大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

前缀和

对于 a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
前缀和 Si = a1 + a2 + a3 + a4 +…+ ai，S0 = 0
其中，[l, r] 区间的前缀和为：Sr – S(l-1)

题目链接: 前缀和.

题目：
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], s[N];

int main()
{ 
   
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];//前缀和初始化
    
    while(m--)
    { 
   
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

二维前缀和

对于二维数组 A[][]，S[ i ] [ j ] 表示 A[ i ] [ j ] 左上角全部元素的和

假如想知道 A[X1][Y1] 到 A[X2][Y2] 之间的前缀和，也就是下面图中蓝色的部分，应该用这个式子来算：
S[X2][Y2] – S[X2][Y1-1] – S[X1-1][Y2] + S[X1 – 1][Y1 – 1]
其中 S[X2][Y1-1] + S[X1-1][Y2] – S[X1 – 1][Y1 – 1] 为黄色 L 型部分
其中，S[i][j] = S[i – 1][j] + S[i][j – 1] – S[i – 1][j – 1] + A[i][j]

如果感觉上图不太清楚的，可以对着公式看下面的图，绿色区间为 S[3][3]

红色框框住的部分为 A[3][2] 到 A[5][3] 之间的前缀和，对照公式
S[X2][Y2] – S[X2][Y1-1] – S[X1-1][Y2] + S[X1 – 1][Y1 – 1]
也就是说 ，此时前缀和为：S[5][3] – S[5][1] – S[2][3] + S[2][1]

（注：因为我懒得画图，所以以上两盗用了 y 总的图。。。）
以下为题目和实现代码

例题：子矩阵的和

题目链接: 子矩阵的和.

题目：
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：
17
27
21

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], s[N][N];
int n, m, q;

int main()
{ 
   
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    { 
   
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        { 
   
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];//前缀和计算
    
    while(q--)
    { 
   
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 -1]);//计算部分和
    }
    
    return 0;
}

差分数组

对于数组 a1, a2, a3, …, an
构造数组 b1, b2, b3, b4, …,bn
使得数组 a 为数组 b 的前缀和，即 ai = b1 + b2 + b3 +… + bi
可知：
b1 = a1 – 0
b2 = a2 – a1
b3 = a3 – a2
…
bn = an – an-1
所以，数组 b 称为数组 a 的差分数组，可见差分与前缀和互为逆运算

差分数组可以用在以下情况中：如果我们需要对 a 数组中从 l 到 r 的每个元素都加上一个数 c，那么，如果只是用循环的方法去遍历a 数组，复杂度可能是 O(n)，但是，如果用差分数组来做，复杂度可以降低到 O(1)

解释如下：
对于 a 数组来说
a1, a2, ..., al + c, al+1 +c, ... , ar + c, ar+1,...
用 b 数组来做，只需要将 bl + c，因为 a 是 b 数组的前缀和，所以从 al 开始，
每个元素都加了 c，之后让 br+1 - c，从 ar+1 开始，加 c 减 c 抵消，ar+1 不变
ai = b1 + b2 +.... + bi
|—————————————————|——————————————|——|——————————————————————|
b1                bl             br br+1
                  +c                -c

具体做的时候，我们需要根据 a[] 数组求出 b[] 数组，假设 a[] 数组最初都是 0，那么 b[] 数组也都是 0，之后将 a[] 数组的形成看作是向每个元素位置插入 ai，那么， b[] 数组可以用在 bi 位置插入 ai，在 bi+1 位置减去 ai 的方法生成。而且这个插入函数还可以解决后面 al 到 ar 都加上一个数的问题，一举两得。具体的话，看看下面的程序就明白啦~

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], b[N];
int n, m;

void insert(int l, int r, int c)
{ 
   
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{ 
   
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);//输入 a[] 数组
    
    for(int j = 1; j <= n; j++) insert(j, j, a[j]);//生成 a[] 数组的差分数组 b[]
    
    while(m--)
    { 
   
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l,&r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] += b[i - 1];//将 b[] 变为他自己的前缀和
    for(int j = 1; j <= n; j ++) printf("%d ", b[j]);//输出，即为改变后的 a[] 数组
    return 0;
}

二维差分矩阵

假如想令 a[x1][y1] 到 a[x2][y2] 之间的数都加上 c，也就是下面图中绿色的部分，那么我们可以用它的差分数组 b[][] 来计算。首先给整个彩色框中的元素（即从 a[x1][y1] 开始的右下角元素）都加上 c，之后，绿色部分外的黄色+红色部分，减去 c。黄色与红色重合部分，因为在前面的操作中已经加了一个 c ，减了两个 c，所以还需要加一个 c，保持原状

具体题目及代码如下：

例题：差分矩阵

题目链接: 差分矩阵.

题目：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1, y1, x2, y2, c，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c，请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数 n, m, q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int n, m, p;
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{ 

b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{ 

scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
scanf("%d", &a[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
insert(i, j, i, j, a[i][j]);//构建差分数组 b
while(p--)
{ 

int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
insert(x1, y1, x2, y2, c);//处理本题问题
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i -1][j -1];//求 b 数组的前缀和，即 a 数组。（可以通过画图来理解）
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{ 

for(int j = 1; j <= m; j ++)
printf("%d ", b[i][j]);
puts(" ");//利用puts换行
}
return 0; 
}