点滑落到较低的终点，并避开较高的障碍物。如图2[2]所示。

以上的两个例子其实就是电势场与重力势场的作用机制，电势场和重力势场都是自然势场。而人工势场法就是在已知起点、终点和障碍物位置的情况下，构建一个人工势场来模仿这种作用机制。人工势场法的优点在于，它其实是一种反馈控制策略，对控制和传感误差有一定的鲁棒性；缺点在于存在局部极小值问题，因此不能保证一定能找到问题的解。

From: 【机器人路径规划】人工势场法

Paper

M. Zhang, Y. Shen, Q. Wang and Y. Wang, “Dynamic artificial potential field based multi-robot formation control,” 2010 IEEE Instrumentation & Measurement Technology Conference Proceedings, 2010, pp. 1530-1534, doi: 10.1109/IMTC.2010.5488238.

close all;clear

density = 0.2;
Grid_X = 0:density:10;
Grid_Y = 0:density:10;
Basic_Z = ones(length(Grid_X), length(Grid_Y));

P0 = 20;
a = 20; %斥力影响因素
b = 10; %引力影响因素


Goal = [10,10]; %目标
Obs = [ 3, 2;
        3, 3;
        5, 7;
      5.3, 6;
        6, 6;
        2, 4;
        3, 8;
        4, 7;
        8, 9]; %障碍物坐标
for k1 = 1: length(Grid_X)
    for k2 =1:length(Grid_Y)
        X_c = Grid_X(k1);
        Y_c = Grid_Y(k2);
        rre =[];
        
        rat = sqrt((Goal(1)-X_c)^2 +(Goal(2)-Y_c)^2);
        
        Y_rre = [];
        Y_ata = [];
        
        for k3 = 1:length(Obs)
            rre(k3) =    sqrt((Obs(k3,1)-X_c)^2 +(Obs(k3,2)-Y_c)^2);
            Y_rre(k3) = a*(1/rre(k3)  - 1/P0 ) *1/(rre(k3)^2); %基本斥力场公式
            if  isinf(Y_rre(k3))==1|| Y_rre(k3)>150 %为显示效果做的限制处理
                Y_rre = 150;
            end
        end
        Y_ata = b*rat; %基本引力场公式，注意这里引力只有一个值
        Field_rre(k1,k2) = sum(Y_rre);
        Field_ata(k1,k2) =  Y_ata;
    end
end

SUM = Field_rre  + Field_ata;
surf(Grid_X,Grid_Y,SUM) %总力场

Matlab 代码

人工势场算法 Matlab版源码

自己编写的 Matlab

1. 仅考虑引力的情况

% 自写人工势场法测试函数
% 说明：
% X 轴：时间 time
% Y 轴：小车横坐标
% Z 轴：小车纵坐标
% 初始位置：[0 0]'
% 目标位置：[10 10]'

clear

P0 = [0 0]';
Pt(:,1) = P0;
PGoal = [10 10]';
Ut(:,1) = [0 0]';

% 时间参数
tBegin = 0;
tEnd = 10;
dT = 0.01;
T(1,1) = tBegin;
times = (tEnd - tBegin)/dT;

% 其他参数
xi = 0.8;

for time=1:times
    T(1,time+1) = T(1,time) + dT;
    % 引力
    FGravitation = xi * (PGoal - Pt(:,time));
    % 斥力
    FRepulsive = 0;
    % 合力
    Ut(:,time+1) = FGravitation + FRepulsive;
    % 更新位置
    Pt(:,time+1) = Pt(:,time) + dT * Ut(:,time);
end

figure(1)
plot3(T,Pt(1,:),Pt(2,:))
xlabel('Time');
ylabel('XPosition');
zlabel('YPosition');
grid on

figure(2)
plot3(T,Ut(1,:),Ut(2,:))
xlabel('Time');
ylabel('XSpeed');
zlabel('YSpeed');
grid on