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ADRC的基本原理

一、参考资料推荐

想要初步了解ADRC，可以从韩京清教授的一篇文献和一本书看起
1.文献： 从PID技术到“自抗扰控制”技术（《控制工程》，2002）
2.书： 自抗扰控制技术——估计补偿不确定因素的控制技术

不过文章里讲的不是很细，是把之前多篇文章内容综合到一起提出了ADRC整体的控制框架。想要更深入学习当然还是看书更好一些。

二、为什么PID好，以及，为什么PID不够好

1.为什么PID好——不依赖于模型的控制器

经典的PID控制直到如今都还是应用最广泛的控制算法，大部分的控制系统里用的都还是这个。它的好处主要在于，不需要被控对象的模型。

什么是被控对象的模型？

举个例子，假设我们以小车的速度$V$为被控量，但是推动小车的力$F$才是我们的控制量。

考虑阻力并假设阻力和速度成正比的话，根据牛顿第二定律我们可以得到小车的动力学方程 $F-kV=ma$，其中$k$为阻力系数，$m$为小车质量。

根据质点运动学方程又有 $\dot{V}=a$，

这样就可以得到利用外力$F$控制小车速度$V$的模型 $\dot{V}=-\frac{k}{m}V+\frac{1}{m}F$
（也就是 $\dot{x}=-Ax+Bu$的线性模型的结构）

OK，这个方程通常就是我们需要的，如果要应用现代控制理论（比如最优控制）设计一个控制器，那么我们就需要知道这个模型的全部信息东西，在这里就是模型的结构以及阻力系数$k$和小车质量$m$。

获得这个模型存在两个问题：

1. 实际工程的模型结构远比这复杂。比如阻力和速度的关系可能并不是成正比，我们只是这么假设的，实际的的关系可能是一个复杂的非线性函数。
2. 模型的参数难以获得。这里的阻力系数$k$和小车质量$m$好像挺容易获得的，但是实际被控对象的模型参数可能要多的多，有些是很难获得的。

由于模型难获得，而现代控制理论又大多基于模型设计，虽然能够满足各种各样的性能条件，但大都不够实用，这也就导致了PID一直称霸各个控制领域。因为PID是只利用误差 $e$ 来计算控制量的，不需要模型知识，只需要调一调 $K_P,K_I,K_D$ 三个参数就能得到可以接受的效果。

2.为什么PID不够好——PID的缺点

注意到前面说 PID 能得到可以接受的效果，我们当然希望PID能够得到更好的控制效果，那么PID还有哪些不足呢？

以下摘自前面说的韩京清的那篇文章

1. 误差的取法（直接由给定指令计算误差）
2. 由误差提取误差微分的方法（使用传统的线性微分器）
3. 加权和的策略不一定最好（比例，积分，微分项各乘上放大系数$K$然后相加来计算控制量）
4. 积分反馈有许多副作用（对误差进行积分并放大然后反馈到系统）

三、ADRC给出的方案——如何保留PID的优点，同时弥补PID的缺点

上一节写了PID的几个缺点，下面一条一条解释这些缺点的意思，并给出ADRC的解决方案：

1. 误差的取法——安排过渡过程

直接根据给定指令计算误差可能会导致控制效果变差，比如有些指令里包含了我们不希望的高频信号，这类信号的例子有：阶跃指令，方波指令。
为了将高频信号解决掉，ADRC提出了安排“过渡过程”的方法，类似于把给定指令进行低通滤波，得到一个更容易实现的指令，从而在牺牲一点快速性的同时大大降低超调。

这里给个例子，考虑两个系统，一个带有指令滤波，一个不带：

图1 带有指令滤波器?

图2 不带指令滤波器?

当指令为单位阶跃指令，只用一个增益$K=2$来控制二阶系统$\frac{1}{s^2+s}$的时候，有无指令滤波器的效果如下：

图3 带不带指令滤波器的控制效果对比?

不难看到，加了指令滤波器之后，虽然上升速度变慢了，但是超调更小了，调节时间基本没变，甚至还缩短了。
安排过渡过程也是类似这样的道理。因为像阶跃这样变化太快的突变信号，当控制器增益高的话就很容易引起超调，如果提前安排过渡过程，让指令信号慢一点变化，就能得到更好一点的控制效果。

2. 由误差提取误差微分的方法——跟踪微分器

经典的线性微分器，如$W=\frac{s}{\tau s+1}$以及$W=\frac{s\ast {\omega }^2}{s^2+2\omega s+{\omega }^2}$都是在跟踪给定信号的同时输出微分量。
这部分在韩京清的那本书上也有介绍，但是用公式解释可能比较枯燥，在simulink上画图就比较直观：

对于一阶线性微分器：$W=\frac{s}{\tau s+1}$，其实可以看成是一个惯性环节的微分：

图4 一阶线性微分器?

我们知道惯性环节 $G=\frac{1}{\tau s+1}$ 是可以无超调的跟踪到给定阶跃信号的。当 $G=\frac{1}{\tau s+1}$ 跟踪原信号的同时，积分器 $\frac{1}{s}$ 前面的量也就是 $W=G\ast s=\frac{s}{\tau s+1}$ 也在输出$G$的微分量，那么我们就可以管这个叫做跟踪-微分器。它一边实现对原信号的跟踪，一边提供微分信号。

注意：当上图的Gain越大，也就是惯性环节的时间常数 $\tau$ 越小的时候，惯性环节跟踪原信号就越快。对于输入信号为正弦波信号的情况就是相位滞后和幅值损失越小，这一点可以综合惯性环节的伯德图来思考。我们当然是希望相位滞后尽可能的小，但是 $\tau$ 越大则 $W=\frac{s}{\tau s+1}$ 得到的微分信号对高频噪声的放大也越明显，这一点也可以综合微分环节 $s$ 的伯德图来考虑。

类似的，二阶微分器 $W=\frac{s\ast {\omega }^2}{s^2+2\omega s+{\omega }^2}$ 也可以看成一个阻尼比为1的震荡环节$G=\frac{{\omega }^2}{s^2+2\omega s+{\omega }^2}$ 的微分，即$W=G\ast s$。

图5 二阶线性微分器（$\omega=10$）?

注意：这个二阶惯性环节，也可以看成一个闭环二阶系统跟踪指定的指令（这句话比较有意思）。公式如下：
$$\{\begin{array}{rcl}{\dot{x}}_1& =& x_2\\ {\dot{x}}_2& =& u=-{\omega }_n^2(x_1-x_{ref})-2{\omega }_n{x}_2\end{array}$$

其中$x_{ref}$ 为指定的指令。这个公式的形式和上面那个图虽然不是很像，但是实际上二者是等效的。

参考这个思想，可不可以用最速控制来实现这个二阶系统的指令跟踪，从而构造出一个新的跟踪-微分器？

ADRC的跟踪-微分器就是这么来的。
考虑一个二阶系统：
$$\{\begin{array}{rclc}{\dot{x}}_1& =& x_2& \\ {\dot{x}}_2& =& u& (|u|\le r)\end{array}$$
则以原点为收敛点的最速控制函数为：
$u=-rsign(x_1+\frac{x_1|x_2|}{2r})$

可以设计跟踪器为：
$u=-rsign(x_1-x_{ref}+\frac{x_1|x_2|}{2r})$

这就是ADRC的跟踪-微分器的连续形式，但是这个东西在进入稳态后算出来的微分量会一直高频振荡。主要原因就是 $u$ 中符号函数$sign(x)$的存在，即使经过积分一次后得到的 $x_2$ 依然避免不了震荡。因为数值积分嘛，你懂的。

所以为了能够实现离散系统的最速控制，消除跟踪-微分器的稳态颤振，韩教授又搞了一个离散最速控制函数，这个比较复杂一点。这里我们只负责介绍跟踪-微分器的思想，关于离散最速控制函数放到下一部分（ADRC的公式以及参数整定）再讲。

总之，这里的跟踪-微分器是为了解决1、2两个问题：安排过渡过程以及提供微分信号。

注意：其实第二个问题在ADRC里被拆成两部分了，由误差提取误差微分包括了两部分：指令的微分和输出量的微分（因为误差等于指令减去输出量）。指令的微分是由跟踪-微分器搞定的，而输出量的微分是由后面的扩张状态观测器搞定的。

3. 加权和的策略不一定最好——非线性反馈

传统的线性反馈方式（就是误差直接乘上一个增益）在收敛速度以及抗扰动能力上存在不足。
ADRC的方案是 用非线性函数代替传统的增益（用非线性反馈代替线性反馈）。
这里也可以举个例子，比较两个系统，分别使用线性反馈和非线性反馈：(1) $\dot{x}=-Kx$
以及 (2) $\dot{x}=-K\ast sign(x)\ast |x{|}^{\alpha }(\alpha <1)$
假设$x_0\ne 0$，则可以证明系统(2)能在有限时间内收敛到0，而系统(1)是指数收敛的，意思是永远收敛不到0。

这里也给一个仿真例子：

图6 使用线性反馈?

图7 使用非线性反馈?

初始值为1时，仿真结果：

图8 使用线性反馈和非线性反馈仿真对比?

可以看到非线性反馈更快地收敛到0了，不过需要注意的是非线性反馈相对于线性反馈的快速性的优势只在$x<1$的时候才有，而且在靠近$x=0$的附近容易引起颤振。

4. 积分反馈的副作用——扩张状态观测器

积分的主要作用之一就是消除扰动（可以认为它是简单的扰动观测器），但是积分起作用比较慢，而且还会引起超调。
所以ADRC直接把积分舍弃了，使用扩张状态观测器来观测总扰动，将系统补偿成纯积分链（不知道这个学名是啥）的形式。这样控起来就容易多了，可以说，扩张状态观测器是ADRC的灵魂和精髓所在，在它面前，前面几个都是次要的。

用一个例子说明一下上面所说的几点：

假设某系统 $\dot{x}=u+w$，其中$x$为状态量（也是被控量），$u$为控制量，$w$为未知的总扰动（包括模型偏差或者外部扰动等等）。

比较两种情况，一种是$w$没有被补偿，在线性反馈的基础上加上积分反馈去抵消，以达到无静差的目的。另一种是把$w$补偿掉，只剩一个积分环节，采用普通的线性反馈。

第一种情况：$u=-K_P\ast x-K_I\ast \int xd\tau$

图9 采用PI控制的方式?

$w=0.2,x_0=1$，取$K_P=2$

先看一下没有积分反馈（也就是$K_I=0$）时$x$最后能控成什么样子
得到的 $x$ 的仿真结果为：

图10 无积分反馈时，最后 $x$ 无法回到0，有静差?

接着给出有积分反馈（如上上图，也就是$K_I=0.8$）时$x$最后能控成什么样子
得到的 $x$ 的仿真结果为：

图11 有积分反馈时，虽然收敛过程坎坷了点，但最后无静差?

再看一下$K_I\ast \int xd\tau$与$w$的对比情况

图12 积分器对扰动的观测效果?

这里说的是积分器对扰动的观测效果，其实应该是补偿效果。可以看到积分环节产生的超调现象比较明显，并且如果积分增益取大了则超调就大，如果取的小则收敛就慢，没辙。

第二种情况我们把扰动去掉（假设被观测出来然后补偿掉了），只用一个$K_P$来控，那么结果的就很容易想到了：闭环之后这是一个单纯的惯性环节，没有超调，收敛的快慢只和增益有关，增益越大，收敛越快。

和前面的图6一样：

图13 补偿之后的一阶系统?

对于一阶系统来说，就是把模型补偿成一个积分环节（$n$阶系统补偿之后就是$n$个积分串在一起）。

$x$ 的仿真结果：

图14 （假设）补偿之后的控制效果?

通过对比可以发现，还是把扰动补偿掉更好。

利用扩张状态观测器，ADRC理论上可以把一个任意阶的系统补偿成任意阶的积分链，然后就可以用简单的线性控制方法去实现控制了，而且也能得到较好的控制效果。所以说扩张状态观测器是ADRC的精髓，把前面的跟踪微分器换成一个别的什么的线性滤波器没问题，把非线性反馈换回线性反馈没问题，但是这个观测扰动并补偿的思想不能丢。

ADRC的公式以及参数整定

前面一直是一些简单的例子解释说明ADRC的各个组成部分，只是对概念的理解。接下来要给出ADRC的公式以及我对其参数的理解，理解参数的含义能够大大提升参数整定的能力。

下次再写。

一、跟踪微分器（TD）

二、非线性反馈函数

三、扩张状态观测器（ESO）

ADRC应用到二阶导弹模型

这部分的饼也先画上，其实模型和脚本我都已经弄好了。

matlab脚本

simulink模型

结语

发现这个ADRC还真挺好用的，而且里面的一些思想其实和一些非线性控制都是相通的。

比如指令滤波和指令微分器，这个在反步法里也是标配的，不过反步法里的指令微分直接拿来做前馈补偿的，不是用来计算误差微分的。
再比如非线性反馈，这是（终端）滑模控制里的嘛，不过滑模控制证明稳定性更容易一些。
最后是这个扩张状态观测器，本来是在龙伯格观测器基础上扩张了一个误差状态，然后把里面的线性项换成了非线性项，使其收敛更加快速，但是改造完之后这个ESO就跟高阶滑模观测器很像了。