数模(6):Leslie矩阵人口模型

数模(6):Leslie矩阵人口模型上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测,但预测不够精细。我们知道在正常社会条件或自然条件下,生育率与死亡率是与群体的年龄构成息息相关的。我们需要对整个群体按年龄进行层次划分,构建与年龄相联系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩阵模型。Leslie矩阵介绍我们把整个社会中的人群按年龄等距分成n组,每组中该年的人口总数…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测,但预测不够精细。我们知道在正常社会条件或自然条件下,生育率与死亡率是与群体的年龄构成息息相关的。我们需要对整个群体按年龄进行层次划分,构建与年龄相联系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩阵模型。

Leslie矩阵介绍

我们把整个社会中的人群按年龄等距分成n组,每组中该年的人口总数为 a i , i = 1 , 2 , . . . , n a_i,i=1,2,…,n ai,i=1,2,...,n,每组人口的每年的普遍存活率为 c i , i = 1 , 2 , . . . , n − 1 c_i,i=1,2,…,n-1 ci,i=1,2,...,n1(设最后一组下一年全部死亡),每组人口的每年普遍生育率为 b i , i = 1 , 2 , . . . , n b_i,i=1,2,…,n bi,i=1,2,...,n,则下一年每组中的人口总数 a i ′ , i = 1 , 2 , . . . , n a’_i,i=1,2,…,n ai,i=1,2,...,n就满足递推关系式 { a i ′ = a i − 1 c i − 1 , i = 2 , 3 , . . . , n a 1 ′ = ∑ i = 1 n a i b i \begin{cases}a’_i=a_{i-1}c_{i-1},i=2,3,…,n\\a’_1=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\end{cases} {
ai=ai1ci1,i=2,3,...,na1=i=1naibi

该式可写成矩阵乘向量的形式:
a ′ ⃗ = ( b 1 b 2 . . . b n − 1 b n c 1 0 . . . 0 0 0 c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . c n − 1 0 ) ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T \vec{a’}= \left( \begin{matrix} b_1&b_2&…&b_{n-1}&b_n\\ c_1&0&…&0&0\\ 0&c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&…&c_{n-1}&0 \end{matrix} \right) (a_1,a_2,…,a_n)^T a
=
b1c100b20c20............bn100cn1bn000(a1,a2,...,an)T

该式中左边的矩阵就是Leslie矩阵。

Leslie矩阵性质

  1. Leslie矩阵有唯一的单重正特征值 λ 1 \lambda_1 λ1,对应的特征向量 x ⃗ 1 = ( 1 , b 1 / λ 1 , c 1 c 2 / λ 1 2 , . . . , c 1 c 2 . . . c n − 1 / λ 1 n − 1 ) T \vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,…,c_1c_2…c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T x
    1
    =
    (1,b1/λ1,c1c2/λ12,...,c1c2...cn1/λ1n1)T

证明:设n阶的该矩阵为Ln,n阶的特征多项式为Pn,则有
P n = ∣ λ I − L n ∣ = ∣ λ − b 1 − b 2 . . . − b n − 1 − b n − c 1 λ . . . 0 0 0 − c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . − c n − 1 λ ∣ P_n=|\lambda I-L_n|= \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&…&-b_{n-1}&-b_n\\ -c_1&\lambda&…&0&0\\ 0&-c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&…&-c_{n-1}&\lambda \end{matrix} \right| Pn=λILn=λb1c100b2λc20............bn100cn1bn00λ
= > P n = λ ∣ λ − b 1 − b 2 . . . − b n − 2 − b n − 1 − c 1 λ . . . 0 0 0 − c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . − c n − 2 λ ∣ + c n − 1 ∣ λ − b 1 − b 2 . . . − b n − 3 − b n − 1 − c 1 λ . . . 0 0 0 − c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . − c n − 2 0 ∣ =>P_n=\lambda \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&…&-b_{n-2}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&…&0&0\\ 0&-c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&…&-c_{n-2}&\lambda \end{matrix} \right|+c_{n-1} \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&…&-b_{n-3}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&…&0&0\\ 0&-c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&…&-c_{n-2}&0 \end{matrix} \right| =>Pn=λλb1c100b2λc20............bn200cn2bn100λ+cn1λb1c100b2λc20............bn300cn2bn1000
= > P n = λ P n − 1 + c n − 1 ( − b n − 1 ) ( c 1 c 2 . . . c n − 2 ) ( − 1 ) n − 2 ( − 1 ) n − 2 = > P n = λ P n − 1 − b n − 1 c 1 c 2 . . . c n − 1 =>P_n=\lambda P_{n-1}+c_{n-1}(-b_{n-1})(c_1c_2…c_{n-2})(-1)^{n-2}(-1)^{n-2}=> P_n=\lambda P_{n-1}-b_{n-1}c_1c_2…c_{n-1} =>Pn=λPn1+cn1(bn1)(c1c2...cn2)(1)n2(1)n2=>Pn=λPn1bn1c1c2...cn1
= > P n = λ P n − 1 − β n − 1 = > P n = λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = > =>P_n=\lambda P_{n-1}-\beta_{n-1}=> P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-…-\beta_n=> =>Pn=λPn1βn1=>Pn=λnβ1λn1β2λn2...βn=>
0 = λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = > P n = λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = > 0=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-…-\beta_n=>P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-…-\beta_n=> 0=λnβ1λn1β2λn2...βn=>Pn=λnβ1λn1β2λn2...βn=>
1 = β 1 λ − 1 + β 2 λ − 2 + . . . + β n λ − n 1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+…+\beta_n\lambda^{-n} 1=β1λ1+β2λ2+...+βnλn右边的函数是单调连续减函数,且 λ \lambda λ无穷大时趋近0、 λ \lambda λ趋近于0时趋近正无穷,所以有唯一正特征根 λ 1 \lambda_1 λ1,对应的特征向量为 x ⃗ 1 = ( 1 , b 1 / λ 1 , c 1 c 2 / λ 1 2 , . . . , c 1 c 2 . . . c n − 1 / λ 1 n − 1 ) T \vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,…,c_1c_2…c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T x
1
=
(1,b1/λ1,c1c2/λ12,...,c1c2...cn1/λ1n1)T

  1. 所有负的特征值都满足 ∣ λ ∣ < λ 1 |\lambda|<\lambda_1 λ<λ1,称 λ 1 \lambda_1 λ1严格优势特征值

证明:设有特征值满足 ∣ λ ∣ ≥ λ 1 = > λ ≥ − λ 1 |\lambda|\geq\lambda_1=>\lambda\geq-\lambda_1 λλ1=>λλ1,则有其依然满足 1 = β 1 λ − 1 + β 2 λ − 2 + . . . + β n λ − n 1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+…+\beta_n\lambda^{-n} 1=β1λ1+β2λ2+...+βnλn ,而 1 = β 1 λ 1 − 1 + β 2 λ 1 − 2 + . . . + β n λ 1 − n ≥ β ∣ λ − 1 ∣ + β ∣ λ − 2 ∣ + . . . + β ∣ λ − n ∣ > β λ − 1 + β λ − 2 + . . . + β λ − n 1=\beta_1\lambda_1^{-1}+\beta_2\lambda_1^{-2}+…+\beta_n\lambda_1^{-n} \geq\beta|\lambda^{-1}|+\beta|\lambda^{-2}|+…+\beta|\lambda^{-n}|>\beta\lambda^{-1}+\beta\lambda^{-2}+…+\beta\lambda^{-n} 1=β1λ11+β2λ12+...+βnλ1nβλ1+βλ2+...+βλn>βλ1+βλ2+...+βλn,矛盾

  1. 对于任意人口分布向量 x ⃗ \vec x x
    ,其迭代k次后的结果有 lim ⁡ k − > + ∞ x ⃗ ( k ) λ 1 k = c x ⃗ 1 \displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=c\vec x_1 k>+limλ1kx
    (k)
    =
    cx
    1
    (c为常数),即迭代了无穷多次时,人口的分布比例趋近于特征向量 x ⃗ 1 \vec x_1 x
    1
    ,而人口增长率趋近于特征值 λ 1 \lambda_1 λ1

证明:仅对可化为对角阵的情况进行证明(一般情况需要用到约旦标准型)。 lim ⁡ k − > + ∞ x ⃗ ( k ) λ 1 k = lim ⁡ k − > + ∞ L k x ⃗ ( 0 ) λ 1 k = lim ⁡ k − > + ∞ ( P d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) P − 1 ) k x ⃗ ( 0 ) λ 1 k = lim ⁡ k − > + ∞ P d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , . . . , λ n k ) P − 1 x ⃗ ( 0 ) λ 1 k = lim ⁡ k − > + ∞ P d i a g ( 1 , λ 2 k / λ 1 k , . . . , λ n k / λ 1 k ) P − 1 x ⃗ ( 0 ) \displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{L^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{(Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n)P^{-1})^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{Pdiag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,…,\lambda_n^k)P^{-1}\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,\lambda_2^k/\lambda_1^k,…,\lambda_n^k/\lambda_1^k)P^{-1}\vec x^{(0)} k>+limλ1kx
(k)
=
k>+limλ1kLkx
(0)
=
k>+limλ1k(Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P1)kx
(0)
=
k>+limλ1kPdiag(λ1k,λ2k,...,λnk)P1x
(0)
=
k>+limPdiag(1,λ2k/λ1k,...,λnk/λ1k)P1x
(0)
,由于 λ 1 \lambda_1 λ1严格优势特征值,有 原 式 = lim ⁡ k − > + ∞ P d i a g ( 1 , 0 , . . . , 0 ) P − 1 x ⃗ ( 0 ) = ( x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . , x ⃗ n ) d i a g ( 1 , 0 , . . . , 0 ) ( x ⃗ 1 ′ , x ⃗ 2 ′ , . . . , x ⃗ n ′ ) ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T = c x ⃗ 1 原式=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,0,…,0)P^{-1}\vec x^{(0)}=(\vec x_1,\vec x_2,…,\vec x_n)diag(1,0,…,0)(\vec x’_1,\vec x’_2,…,\vec x’_n)(a_1,a_2,…,a_n)^T=c\vec x_1 =k>+limPdiag(1,0,...,0)P1x
(0)
=
(x
1
,x
2
,...,x
n
)diag(1,0,...,0)(x
1
,x
2
,...,x
n
)(a1,a2,...,an)T=
cx
1

总结

列出Leslie矩阵,我们即可对人口年龄分布进行迭代。且无论一开始的人口分布向量如何,人口比例在迭代无数次之后总趋近于特征向量 x ⃗ 1 \vec x_1 x
1
。而人口增长率趋近于特征值 λ 1 \lambda_1 λ1,说明特征值 λ 1 \lambda_1 λ1可以用于预测人口增长速度,对于计生有重要意义。

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