角动量守恒与陀螺力矩[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

角动量守恒与陀螺力矩

角动量守恒定律．

这个定律可以用快转的轮子和它下面的回转器来演示：见图20-1．假如我们站在一个转椅上，并拿着水平轴转动的轮子，这个轮子绕水平轴有一个角动量L0, L0=Jω其中J为轮子绕?轴的转动惯量，ω为绕?轴的角速度（图20-2所示坐标系），绕竖直轴的角动量不会因为椅子的支轴（无摩擦）而改变，假如我们把轮子用手将原来水平的转轴抬起来到竖直的方向，如图20-1所示的未态，这时轮子就具有了绕竖直轴的角动量，因为这里它在绕竖直轴转动，但是对整个系统而言，整个过程并无外力作用，所以系统是不可能有竖直分量的角动量，因此，人和椅子必需沿与轮子自旋相反的方向转动，以与轮子转动平衡，这就是角动量守恒的体现。

首先我们来较详细地分析一下刚才叙述的事情．使我们感郅惊奇和需要了解的是，当我们把回转器的轴转向竖直方向时，从哪里来的力使我和椅子转动呢？图20-2表示从初态上抬Δθ时的微观情况。

（注意θ的单位是rad,即半径倍数，请忘记360°概念）

轮子绕y轴快速转动，因此，它的角速度和角动量是沿着绕它转动的轴上，如图所示ω0和L0，想使轮子以很小的角速度Ω绕?轴转动，那么需要多大的力呢？在经过一个很短的时间Δt之后，轴转一个新的位置，与水平方向成Δθ角，因为角动量的主部分是由于绕?轴旋转产生的（很小一部分是由慢慢转动引起的），所以我们看一角动量矢量发生了变化。角动量是发生了什么变化呢？角动量的大小没有变，但是它的方向改变了Δθ，这样，矢量ΔL的大上为ΔL=L0Δθ，因此，转矩，即角动量随时间的变化率是

τ=ΔL/Δt=L0Δθ/Δt=L0Ω

考虑矢量的方向有

τ=Ω×L0

如果ΩL0方向如图20-2所示，都在水平方向，就在竖直方向。为了产生这个转矩，一个要有水平方向的力F 和-F 作用于轴的两端。这些力是如何作用的呢？在我们试图使轮子的轴往竖直方向转动时，通过我们的手施加了这种作用力，但是牛顿第三定律要求有小相等方向相反的力（即大小相等方向相反的转矩）作用在人身上，这就使人绕竖直轴?沿相反方向转动。

这个结果可以推广到快速旋转的陀螺上去．对于常见的旋转陀螺，作用在它质心上的重力提供了一个相对于与地板接触点的转矩τ（见图20-3)．这个转矩在水平方向，它使陀螺的轴绕竖直方向在一个圆锥上进动．假如Ω 是（竖直方向的）进动角速度，我们再次发现

τ=dL/dt=Ω×L0

因此，当我们对快速旋转着的陀螺施加转矩时，其进动角速度的方向就在转矩的方向上，也就是与产生转矩的力垂直的方向。

重力的作用是进动的根源，有如回转器中人的作用力F 和-F（或转矩τ），但人们体会这个转矩的大小是由τ =Ω×L0 计算式得到的，即重力对于竖直方向的转矩必然表现为进动角速度Ω.

注意离清，力的作用是陀螺转矩和进动的源头，但由于人们易测量的是进动的角速度和陀螺自转角动量，所以用进动角速度和陀螺自转角动量来计算这个陀螺转矩。我们可以用τ=r×F 和τ=Ω×L0 两个叉积式来验证其方向的一置性.

图20-3中Ω L0  F r都在一个平面中，而τ 垂直这个平面，在水平平面上转动驱使进动发生。

另一方面由图可知陀螺章动角度越大陀螺力矩τ 越大，表现出来的进动角速度Ω也越大（假设L0恒定，，即进动越快。生活中感沉陀螺倒之前进动越来越快也是这个原因（生活中玩陀螺L0越来越小，更加快陀螺倾倒 ）。

回转力矩(gyroscopic moment)亦称陀螺力矩.动力学的基本概念之一指转子绕其轴转动时维持转轴方向不变的惯性力矩.它和转动惯量与角速度的乘积成正比.