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1、实验2 插 值 与 拟 合实验内容：1. 三种插值方法2用Matlab 计算插值3拟合的基本原理4用Matlab 拟合曲线实验目的： 掌握插值与拟合方法一、 概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用l 机械制造：汽车外观设计l 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域(CT)2. 概念的定义l 插值： 基于a,b区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。若要求(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点l 逼近： 当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二。

2、乘法l 光顾： 曲线的拐点不能太多，条件：二阶几何连续不存在多余拐点曲率变化较小l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、 插值理论设函数y=f(x)在区间a,b上连续，在a,b上有互异点x0,x1,xn处取值y0,y1,yn 。如果函数(x)在点xi上满足(xi)=yi (i=0,1,2,n)，则称(x)是函数y=f(x)的插值函数，x0,x1,xn是插值节点。若此时(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。显然 f(x)(x)，xa,b1. 拉格朗日插值构造n次多项式Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+。

3、ynln (x)，这是不超过n次的多项式，其中基函数lk(x)=显然lk (x)满足lk (xi)=此时 Pn(x)f(x),误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)= 其中(a,b)且依赖于x，=(x-x0)(x-x1)(x-xn)很显然，当n=1、插值节点只有两个xk,xk+1时 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)其中基函数lk(x)= lk+1(x)= 2. 牛顿插值构造n次多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+f(x0,x1,x2,xn)(x-x0)(x-x1)(x-xn)称为牛顿插值多项式，其中(二个节。

4、点，一阶差商)(三个节点，二阶差商)(n+1个节点，n阶差商)注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项Rn(x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,xn)n+1(x),其中n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)3. 分段插值-子区间内，避免函数在某些区间失真1) 线性插值已知n+1个不同节点x0,x1,xn ,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足l P(x)在a,b上连续l P(xk)=ykl P(x)在xi,xi+1上是线性函数，P(x)=2) 两点带导数插值-避免尖点、一阶连续区间a,b上两个互异节点xi,xi。

5、+1，已知实数y i,y i+1,m i,m i+1，为了构造次数不大于3的多项式满足条件 引入,使之满足 可以求出此时=+，其中4. 三次样条插值-二阶可导对于给定n+1个不同节点x0,x1,xn及函数值y0,y1,yn，其中a=x0n。由于该超定方程个数多于未知数个数，当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时无解。现在求其最小二乘解，它就是使余向量rx=b-Ax的谱范数rx2=(rxTrx)1/2 最小的n维向量。具体解法可以通过求解该方程组的法方程组ATAx=ATb获得。2. Matlab的实现1)线性拟合及多项式拟合ployfit(x,y,i)以最高次为i的多项式拟合数据点(x,y)例1 x=。

6、0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;coef=polyfit(x,y,1);a1=coef(1),a0=coef(2);ybest=a1*x+a0;s=sum(y-ybest).2);axis(-1,6,-20,120);plot(x,y, *)hold onplot(x,ybest)例2如下给出从二阶到十阶多项式拟合曲线的比较程序，并给出拟合曲线x=0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;xi=0:0.2:5;for n=2:10bb=polyfit(x,y,n);yi=polyval(bb,xi);plot(xi,yi,x,y, * )t。

7、itle(int2str(n), 次多项式拟合曲线)grid onpauseend例3在某个实验中得到如下一组数据：x1234567y0.31010.49000.64000.80000.92001.05001.2000已知x,y满足y=kxn，求参数k与n。提示:y=kxnlny=lnk+nlnxLOG(x)EXP(x)* 可线性化的非线性模型模型形式变换后形式变量和参数的变化YXa1a22) 超定方程的解法例：用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，是其拟合下表数据：xi1925313844yi19.032.349.073.397.8x=19 25 31 38 44;y=19.0 32.3 49.0 73.3 97.8;x1=x.2;x1=ones(5,1),x1;ab=x1y;abx0=19:0.2:44;y0=ab(1)+ab(2)*x0.2;plot(x,y, o)hold onplot(x0,y0, -r。