大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

两年前第一次接触到PID觉得很高深，很神奇；后来逐渐觉得单纯的PID小儿科了，又了解到专家PID，模糊PID，神经网络PID这些改进算法，再后来又知道了ADRC，便感控制领域浩如烟海，所学不过沧海一粟。然便纵真理无穷，进一寸自有一寸的欢喜。
不敢说看了几篇论文，听了几节报告，做了几次仿真，就吃透ADRC了，不过只是一些粗浅的理解，记录一行歪歪斜斜的足迹。以便回首过眼云烟之时，可以安慰自己一句，我已经飞过。

一、系统有关概念

1、系统的状态空间模型

描述一个系统，最常用的数学模型有：

• 微分方程
• 传递函数
• 状态空间

其中状态空间模型常用于对系统进行数学计算。状态空间模型用状态方程表示。
$$\{\begin{array}{c}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}(1-1)$$
ABCD是四个矩阵，$x$为状态向量，里面包含的状态变量个数一般等于系统阶数，且相互独立。$y$为系统输出向量。
状态变量的选取一般是：
$$x_1=y,x_2=\frac{dy}{dt},...,x_n=\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}$$

2、系统的状态观测

设计反馈的时候需要知道系统内部的状态变量$x$。大部分情况下$x$是不知道的，需要用一个观测器，通过系统的输入输出，去把它观测出来。如果在状态变量$x$中包含了系统的扰动，那么在观测出来之后，就可以在控制器中把系统扰动尽可能消除。观测出的状态变量称为$\hat{x}$。那么状态观测器的任务，就是使得$x$的状态估计$\hat{x}$尽可能接近$x$。通常按照copycat的思路来设计状态观测去，即设计一个相同结构的系统$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})$，其中$L(y-\hat{y})$这一项是矫正项。$L$为矫正项增益矩阵。用数学公式表达如下：
$$\{\begin{array}{c}{e}_{obs}=x-\hat{x}\\ \dot{x}=Ax+Bu\\ \dot{\hat{x}}=A\hat{x}+By+L(y-\hat{y})\end{array}(1-2)$$通过数学变换，可以得到：$$\dot{e_{obs}}=(A-LC)e_{obs}(1-3)$$这个方程的解是$$e_{obs}(t)=e^{(A-LC)t}{e}_{obs}(0)(1-4)$$可以看出，（A-LC）这一项决定了观测器的收敛速度。当$e_{obs}$降到 0 的时候，也就意味着$x$和$\hat{x}$相等，同时矫正项$L(y-\hat{y})=0$。这就是状态观测器的数学模型。ADRC的核心是一个扩张状态观测器，它比一般的状态观测器多了一个总扰动的项，但基础是一样的。

二、ADRC控制器的结构

1、TD（跟踪微分器)

跟踪微分器实际上就是一个事先的过渡过程。提取含有随机噪声的输入信号及其微分，这两个值将被一起送入控制器。也就是说，TD的输入信号只有一个，即给定值，输出信号有两个。这样做的目的是解决PID控制器超调和响应速度之间的矛盾。
然而，微分运算对噪声有很严重的放大效果。由于真正意义上的微分环节（$G(s)=s$）是无法在物理上实现的，因此通常用一阶惯性环节（$G(s)=\frac{s}{Ts+1}$）来代替。但是对于一阶惯性环节，要想追求逼近性好，就会不可避免的引入噪声的放大。因此，为了抑制高频噪声，考虑用一个二阶环节来取代一阶环节。当二阶系统处于临界阻尼状态，则过渡过程就不会产生超调。$G(s)=\frac{s}{(Ts+1{)}^2}$ 式中，当时间常数T很小的时候有${\lim }_{T\to 0}\frac{s}{(Ts+1{)}^2}=s$，也有微分的效果。并且这个二阶系统对于高频噪声有很高的抑制能力。因此TD中采用的通常是这种结构。过渡过程的阶数一般根据系统来决定，与系统同阶或者比系统高一阶。

2、ESO（扩张状态观测器）

ESO是ADRC控制器的核心，可以用一个扩张状态方程来描述。通过扩张状态观测的方式把系统上和输入量（u）无关的所有杂项（扰动）全部观测出来，以便用控制器去补偿这些扰动。设计ESO的思路如下：
考虑一个二阶系统：
$$\ddot{y}=a\dot{y}+by+cu+d(2-1)$$$d$为扰动。显然二阶系统的状态变量有两个，$x_1$和$x_2$。一般情况下如果要写出状态方程的话应该是二阶的，即有两个状态变量。为了将扰动$d$也纳入状态观测器，建立第三个状态变量$x_3$，使其等于$a\dot{y}+by+d$，即上式中除了输入$u$之外的其他项（也可称作总扰动）。令$\dot{x_3}=h$，那么按照一般状态方程的写法，可以列写出上面这个二阶系统的状态方程：
$$\left[\begin{array}{c}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ c\\ 0\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]h(2-2)$$和输出方程：
$$y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right](2-3)$$这个状态方程即被称为扩张状态方程。扩张状态观测器的设计和传统状态观测器类似，也是$$\{\begin{array}{c}\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})+Eh\\ \hat{y}=C\hat{x}\end{array}(2-4)$$其中$Eh$这一项和模型有关，大部分情况下是未知的，因此通常这一项被直接忽略,不然放着也没用。由于有了矫正项$L(y-\hat{y})$$(L$状是态观测器的增益矩阵，记为$\left[\begin{array}{c}{l}_1\\ l_2\\ l_3\end{array}\right]$)，因此观测器中的矩阵A、B、C、D（为了区分记为$A_1、B_1、C_1、D_1$）和状态方程中的矩阵A、B、C、D是不一样的。

通过一定的数学变换，状态观测器方程(2-4)可化为如下形式：
$$\dot{\hat{x}}=(A-L{C}_1)\hat{x}+\left[\begin{array}{cc}B& L\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ y\end{array}\right]$$观测器中的系统矩阵$A_1=A-L{C}_1$，即$$A_1=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right]$$，而新的输入矩阵；$B_1=\left[\begin{array}{cc}B& L\end{array}\right]$，即$$B_1=\left[\begin{array}{cc}0& -l_1\\ c& -l_2\\ 0& -l_3\end{array}\right]$$为新的控制矩阵（$c$是原二阶系统中输入$u$的系数），$\left[\begin{array}{c}u\\ y\end{array}\right]$两个一起作为观测器输入；状态观测器的输出$\hat{y}$实际上包含3个分量，即 $$\hat{y}=C_1\left[\begin{array}{c}\widehat{x_1}\\ \widehat{x_2}\\ \widehat{x_3}\end{array}\right]$$那么在观测器的输出方程中，$C_1$就是一个三阶单位矩阵，因为$\hat{y}=\hat{x}$；$D_1$是零矩阵。
为了让观测器系统稳定，需要进行极点配置。假设让这个三阶的状态观测器的三个极点全部位于左半平面的$-{\omega }_0$处，则增益$L$就需要特别设计。令$A_1$的特征值 = $-{\omega }_0$，可解得$l_1=3{\omega }_0，l_2=3{\omega }_0^2，l_3={\omega }_0^2$。${\omega }_0$即是观测器的带宽，应当根据实际系统来设计。如果带宽选择过小，可能会导致扩张状态$x_3$的观测$\widehat{x_3}$的跟随性变差，带宽选择过大的话有可能会引入额外的噪声。$u$的系数$c$在设计的时候有可能是不知道的，但是仿真表明$c$的选择即使跟真实的系统有偏差，ESO也能正常工作（但这一点目前尚无严格的理论证明）。至此，扩张状态观测器设计完成！！

3、NLSEF（控制器）

ADRC的控制器部分的输入包含两个部分，分别是TD的输出结果（输入信号及其微分）和ESO的输出（包含三个元素的状态向量$\hat{y}$）。因此它就有5个输入量。其中$\hat{y}$的第三个分量$\widehat{x_3}$的作用，是通过观测，将复杂系统转化为纯积分器，简化控制。
依然是这个二阶系统
$$\ddot{y}=a\dot{y}+by+cu+d$$扩张状态$x_3=a\dot{y}+by+d$。假设状态观测器工作顺利，$x_3$的观测值$\widehat{x_3}$就等于真实的$x_3$，即满足$$x_3=\widehat{x_3}$$那么将系统的输入，也即控制器的输出$u$设计为$$u=\frac{u_0-\widehat{x_3}}{c}$$带入上面的二阶系统，可以得到$$\ddot{y}=u_0$$即一个二阶积分器。设计一个PD控制器来控制$u_0$：(一般稳态的时候给定的目标值（reference）都是恒定的，即$\dot{r}=0$，$\ddot{r}$为前馈项，用于去除稳态误差。但很多时候都是把它忽略的，加上这一项之后有可能会影响响应速度)$$u_0=K_p(r-x_1)+K_d(\dot{r}-x_2)+\ddot{r}$$同样按照极点配置的方法，可得到$K_p={\omega }_c^2$，$K_{=}2{\omega }_c$。如此，控制器传递函数中阻尼系数$\xi =1$，处于临界阻尼，系统无超调。当然$K_p、K_d$设计的方法很多，可以综合超调和响应速度来调节。