大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
在推导公式和计算中,常常能碰到矩阵乘以其矩阵转置,在此做个总结。
1.假设矩阵A是一个 m ∗ n m*n m∗n 矩阵,那么
A ∗ A T A*A^T A∗AT 得到一个 m ∗ m m*m m∗m 矩阵, A T ∗ A A^T*A AT∗A 得到一个 n ∗ n n*n n∗n 的矩阵,这样我们就能得到一个方矩阵。
看一个例子:
X θ = H X \theta =H Xθ=H 求解 θ \theta θ.
X T X θ = X T H X^TX\theta =X^TH XTXθ=XTH 这个矩阵X我们不能确定是否是方矩阵,所以我们在其左侧同时乘以X矩阵的转置,这样 就在 θ \theta θ 的左侧得到一个方矩阵。
( X T X ) − 1 X T X θ = ( X T X ) − 1 X T H (X^TX)^{-1}X^TX\theta =(X^TX)^{-1}X^TH (XTX)−1XTXθ=(XTX)−1XTH 再在等式的两边乘以 X T X X^TX XTX的逆,就变成了单位矩阵 I I I和 θ \theta θ相乘,这样我们就得到了 θ \theta θ的解:
θ = ( X T X ) − 1 X T H \theta=(X^TX)^{-1}X^TH θ=(XTX)−1XTH
2.对称矩阵
如果方阵A满足 A T = A A^T=A AT=A,就称A为对称矩阵。
假设 A = X T X A=X^TX A=XTX,A的转置 A T = ( X T X ) T = X T X = A A^T=(X^TX)^T=X^TX=A AT=(XTX)T=XTX=A,所以我们可以说 ( X T X ) (X^TX) (XTX)是一个对称矩阵。对称矩阵的特征向量两两正交。 1
3.奇异值分解(SVD)
我们可以用与A相关的特征分解来解释A的奇异值分解。A的左奇异向量是 A A T AA^T AAT的特征向量,A的右奇异向量是 A T A A^TA ATA的特征向量,A的非零奇异值是 A T A A^TA ATA特征值的平方根,同时也是 A A T AA^T AAT特征值的平方根。 2
Reference:
发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/147360.html原文链接:https://javaforall.cn
【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛
【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...