数模(6)：Leslie矩阵人口模型

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测，但预测不够精细。我们知道在正常社会条件或自然条件下，生育率与死亡率是与群体的年龄构成息息相关的。我们需要对整个群体按年龄进行层次划分，构建与年龄相联系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩阵模型。

Leslie矩阵介绍

我们把整个社会中的人群按年龄等距分成n组，每组中该年的人口总数为$a_i,i=1,2,...,n$，每组人口的每年的普遍存活率为$c_i,i=1,2,...,n-1$(设最后一组下一年全部死亡)，每组人口的每年普遍生育率为$b_i,i=1,2,...,n$，则下一年每组中的人口总数$a_i^{\prime },i=1,2,...,n$就满足递推关系式$\{\begin{array}{l}{a}_i^{\prime }=a_{i-1}{c}_{i-1},i=2,3,...,n\\ a_1^{\prime }={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i\end{array}$

该式可写成矩阵乘向量的形式：
$$\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& ...& b_{n-1}& b_n\\ c_1& 0& ...& 0& 0\\ 0& c_2& ...& 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \\ 0& 0& ...& c_{n-1}& 0\end{array}\right)(a_1,a_2,...,a_n{)}^T$$

该式中左边的矩阵就是Leslie矩阵。

Leslie矩阵性质

1. Leslie矩阵有唯一的单重正特征值${\lambda }_1$，对应的特征向量${\vec{x}}_1=(1,b_1/{\lambda }_1,c_1{c}_2/{\lambda }_1^2,...,c_1{c}_2...c_{n-1}/{\lambda }_1^{n-1}{)}^T$

证明：设n阶的该矩阵为Ln，n阶的特征多项式为Pn，则有
$$P_n=|\lambda I-L_n|=\left|\begin{array}{cccccc}\lambda -b_1& -b_2& ...& -b_{n-1}& -b_n& \\ -c_1& \lambda & ...& 0& 0& \\ 0& -c_2& ...& 0& 0& \\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \\ 0& 0& ...& -c_{n-1}& \lambda & \end{array}\right|$$
$$=>P_n=\lambda \left|\begin{array}{cccccc}\lambda -b_1& -b_2& ...& -b_{n-2}& -b_{n-1}& \\ -c_1& \lambda & ...& 0& 0& \\ 0& -c_2& ...& 0& 0& \\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \\ 0& 0& ...& -c_{n-2}& \lambda & \end{array}\right|+c_{n-1}\left|\begin{array}{cccccc}\lambda -b_1& -b_2& ...& -b_{n-3}& -b_{n-1}& \\ -c_1& \lambda & ...& 0& 0& \\ 0& -c_2& ...& 0& 0& \\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \\ 0& 0& ...& -c_{n-2}& 0& \end{array}\right|$$
$$=>P_n=\lambda P_{n-1}+c_{n-1}(-b_{n-1})(c_1{c}_2...c_{n-2})(-1{)}^{n-2}(-1{)}^{n-2}=>P_n=\lambda P_{n-1}-b_{n-1}{c}_1{c}_2...c_{n-1}$$
$$=>P_n=\lambda P_{n-1}-{\beta }_{n-1}=>P_n={\lambda }^n-{\beta }_1{\lambda }^{n-1}-{\beta }_2{\lambda }^{n-2}-...-{\beta }_n=>$$
$$0={\lambda }^n-{\beta }_1{\lambda }^{n-1}-{\beta }_2{\lambda }^{n-2}-...-{\beta }_n=>P_n={\lambda }^n-{\beta }_1{\lambda }^{n-1}-{\beta }_2{\lambda }^{n-2}-...-{\beta }_n=>$$
$$1={\beta }_1{\lambda }^{-1}+{\beta }_2{\lambda }^{-2}+...+{\beta }_n{\lambda }^{-n}$$右边的函数是单调连续减函数，且$\lambda$无穷大时趋近0、$\lambda$趋近于0时趋近正无穷，所以有唯一正特征根${\lambda }_1$，对应的特征向量为${\vec{x}}_1=(1,b_1/{\lambda }_1,c_1{c}_2/{\lambda }_1^2,...,c_1{c}_2...c_{n-1}/{\lambda }_1^{n-1}{)}^T$

2. 所有负的特征值都满足$|\lambda |<{\lambda }_1$，称${\lambda }_1$为严格优势特征值

证明:设有特征值满足$|\lambda |\ge {\lambda }_1=>\lambda \ge -{\lambda }_1$，则有其依然满足$1={\beta }_1{\lambda }^{-1}+{\beta }_2{\lambda }^{-2}+...+{\beta }_n{\lambda }^{-n}$ ，而 $1={\beta }_1{\lambda }_1^{-1}+{\beta }_2{\lambda }_1^{-2}+...+{\beta }_n{\lambda }_1^{-n}\ge \beta |{\lambda }^{-1}|+\beta |{\lambda }^{-2}|+...+\beta |{\lambda }^{-n}|>\beta {\lambda }^{-1}+\beta {\lambda }^{-2}+...+\beta {\lambda }^{-n}$，矛盾

3. 对于任意人口分布向量$\vec{x}$，其迭代k次后的结果有$\underset{k->+\infty }{\lim }\frac{{\vec{x}}^{(k)}}{{\lambda }_1^k}=c{\vec{x}}_1$(c为常数)，即迭代了无穷多次时，人口的分布比例趋近于特征向量${\vec{x}}_1$，而人口增长率趋近于特征值${\lambda }_1$

证明：仅对可化为对角阵的情况进行证明（一般情况需要用到约旦标准型）。$\underset{k->+\infty }{\lim }\frac{{\vec{x}}^{(k)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k->+\infty }{\lim }\frac{L^k{\vec{x}}^{(0)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k->+\infty }{\lim }\frac{(Pdiag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)P^{-1}{)}^k{\vec{x}}^{(0)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k->+\infty }{\lim }\frac{Pdiag({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,...,{\lambda }_n^k)P^{-1}{\vec{x}}^{(0)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k->+\infty }{\lim }Pdiag(1,{\lambda }_2^k/{\lambda }_1^k,...,{\lambda }_n^k/{\lambda }_1^k)P^{-1}{\vec{x}}^{(0)}$，由于${\lambda }_1$为严格优势特征值，有$原式=\underset{k->+\infty }{\lim }Pdiag(1,0,...,0)P^{-1}{\vec{x}}^{(0)}=({\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2,...,{\vec{x}}_n)diag(1,0,...,0)({\vec{x}}_1^{\prime },{\vec{x}}_2^{\prime },...,{\vec{x}}_n^{\prime })(a_1,a_2,...,a_n{)}^T=c{\vec{x}}_1$

总结

列出Leslie矩阵，我们即可对人口年龄分布进行迭代。且无论一开始的人口分布向量如何，人口比例在迭代无数次之后总趋近于特征向量${\vec{x}}_1$。而人口增长率趋近于特征值${\lambda }_1$，说明特征值${\lambda }_1$可以用于预测人口增长速度，对于计生有重要意义。